2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類(lèi)練5 選考部分 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)”一本“培養(yǎng)優(yōu)選練 中檔大題分類(lèi)練5 選考部分 文 1．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1過(guò)點(diǎn)P(a,1)，其參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a∈R)，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0. (1)求曲線C1的普通方程和曲線C2的直角坐標(biāo)方程； (2)已知曲線C1和曲線C2交于A，B兩點(diǎn)，且|PA|＝2|PB|，求實(shí)數(shù)a的值． [解]　(1)C1的參數(shù)方程，消參得普通方程為x－y－a＋1＝0, C2的極坐標(biāo)方程為ρcos2θ＋4cos θ－ρ＝0兩邊同乘ρ得 ρ2cos2θ

2、＋4ρcos θ－ρ2＝0，即y2＝4x; (2)將曲線C1的參數(shù)方程(t為參數(shù)，a∈R)代入曲線C2：y2＝4x，得2t2－2t＋1－4a＝0， 由Δ＝(－2)2－4×2(1－4a)＞0，得a＞0， 設(shè)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t1，t2，由題意得|t1|＝2|t2|即t1＝2t2或t1＝－2t2, 當(dāng)t1＝2t2時(shí)，解得a＝， 當(dāng)t1＝－2t2時(shí)，解得a＝， 綜上：a＝或. [選修4－5：不等式選講] 已知?x∈R，使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立． (1)求滿(mǎn)足條件的實(shí)數(shù)t的集合T； (2)若m＞1，n＞1，對(duì)?t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求

3、m＋n的最小值． [解]　(1)令f(x)＝|x－1|－|x－2|＝ 則－1≤f(x)≤1， 由于?x∈R使不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，有t∈T＝{t|t≤1}. (2)由(1)知，log3m·log3n≥1， 根據(jù)基本不等式log3m＋log3n≥2≥2， 從而mn≥32，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝3時(shí)取等號(hào)， 再根據(jù)基本不等式m＋n≥2≥6，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n＝3時(shí)取等號(hào)． 所以m＋n的最小值為6. 2．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為：(θ為參數(shù)，θ∈[0，π])，將曲線C1經(jīng)過(guò)伸縮變換：得到曲線C2. (1)以原點(diǎn)

4、為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立坐標(biāo)系，求C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線l：(t為參數(shù))與C1，C2相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝－1，求α的值． [解]　(1)C1的普通方程為x2＋y2＝1(y≥0)， 把x＝x′，y＝y(tǒng)′代入上述方程得，x′2＋＝1(y′≥0)， ∴C2的方程為x2＋＝1(y≥0)，令x＝ρcos θ，y＝ρsin θ， ∴C2的極坐標(biāo)方程為ρ2＝＝(θ∈[0，π])． (2)在(1)中建立的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R)， 由，得ρA＝1，由，得ρB＝＞1， 所以－1＝－1，∴cos α＝±， 而α∈[0，π]，∴α＝或. [選修4

5、－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|2x－a|，g(x)＝|bx＋1|. (1)當(dāng)b＝1時(shí)，若f(x)＋g(x)的最小值為3，求實(shí)數(shù)a的值； (2)當(dāng)b＝－1時(shí)，若不等式f(x)＋g(x)＜1的解集包含，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)b＝1時(shí)，f(x)＋g(x)＝＋|x＋1|≥＝， 因?yàn)閒(x)＋g(x)的最小值為3，所以＝3，解得a＝－8或4. (2)當(dāng)b＝－1時(shí)，f(x)＋g(x)＜1即|2x－a|＋|x－1|＜1， 當(dāng)x∈時(shí)，|2x－a|＋|x－1|＜1?|2x－a|＋1－x≤1?|2x－a|＜x，即＜x＜a， 因?yàn)椴坏仁絝(x)＋g(x)＜1的解集包含，所

6、以a＞1且＜， 即1＜a＜，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 3．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ. (1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的直角坐標(biāo)方程； (2)若直線l與曲線C交點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)P(1,0)，求＋的值． [解]　(1)l：x＋y－1＝0，曲線C：x2＋y2－4x＝0； (2)將(t為參數(shù))代入曲線C的方程，得t2＋t－3＝0， ∴|t1－t2|＝＝，∴＋＝＝. [選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|2x

7、－1|＋|2x＋1|. (1)求函數(shù)f(x)的最小值m； (2)若正實(shí)數(shù)a，b滿(mǎn)足＋＝，求證：＋≥m. [解]　(1)|2x－1|＋|2x＋1|≥|(2x－1)－(2x＋1)|＝2，當(dāng)且僅當(dāng)－≤x≤時(shí)，等號(hào)成立，即函數(shù)f(x)最小值為2. (2)·≥2，則＋≥2， 當(dāng)且僅當(dāng)b＝2a時(shí)，等號(hào)成立． (教師備選) 1．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，直線l2的參數(shù)方程為(m為參數(shù))，設(shè)直線l1與l2的交點(diǎn)為P，當(dāng)k變化時(shí)點(diǎn)P的軌跡為曲線C1. (1)求出曲線C1的普通方程； (2)以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸

8、建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為ρsin＝4，點(diǎn)Q為曲線C1的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)Q到直線C2的距離的最小值． [解]　(1)將l1，l2的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為普通方程： l1：y＝k(x＋)，① l2：y＝(－x)，② ①×②消k可得：＋y2＝1， 因?yàn)閗≠0，所以y≠0，所以C1的普通方程為＋y2＝1(y≠0)． (2)直線C2的直角坐標(biāo)方程為：x＋y－8＝0. 由(1)知曲線C1與直線C2無(wú)公共點(diǎn)， 由于C1的參數(shù)方程為(a為參數(shù)，a≠kπ，k∈Z)， 所以曲線C1上的點(diǎn)Q(cos a，sin a)到直線x＋y－8＝0的距離為： d＝＝， 所以當(dāng)sin＝1時(shí)，d的最小值為3.

