2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 不等式教案 理

2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 集合、常用邏輯用語、不等式、函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第四講 不等式教案 理年份卷別考查角度及命題位置命題分析2018卷線性規(guī)劃求最值·T131.選擇、填空題中的考查以簡單的線性規(guī)劃與不等式性質(zhì)為主，重點(diǎn)求目標(biāo)函數(shù)的最值，有時(shí)也與其他知識(shí)交匯考查2.基本不等式求最值及應(yīng)用在課標(biāo)卷考試中是低頻點(diǎn)，很少考查3.不等式的解法多與集合、函數(shù)、解析幾何、導(dǎo)數(shù)交匯考查.卷線性規(guī)劃求最值·T142017卷線性規(guī)劃求最值·T14卷線性規(guī)劃求最值·T5卷線性規(guī)劃求最值·T132016卷一元二次不等式的解法、集合的交集運(yùn)算·T1不等式比較大小、函數(shù)的單調(diào)性·T8線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用·T16卷一元二次不等式的解法、集合的并集運(yùn)算·T2卷一元二次不等式的解法、集合的交集運(yùn)算·T1不等式比較大小、函數(shù)的單調(diào)性·T6線性規(guī)劃求最值·T13悟通方法結(jié)論1一元二次不等式ax2bxc>0(或<0)(a0，b24ac>0)，如果a與ax2bxc同號(hào)，則其解集在兩根之外；如果a與ax2bxc異號(hào)，則其解集在兩根之間簡言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間2解簡單的分式、指數(shù)、對(duì)數(shù)不等式的基本思想是利用相關(guān)知識(shí)轉(zhuǎn)化為整式不等式(一般為一元二次不等式)求解3解含參數(shù)不等式要正確分類討論全練快速解答1(2018·深圳一模)已知a>b>0，c<0，下列不等關(guān)系中正確的是()Aac>bcBac>bcCloga(ac)>logb(bc)D.>解析：法一：(性質(zhì)推理法)A項(xiàng)，因?yàn)閍>b，c<0，由不等式的性質(zhì)可知ac<bc，故A不正確；B項(xiàng)，因?yàn)閏<0，所以c>0，又a>b>0，由不等式的性質(zhì)可得ac>bc>0，即>>0，再由反比例函數(shù)的性質(zhì)可得ac<bc，故B不正確；C項(xiàng)，若a，b，c，則loga(ac) 10，logb(bc) > 10，即loga(ac)<logb(bc)，故C不正確；D項(xiàng)，因?yàn)閍>b>0，c<0，所以ac>bc>0，ba<0，所以>0，即>0，所以>，故D正確綜上，選D.法二：(特值驗(yàn)證法)由題意，不妨取a4，b2，c2.則A項(xiàng)，ac8，bc4，所以ac<bc，排除A；B項(xiàng)，ac42，bc22，所以ac<bc，排除B；C項(xiàng)，loga(ac)log4(42)log4 6，logb(bc)log2(22)2，顯然log4 6<2，即loga(ac)<logb(bc)，排除C.綜上，選D.答案：D2(2018·湖南四校聯(lián)考)已知不等式mx2nx<0的解集為，則mn()A.BC.D1解析：由題意得，x和x2是方程mx2nx0的兩根，所以2且×2(m<0)，解得m1，n，所以mn.答案：B3不等式x2的解集是()A(，0(2,4B0,2)4，)C2,4)D(，2(4，)解析：當(dāng)x2>0，即x>2時(shí)，不等式可化為(x2)24，所以x4；當(dāng)x2<0，即x<2時(shí)，不等式可化為(x2)24，所以0x<2.綜上，不等式的解集是0,2)4，)答案：B4已知x(，1，不等式12x(aa2)·4x>0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A.B.C.D.解析：根據(jù)題意，由于12x(aa2)·4x>0對(duì)于一切的x(，1恒成立，令2xt(0<t2)，則可知1t(aa2)t2>0aa2>，故只要求解h(t)(0<t2)的最大值即可，h(t)2，又，結(jié)合二次函數(shù)圖象知，當(dāng)，即t2時(shí)，h(x)取得最大值，即aa2>，所以4a24a3<0，解得<a<，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.