2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第一講 空間幾何體教案 理

2022高考數(shù)學二輪復習 專題四 立體幾何 第一講 空間幾何體教案 理年份卷別考查角度及命題位置命題分析2018卷圓柱的三視圖的應用·T7立體幾何問題既是高考的必考點，也是考查的難點，其在高考中的命題形式較為穩(wěn)定，保持“一小一大”或“兩小一大”的格局多以選擇題或者填空題的形式考查空間幾何體三視圖的識別，空間幾何體的體積或表面積的計算.卷與數(shù)學文化有關(guān)的三視圖判斷·T32017卷三視圖與表面積問題·T7卷三視圖與體積問題·T4卷圓柱與球的結(jié)合體問題·T82016卷有關(guān)球的三視圖及表面積·T6卷空間幾何體的三視圖及組合體表面積的計算·T6卷空間幾何體三視圖及表面積的計算·T9直三棱柱的體積最值問題·T10悟通方法結(jié)論一個物體的三視圖的排列規(guī)則俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖的長度一樣，側(cè)視圖放在正視圖的右面，高度與正視圖的高度一樣，寬度與俯視圖的寬度一樣，即“長對正、高平齊、寬相等”全練快速解答1(2018·高考全國卷)中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()解析：由題意可知帶卯眼的木構(gòu)件的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知其俯視圖應選A.故選A.答案：A2(2017·高考全國卷)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長為2，俯視圖為等腰直角三角形該多面體的各個面中有若干個是梯形，這些梯形的面積之和為()A10 B12 C14 D16解析：由三視圖可知該多面體是一個組合體，下面是一個底面是等腰直角三角形的直三棱柱，上面是一個底面是等腰直角三角形的三棱錐，等腰直角三角形的腰長為2，直三棱柱的高為2，三棱錐的高為2，易知該多面體有2個面是梯形，且這兩個梯形全等，這些梯形的面積之和為×212，故選B.答案：B3(2018·山西八校聯(lián)考)將正方體(如圖1)截去三個三棱錐后，得到如圖2所示的幾何體，側(cè)視圖的視線方向如圖2所示，則該幾何體的側(cè)視圖為()解析：將圖2中的幾何體放到正方體中如圖所示，從側(cè)視圖的視線方向觀察，易知該幾何體的側(cè)視圖為選項D中的圖形，故選D.答案：D明確三視圖問題的常見類型及解題策略(1)由幾何體的直觀圖求三視圖注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向，注意看到的部分用實線，看不到的部分用虛線表示(2)由幾何體的部分視圖畫出剩余的視圖先根據(jù)已知的一部分視圖，還原、推測直觀圖的可能形式，然后再找其剩下部分視圖的可能形式當然作為選擇題，也可將選項逐項代入，再看看給出的部分三視圖是否符合(3)由幾何體的三視圖還原幾何體的形狀要熟悉柱、錐、臺、球的三視圖，明確三視圖的形成原理，結(jié)合空間想象將三視圖還原為實物圖空間幾何體的表面積與體積授課提示：對應學生用書第35頁悟通方法結(jié)論求解幾何體的表面積或體積(1)對于規(guī)則幾何體，可直接利用公式計算(2)對于不規(guī)則幾何體，可采用割補法求解；對于某些三棱錐，有時可采用等體積轉(zhuǎn)換法求解(3)求解旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積時，注意圓柱的軸截面是矩形，圓錐的軸截面是等腰三角形，圓臺的軸截面是等腰梯形的應用全練快速解答1(2017·高考全國卷)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實線畫出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為()A90B63C42D36解析：法一：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，故其體積V×32×10××32×663.法二：由題意知，該幾何體由底面半徑為3，高為10的圓柱截去底面半徑為3，高為6的圓柱的一半所得，其體積等價于底面半徑為3，高為7的圓柱的體積，所以它的體積V×32×763.答案：B2(2018·福州四校聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()AB27C27D27解析：在長、寬、高分別為3，3,3的長方體中，由幾何體的三視圖得幾何體為如圖所示的三棱錐C­BAP，其中底面BAP是BAP90的直角三角形，AB3，AP3，所以BP6，又棱CB平面BAP且CB3，所以AC6，所以該幾何體的表面積是×3×3×3×3×6×3×6×327，故選D.答案：D3.(2018·西安八校聯(lián)考)某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()A.B.C2D4解析：由三視圖可知，該幾何體為一個半徑為1的半球與一個底面半徑為1，高為2的半圓柱組合而成的組合體，故其體積V×13×12×2，故選B.答案：B4(2018·高考全國卷)在長方體ABCD­A1B1C1D1中，ABBC2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為()A8B6C8D8解析：如圖，連接AC1，BC1，AC.AB平面BB1C1C，AC1B為直線AC1與平面BB1C1C所成的角，AC1B30°.