9、 [選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝|x－a|(a∈R)． (1)當(dāng)a＝2時(shí)，解不等式＋f(x)≥1； (2)設(shè)不等式＋f(x)≤x的解集為M，若?M，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． [解]　(1)當(dāng)a＝2時(shí)，原不等式可化為|3x－1|＋|x－2|≥3， ①當(dāng)x≤時(shí)，原不等式可化為－3x＋1＋2－x≥3，解得x≤0，所以x≤0； ②當(dāng)＜x＜2時(shí)，原不等式可化為3x－1＋2－x≥3，解得x≥1，所以1≤x＜2. ③當(dāng)x≥2時(shí)，原不等式可化為3x－1－2＋x≥3，解得x≥，所以x≥2， 綜上所述，當(dāng)a＝2時(shí)，不等式的解集為{x|x≤0或x≥1}． (2)不等式＋f(x)≤x可化

10、為|3x－1|＋|x－a|≤3x， 依題意不等式|3x－1|＋|x－a|≤3x在上恒成立， 所以3x－1＋|x－a|≤3x，即|x－a|≤1，在上恒成立， 即a－1≤x≤a＋1，所以 解得－≤a≤，故所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 2．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，曲線C2的參數(shù)方程為(β為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求曲線C1和曲線C2的極坐標(biāo)方程； (2)已知射線l1：θ＝α，將射線l1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到射線l2：θ＝α－，且射線l1與曲線C1交于O、P兩點(diǎn)，射線l2與曲線C2交于O、Q兩點(diǎn)，

11、求|OP|·|OQ|的最大值． [解]　(1)曲線C1的普通方程為(x－2)2＋y2＝4，所以C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos θ，曲線C2的普通方程為x2＋(y－2)2＝4，所以C2的極坐標(biāo)方程為ρ＝4sin θ. (2)設(shè)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ1，α)， 即ρ1＝4cos α， 點(diǎn)Q的極坐標(biāo)為， 即ρ2＝4sin. 則|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2 ＝4cos α·4sin ＝16cos α· ＝8sin－4. ∵α∈， ∴2α－∈， 當(dāng)2α－＝，即α＝時(shí)，|OP|·|OQ|取得最大值，為4. [選修4－5：不等式選講] 已知函數(shù)f(x)＝x|x－a|，a∈R. (1

12、)若f(1)＋f(－1)＞1，求a的取值范圍； (2)若a＞0，對(duì)?x，y∈(－∞，a]，都有不等式f(x)≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范圍． [解]　(1)f(1)＋f(－1)＝|1－a|－|1＋a|＞1, 若a≤－1，則1－a＋1＋a＞1，得2＞1，即a≤－1時(shí)恒成立， 若－1＜a＜1，則1－a－(1＋a)＞1，得a＜－，即－1＜a＜－， 若a≥1，則－(1－a)－(1＋a)＞1，得－2＞1，即不等式無(wú)解， 綜上所述，a的取值范圍是. (2)由題意知，要使得不等式恒成立，只需f(x)max≤min， 當(dāng)x∈(－∞，a]時(shí)，f(x)＝－x2＋ax，f(x)max＝f

13、＝， 因?yàn)椋珅y－a|≥， 所以當(dāng)y∈時(shí)，min＝＝a＋， 即≤a＋，解得－1≤a≤5，結(jié)合a＞0，所以a的取值范圍是(0,5]． 3．[選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程] 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a為參數(shù))，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)． (1)求曲線C的極坐標(biāo)方程； (2)設(shè)直線l與曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的值． [解]　(1)將方程消去參數(shù)a得x2＋y2－4x－12＝0， ∴曲線C的普通方程為x2＋y2－4x－12＝0, 將x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入上式可得ρ2－4ρco

14、s θ＝12， ∴曲線C的極坐標(biāo)方程為：ρ2－4ρcos θ－12＝0. (2)設(shè)A，B兩點(diǎn)的極坐標(biāo)方程分別為，， 由消去θ得ρ2－2ρ－12＝0， 根據(jù)題意可得ρ1，ρ2是方程ρ2－2ρ－12＝0的兩根， ∴ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝－12， ∴|AB|＝|ρ1－ρ2|＝＝2. [選修4－5：不等式選講] 已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3. (1)求＋＋的最小值； (2)證明：3≤x2＋y2＋z2. [解]　(1)因?yàn)閤＋y＋z≥3＞0，＋＋≥＞0， 所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3， 當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝z＝1時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)＋＋取得最小值3. (2)證明：x2＋y2＋z2＝ ≥ ＝＝3.