答案：C5設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)1成立的x的取值范圍是_解析：由得0x9，由得1x<0，故使得f(x)1成立的x的取值范圍是1,9答案：1,91明確解不等式的策略(1)一元二次不等式：先化為一般形式ax2bxc>0(a>0)，再結(jié)合相應(yīng)二次方程的根及二次函數(shù)圖象確定一元二次不等式的解集(2)含指數(shù)、對(duì)數(shù)的不等式：利用指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性將其轉(zhuǎn)化為整式不等式求解2掌握不等式恒成立問題的解題方法(1)f(x)>a對(duì)一切xI恒成立f(x)min>a；f(x)<a對(duì)一切xI恒成立f(x)max<a.(2)f(x)>g(x)對(duì)一切xI恒成立f(x)的圖象在g(x)的圖象的上方(3)解決恒成立問題還可以利用分離參數(shù)法，一定要搞清誰是自變量，誰是參數(shù)一般地，知道誰的范圍，誰就是變量，求誰的范圍，誰就是參數(shù)利用分離參數(shù)法時(shí)，常用到函數(shù)單調(diào)性、基本不等式等基本不等式授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第10頁悟通方法結(jié)論求最值時(shí)要注意三點(diǎn)：“一正”“二定”“三相等”所謂“一正”指正數(shù)，“二定”是指應(yīng)用定理求最值時(shí)，和或積為定值，“三相等”是指等號(hào)成立全練快速解答1(2018·長春模擬)已知x>0，y>0，且4xyxy，則xy的最小值為()A8 B9C12D16解析：由4xyxy得1，則xy(xy)·14259，當(dāng)且僅當(dāng)，即x3，y6時(shí)取“”，故選B.答案：B2(2017·高考天津卷)若a，bR，ab>0，則的最小值為_解析：因?yàn)閍b>0，所以4ab24，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，故的最小值是4.答案：43(2017·高考江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬元要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則x的值是_解析：由題意，一年購買次，則總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為×64x48240，當(dāng)且僅當(dāng)x30時(shí)取等號(hào)，故總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小時(shí)x的值是30.答案：30掌握基本不等式求最值的3種解題技巧(1)湊項(xiàng)：通過調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積或和為定值(2)湊系數(shù)：若無法直接運(yùn)用基本不等式求解，通過湊系數(shù)后可得到和或積為定值，從而可利用基本不等式求最值(3)換元：分式函數(shù)求最值，通常直接將分子配湊后將式子分開或?qū)⒎帜笓Q元后將式子分開，即化為ymBg(x)(A>0，B>0)，g(x)恒正或恒負(fù)的形式，然后運(yùn)用基本不等式來求最值 簡單的線性規(guī)劃問題授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第10頁悟通方法結(jié)論平面區(qū)域的確定方法解決線性規(guī)劃問題首先要找到可行域，再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義，數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn))，但要注意作圖一定要準(zhǔn)確，整點(diǎn)問題要驗(yàn)證解決全練快速解答1(2017·高考全國卷)設(shè)x，y滿足約束條件則zxy的取值范圍是()A3,0B3,2C0,2D0,3解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，作出直線l0：yx，平移直線l0，當(dāng)直線zxy過點(diǎn)A(2,0)時(shí)，z取得最大值2，當(dāng)直線zxy過點(diǎn)B(0,3)時(shí)，z取得最小值3，所以zxy的取值范圍是3,2答案：B2已知平面上的單位向量e1與e2 的起點(diǎn)均為坐標(biāo)原點(diǎn)O，它們的夾角為.平面區(qū)域D由所有滿足e1e2的點(diǎn)P組成，其中那么平面區(qū)域D的面積為()A.B.C.D.解析：建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨令單位向量e1(1,0)，e2，設(shè)向量(x，y)，因?yàn)閑1e2，所以即因?yàn)樗员硎镜钠矫鎱^(qū)域D如圖中陰影部分所示，所以平面區(qū)域D的面積為，故選D.