又ABBC2，在RtABC1中，AC14，在RtACC1中，CC12，V長方體AB×BC×CC12×2×28.故選C.答案：C1活用求幾何體的表面積的方法(1)求表面積問題的基本思路是將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題，即空間圖形平面化，這是解決立體幾何的主要出發(fā)點(2)求不規(guī)則幾何體的表面積時，通常將所給幾何體分割成基本的柱、錐、臺體，先求這些柱、錐、臺體的表面積，再通過求和或作差得幾何體的表面積2活用求空間幾何體體積的常用方法(1)公式法：直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計算(2)等積法：根據(jù)體積計算公式，通過轉(zhuǎn)換空間幾何體的底面和高使得體積計算更容易，或是求出一些體積比等(3)割補法：把不能直接計算體積的空間幾何體進行適當分割或補形，轉(zhuǎn)化為易計算體積的幾何體空間幾何體與球的切、接問題授課提示：對應學生用書第36頁悟通方法結(jié)論1解決與球有關(guān)的“切”“接”問題，一般要過球心及多面體中的特殊點或過線作截面，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系2記住幾個常用的結(jié)論：(1)正方體的棱長為a，球的半徑為R.正方體的外接球，則2Ra；正方體的內(nèi)切球，則2Ra；球與正方體的各棱相切，則2Ra.(2)在長方體的同一頂點的三條棱長分別為a，b，c，外接球的半徑為R，則2R.(3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為31.(1)(2017·高考全國卷)已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為()A B. C. D.解析：設(shè)圓柱的底面半徑為r，則r2122，所以，圓柱的體積V×1，故選B.答案：B(2)(2017·高考全國卷)已知三棱錐SABC的所有頂點都在球O的球面上，SC是球O的直徑若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱錐SABC的體積為9，則球O的表面積為_解析：如圖，連接AO，OB，SC為球O的直徑，點O為SC的中點，SAAC，SBBC，AOSC，BOSC，平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC，AO平面SCB，設(shè)球O的半徑為R，則OAOBR，SC2R.VS­ABCVA­SBC×SSBC×AO××AO，即9××R，解得R3，球O的表面積為S4R24×3236.答案：36掌握“切”“接”問題的處理方法(1)“切”的處理：解決與球有關(guān)的內(nèi)切問題主要是指球內(nèi)切多面體與旋轉(zhuǎn)體，解答時要先找準切點，通過作截面來解決如果內(nèi)切的是多面體，則多通過多面體過球心的對角面來作截面.(2)“接”的處理：把一個多面體的幾個頂點放在球面上即球的外接問題解決這類問題的關(guān)鍵是抓住外接的特點，即球心到多面體的頂點的距離等于球的半徑.練通即學即用1(2018·湘東五校聯(lián)考)已知等腰直角三角形ABC中，ABAC2，D，E分別為AB，AC的中點，沿DE將ABC折成直二面角(如圖)，則四棱錐A­DECB的外接球的表面積為_解析：取DE的中點M，BC的中點N，連接MN(圖略)，由題意知，MN平面ADE，因為ADE是等腰直角三角形，所以ADE的外接圓的圓心是點M，四棱錐A­DECB的外接球的球心在直線MN上，又等腰梯形DECB的外接圓的圓心在MN上，所以四棱錐A­DECB的外接球的球心就是等腰梯形DECB的外接圓的圓心連接BE，易知BEC是鈍角三角形，所以等腰梯形DECB的外接圓的圓心在等腰梯形DECB的外部設(shè)四棱錐A­DECB的外接球的半徑為R，球心到BC的距離為d，則解得R2，故四棱錐A­DECB的外接球的表面積S4R210.答案：102(2018·合肥模擬)如圖，已知平面四邊形ABCD滿足ABAD2，A60，C90，將ABD沿對角線BD翻折，使平面ABD平面CBD，則四面體ABCD外接球的體積為_解析：在四面體ABCD中，ABAD2，BAD60，ABD為正三角形，設(shè)BD的中點為M，連接AM，則AMBD，又平面ABD平面CBD，平面ABD平面CBDBD，AM平面CBD.CBD為直角三角形，其外接圓的圓心是斜邊BD的中點M，由球的性質(zhì)知，四面體ABCD外接球的球心必在線段AM上，又ABD為正三角形，球心是ABD的中心，則外接球的半徑為×2×，四面體ABCD外接球的體積為××()3.答案：授課提示：對應學生用書第135頁一、選擇題1(2018·廣州模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的正視圖(等腰直角三角形)和側(cè)視圖，且該幾何體的體積為，則該幾何體的俯視圖可以是()解析：由題意可得該幾何體可能為四棱錐，如圖所示，其高為2，底面為正方形，面積為2×24，因為該幾何體的體積為×4×2，滿足條件，所以俯視圖可以為一個直角三角形故選D.