答案：D3(2018·福州模擬)某工廠制作仿古的桌子和椅子，需要木工和漆工兩道工序已知生產(chǎn)一把椅子需要木工4個(gè)工作時(shí)，漆工2個(gè)工作時(shí)；生產(chǎn)一張桌子需要木工8個(gè)工作時(shí)，漆工1個(gè)工作時(shí)生產(chǎn)一把椅子的利潤為1 500元，生產(chǎn)一張桌子的利潤為2 000元該廠每個(gè)月木工最多完成8 000個(gè)工作時(shí)、漆工最多完成1 300個(gè)工作時(shí)根據(jù)以上條件，該廠安排生產(chǎn)每個(gè)月所能獲得的最大利潤是_元解析：設(shè)該廠每個(gè)月生產(chǎn)x把椅子，y張桌子，利潤為z元，則得約束條件畫出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，畫出直線3x4y0，平移該直線，可知當(dāng)該直線經(jīng)過點(diǎn)P時(shí)，z取得最大值由得即P(200,900)，所以zmax1 500×2002 000×9002 100 000.故每個(gè)月所獲得的最大利潤為2 100 000元答案：2 100 000解決線性規(guī)劃問題的3步驟練通即學(xué)即用1(2018·湘東五校聯(lián)考)已知實(shí)數(shù)x，y滿足且zxy的最大值為6，則(x5)2y2的最小值為()A5B3C.D.解析：作出不等式組 表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由zxy，得yxz，平移直線yx，由圖形可知當(dāng)直線yxz經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，直線yxz的縱截距最大，此時(shí)z最大，最大值為6，即xy6.由得A(3,3)，直線yk過點(diǎn)A，k3.(x5)2y2的幾何意義是可行域內(nèi)的點(diǎn)與D(5,0)的距離的平方，數(shù)形結(jié)合可知，(5,0)到直線x2y0的距離最小，可得(x5)2y2的最小值為25.故選A.答案：A2已知變量x，y滿足約束條件記z4xy的最大值是a，則a_.解析：如圖所示，變量x，y滿足的約束條件的可行域如圖中陰影部分所示作出直線4xy0，平移直線，知當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最大值，由解得所以A(1，1)，此時(shí)z4×113，故a3.答案：33(2018·高考全國卷)若x、y滿足約束條件則z3x2y的最大值為_解析：作出滿足約束條件的可行域如圖陰影部分所示由z3x2y得yx.作直線l0：yx.平移直線l0，當(dāng)直線yx過點(diǎn)(2,0)時(shí)，z取最大值，zmax3×22×06.答案：6授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第118頁一、選擇題1已知互不相等的正數(shù)a，b，c滿足a2c22bc，則下列等式中可能成立的是()Aa>b>cBb>a>cCb>c>aDc>a>b解析：若a>b>0，則a2c2>b2c22bc，不符合條件，排除A，D；又由a2c22c(bc)得ac與bc同號(hào)，排除C；當(dāng)b>a>c時(shí)，a2c22bc有可能成立，例如：取a3，b5，c1.故選B.答案：B2已知b>a>0，ab1，則下列不等式中正確的是()Alog3a>0B3ab<Clog2alog2b<2D36解析：對(duì)于A，由log3a>0可得log3a>log31，所以a>1，這與b>a>0，ab1矛盾，所以A不正確；對(duì)于B，由3ab<可得3ab<31，所以ab<1，可得a1<b，這與b>a>0，ab1矛盾，所以B不正確；對(duì)于C，由log2alog2b<2可得log2(ab)<2log2，所以ab<，又b>a>0，ab1>2，所以ab<，兩者一致，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)閎>a>0，ab1，所以3>3×26, 所以D不正確，故選C.答案：C3在R上定義運(yùn)算：xyx(1y)若不等式(xa)(xb)>0的解集是(2,3)，則ab()A1B2C4D8解析：由題知(xa)(xb)(xa)1(xb)>0，即(xa)x(b1)<0，由于該不等式的解集為(2,3)，所以方程(xa)x(b1)0的兩根之和等于5，即ab15，故ab4.答案：C4已知aR，不等式1的解集為P，且2P，則a的取值范圍為()A(3，)B(3,2)C(，2)(3，)D(，3)2，)解析：2P，<1或2a0，解得a2或a<3.答案：D5已知x，y滿足則z8x·y的最小值為()A1B.C.D.解析：不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，而z8x·y23xy，欲使z最小，只需使3xy最小即可由圖知當(dāng)x1，y2時(shí)，3xy的值最小，且3×125，此時(shí)23xy最小，最小值為.故選D.答案：D6設(shè)函數(shù)f(x)則不等式f(x)>f(1)的解集是()A(3,1)(3，)B(3,1)(2，)C(1,1)(3，)D(，3)(1,3)解析：由題意得，f(1)3，所以f(x)>f(1)，即f(x)>3.當(dāng)x<0時(shí)，x6>3，解得3<x<0；當(dāng)x0時(shí)，x24x6>3，解得x>3或0x<1.綜上，不等式的解集為(3,1)(3，)答案：A7已知實(shí)數(shù)x，y滿足如果目標(biāo)函數(shù)z3x2y的最小值為0，則實(shí)數(shù)m等于()A4B3C6D5解析：作出不等式組所表示的可行域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z3x2y所對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值0.由求得A.故z的最小值為3×2×，由題意可知0，解得m5.答案：D8若對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為()A1B.C.D.解析：因?yàn)椋碼，而(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，所以a.答案：C9(2018·太原一模)已知實(shí)數(shù)x，y滿足條件則zx2y2的取值范圍為()A1,13B1,4C.D.解析：畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由此得zx2y2的最小值為點(diǎn)O到直線BC：2xy20的距離的平方，所以zmin2，最大值為點(diǎn)O與點(diǎn)A(2,3)的距離的平方，所以zmax|OA|213，故選C.答案：C10(2018·衡水二模)若關(guān)于x的不等式x24ax3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，則x1x2的最小值是()A.B.C.D.解析：關(guān)于x的不等式x24ax3a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，16a212a24a2>0，又x1x24a，x1x23a2，x1x24a4a2，當(dāng)且僅當(dāng)a時(shí)取等號(hào)x1x2的最小值是.答案：C11某旅行社租用A，B兩種型號(hào)的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為()A31 200元B36 000元C36 800元D38 400元解析：設(shè)租用A型車x輛，B型車y輛，目標(biāo)函數(shù)為z1 600x2 400y，則約束條件為作出可行域如圖中陰影部分所示，可知目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)A(5,12)時(shí)，有最小值z(mì)min36 800(元)答案：C12(2018·淄博模擬)已知點(diǎn)P(x，y)(x，y)|M(2，1)，則·(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的最小值為()A2B4C6D8解析：由題意知(2，1)，(x，y)，設(shè)z·2xy，顯然集合(x，y)|對(duì)應(yīng)不等式組所表示的平面區(qū)域作出該不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy對(duì)應(yīng)的直線經(jīng)過點(diǎn)A時(shí)，z取得最小值由得A(2,2)，所以目標(biāo)函數(shù)的最小值z(mì)min2×(2)26，即·的最小值為6，故選C.答案：C二、填空題13(2018·青島模擬)若a>0，b>0，則(ab)·的最小值是_解析：(ab)213，因?yàn)閍>0，b>0，所以(ab)3232，當(dāng)且僅當(dāng)，即ab時(shí)等號(hào)成立所以所求最小值為32.答案：3214(2018·高考全國卷)若x，y滿足約束條件則zxy的最大值為_解析：由不等式組畫出可行域，如圖(陰影部分)，xy取得最大值斜率為1的直線xyz(z看做常數(shù))的橫截距最大，由圖可得直線xyz過點(diǎn)C時(shí)z取得最大值由得點(diǎn)C(5,4)，zmax549.答案：915(2018·石家莊模擬)若x，y滿足約束條件則z的最小值為_解析：作出不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示，因?yàn)槟繕?biāo)函數(shù)z表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P(3,2)連線的斜率由圖知當(dāng)可行域內(nèi)的點(diǎn)與點(diǎn)P的連線與圓相切時(shí)斜率最小設(shè)切線方程為y2k(x3)，即kxy3k20，則有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin.答案：16已知a>b>1，且2logab3logba7，則a的最小值為_解析：令logabt，由a>b>1得0<t<1,2logab3logba2t7，得t，即logab，ab2，所以aa11213，當(dāng)且僅當(dāng)a2時(shí)取等號(hào). 故a的最小值為3.答案：3