答案：D2(2018·高考全國卷)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1、O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A12B12C8D10解析：設(shè)圓柱的軸截面的邊長為x，則由x28，得x2，S圓柱表2S底S側(cè)2××()22××212.故選B.答案：B3(2018·合肥模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A518B618C86D106解析：由三視圖可知，該幾何體由一個半圓柱與兩個半球構(gòu)成，故其表面積為4×12×2××1×32×××123×286.故選C.答案：C4(2018·沈陽模擬)某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的側(cè)面積是()A44B42C84D解析：由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，記為四棱錐P­ABCD，如圖所示，其中PA底面ABCD，四邊形ABCD是正方形，且PA2，AB2，PB2，所以該四棱錐的側(cè)面積S是四個直角三角形的面積和，即S2×(×2×2×2×2)44，故選A.答案：A5(2018·聊城模擬)在三棱錐P­ABC中，已知PA底面ABC，BAC120，PAABAC2，若該三棱錐的頂點都在同一個球面上，則該球的表面積為()A10B18C20D9解析：該三棱錐為圖中正六棱柱內(nèi)的三棱錐P­ABC，PAABAC2，所以該三棱錐的外接球即該六棱柱的外接球，所以外接球的直徑2R2R，所以該球的表面積為4R220.答案：C6(2018·高考全國卷)某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖所示圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A，圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為()A2 B2C3 D2解析：先畫出圓柱的直觀圖，根據(jù)題圖的三視圖可知點M，N的位置如圖所示圓柱的側(cè)面展開圖及M，N的位置(N為OP的四等分點)如圖所示，連接MN，則圖中MN即為M到N的最短路徑ON×164，OM2，|MN|2.故選B.答案：B7在正三棱柱ABC­A1B1C1中，AB2，AA13，點M是BB1的中點，則三棱錐C1­AMC的體積為()A.B.C2D2解析：取BC的中點D，連接AD.在正三棱柱ABC­A1B1C1中，ABC為正三角形，所以ADBC，又BB1平面ABC，AD平面ABC，所以BB1AD，又BB1BCB，所以AD平面BCC1B1，即AD平面MCC1，所以點A到平面MCC1的距離就是AD.在正三角形ABC中，AB2，所以AD，又AA13，點M是BB1的中點，所以SMCC1S矩形BCC1B1×2×33，所以VC1AMCVA­MCC1×3×.答案：A8如圖，四棱錐P­ABCD的底面ABCD為平行四邊形，NB2PN，則三棱錐N­PAC與三棱錐D­PAC的體積比為()A12B18C16D13解析：由NB2PN可得.設(shè)三棱錐N­PAC的高為h1，三棱錐B­PAC的高為h，則.又四邊形ABCD為平行四邊形，所以點B到平面PAC的距離與點D到平面PAC的距離相等，所以三棱錐N­PAC與三棱錐D­PAC的體積比為.答案：D9已知球的直徑SC4，A，B是該球球面上的兩點，ASCBSC30，則棱錐S­ABC的體積最大為()A2BCD2解析：如圖，因為球的直徑為SC，且SC4，ASCBSC30，所以SACSBC90，ACBC2，SASB2，所以SSBC×2×22，則當點A到平面SBC的距離最大時，棱錐A­SBC即S­ABC的體積最大，此時平面SAC平面SBC，點A到平面SBC的距離為2sin 30，所以棱錐S­ABC的體積最大為×2×2，故選A.答案：A二、填空題10(2018·洛陽統(tǒng)考)已知點A，B，C，D均在球O上，ABBC，AC2.若三棱錐D­ABC體積的最大值為3，則球O的表面積為_解析：由題意可得，ABC，ABC的外接圓半徑r，當三棱錐的體積最大時，VD­ABCSABC·h(h為D到底面ABC的距離)，即3×××hh3，即R3(R為外接球半徑)，解得R2，球O的表面積為4×2216.答案：1611已知某幾何體的三視圖如圖，其中正視圖中半圓直徑為4，則該幾何體的體積為_解析：由三視圖可知該幾何體為一個長方體挖掉半個圓柱，所以其體積為2×4×8××22×2644.答案：64412某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體中，面積最大的側(cè)面的面積為_解析：由三視圖可知，幾何體的直觀圖如圖所示，平面AED平面BCDE，四棱錐A­BCDE的高為1，四邊形BCDE是邊長為1的正方形，則SABCSABE×1×，SADE，SACD×1×，故面積最大的側(cè)面的面積為.答案：13(2018·福州四校聯(lián)考)已知三棱錐A­BCD的所有頂點都在球O的球面上，AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為，BC3，BD，CBD90，則球O的體積為_解析：設(shè)A到平面BCD的距離為h，三棱錐的體積為，BC3，BD，CBD90，××3××h，h2，球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE平面CBD，BCD外接圓的直徑CD2，球O的半徑OD2，球O的體積為.答案：