2022高考數學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓6 空間幾何體的三視圖、表面積和體積 文

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1、2022高考數學“一本”培養(yǎng)專題突破 限時集訓6 空間幾何體的三視圖、表面積和體積 文 一、選擇題 1．已知圓錐的母線長為8，底面圓周長為6π，則它的側面積是(　　) A．24π　　　B．48π　　　C．33π　　　D．32π A　[∵圓錐的母線長為8，底面圓周長為6π，∴圓錐的側面積為S側＝×6π×8＝24π.] (教師備選) 1．當圓錐的側面積和底面積的比值是2時，圓錐側面展開圖的圓心角等于(　　) A. B. C. D．π D　[設圓錐的母線長為l，底面半徑為r， 則＝2，∴＝2，因母線長1，所以r＝，則側面展開圖扇形的弧長為π，以母線長為半徑的扇形的圓心角為π，

2、故此時圓錐側面展開圖的圓心角等于π.] 2．已知三個球和一個正方體，第一個球與正方體各個面內切，第二個球與正方體各條棱相切，第三個球過正方體各頂點，則這三個球的體積之比為(　　) A．1∶∶ B．1∶2∶3 C．1∶2∶3 D．1∶8∶27 C　[設正方體的棱長為a，則其內切球半徑R1＝；棱切球直徑為正方體各面上的對角線長，則半徑R2＝a；外接球直徑為正方體的體對角線長，所以半徑R3＝a，所以這三個球的體積之比為13∶()3∶()3＝1∶2∶3.故選C.] 3．(2018·沈陽模擬)已知S，A，B，C是球O表面上的不同點，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝1，BC＝，若球

3、O的表面積為4π，則SA＝(　　) A. B．1 C. D. B　[根據已知把S-ABC補成如圖所示的長方體．因為球O的表面積為4π，所以球O的半徑R＝1,2R＝＝2，解得SA＝1，故選B.] 2．(2018·合肥模擬)如圖2-4-13，網格紙上每個小正方形的邊長為1，圖中粗線畫出的是某多面體的三視圖，則該幾何體的表面中互相垂直的平面有 (　　) 圖2-4-13 A．3對 B．4對 C．5對 D．6對 B　[由三視圖還原出原幾何體的直觀圖如圖所示，因為AB⊥平面BCD，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，所以平面ABE⊥平面BCD，平面AEB⊥平面A

4、BC，平面BCD⊥平面ABC，平面AEDC⊥平面ABC，故選B.] 3．(2018·鄭州模擬)劉徽的《九章算術注》中有這樣的記載：“邪解立方有兩塹堵，邪解塹堵，其一為陽馬，一為鱉臑，陽馬居二，鱉臑居一，不易之率也．”意思是說：把一塊立方體沿斜線分成相同的兩塊，這兩塊叫做塹堵，再把一塊塹堵沿斜線分成兩塊，大的叫陽馬，小的叫鱉臑，兩者體積比為2∶1，這個比率是不變的．如圖2-4-14是一個陽馬的三視圖，則其表面積為(　　) 圖2-4-14 A．2 B．2＋ C．3＋ D．3＋ B　[由三視圖可得該四棱錐的底面是邊長為1的正方形，有一條長度為1的側棱垂直于底面，四個側面三角

5、形都是直角三角形，側面積為2××1×1＋2×××1＝1＋，底面積是1，所以其表面積為2＋，故選B.] 4．已知一個圓錐的側面積是底面積的2倍，記該圓錐的內切球的表面積為S1，外接球的表面積為S2，則＝(　　) A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．1∶8 C　[如圖，由已知圓錐側面積是底面積的2倍，不妨設底面圓半徑為r， 則lR＝2πr2，·2πr·R＝2πr2，解得R＝2r. 故∠ADC＝30°，∠DCB＝90°. 則＝，∴＝. 故＝. 故選C.] (教師備選) 在三棱錐P-ABC中，側棱PA＝PB＝2，PC＝，則當三棱錐P-ABC的三個側面的面積之和最大

6、時，三棱錐P-ABC的內切球的表面積是(　　) A．(32－8)π B．(32－16)π C．(40－8)π D．(40－16)π D　[由已知可得三棱錐的側面PAB的面積S△PAB＝×PA×PB×sin∠APB＝2sin∠APB，要使此面積最大，則∠APB＝90°，同理可知，當PA，PB，PC兩兩垂直時，三棱錐P-ABC的三個側面的面積之和最大．如圖，設內切球的球心為O，則O到三棱錐的四個面的距離相等，均為球O的半徑r.因為PA＝PB＝2，PC＝，所以BC＝AC＝，AB＝2，可得△ABC，△APC，△APB，△BPC的面積分別為4，，2，，所以VP-ABC＝×(4＋＋2＋)·r

7、＝×2×，解得r＝－2，所以內切球的表面積S＝4πr2＝(40－16)π.] 二、填空題 (教師備選) 現有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2，高為8的圓柱各一個，若將它們重新制作成總體積與高均保持不變，但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個，則新的底面半徑為________． 　[設新的底面半徑為r，由題意得 ×π×52×4＋π×22×8＝×π×r2×4＋π×r2×8， ∴r2＝7，∴r＝.] 5．(2018·榆林模擬)如圖2-4-15，在小正方形邊長為1的網格中畫出了某多面體的三視圖，則該多面體的外接球表面積為________． 圖2-4-15 4

8、8π　[根據三視圖知幾何體的直觀圖如圖所示： 三棱錐P-ABC是棱長為4的正方體的一部分， 三棱錐P-ABC的外接球是此正方體的外接球，設外接球的半徑是R， 由正方體的性質可得，2R＝＝4，則R＝2，即該幾何體外接球的表面積S＝4πR2＝48π.] (教師備選) 一個六棱柱的底面是正六邊形，側棱垂直于底面，所有棱的長都為1，頂點在同一個球面上，則該球的體積為________． 　[由題意知六棱柱的底面正六邊形的外接圓半徑r＝1，其高h＝1，∴球半徑為R＝＝＝，∴該球的體積V＝πR3＝×3π＝.] 6．(2017·濟南模擬)已知某幾何體的三視圖及相關數據如圖2-4-16所示，則

9、該幾何體的體積為________． 圖2-4-16 　[由三視圖得該幾何體是底面半徑為1，高為2的圓錐體的一半和一個底面半徑為1，高為2的圓柱體的一半的組合體，所以其體積為××π×12×2＋×π×12×2＝.] 三、解答題 7．(2018·廣州模擬)如圖2-4-17，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，且BC＝2AD＝4，E，F分別為線段AB，DC的中點，沿EF把AEFD折起，使AE⊥CF，得到如下的立體圖形． (1)證明：平面AEFD⊥平面EBCF； (2)若BD⊥EC，求點F到平面ABCD的距離． 圖2-4-17 [解]　(1)證明：由題意可得EF∥AD，

10、 ∴AE⊥EF， 又AE⊥CF，EF∩CF＝F， ∴AE⊥平面EBCF. ∵AE?平面AEFD， ∴平面AEFD⊥平面EBCF. (2)過點D作DG∥AE交EF于點G，連接BG，則DG⊥平面EBCF， ∵EC?平面EBCF，∴DG⊥EC， 又BD⊥EC，BD∩DG＝D，∴EC⊥平面BDG， 又BG?平面BDG，∴EC⊥BG. 于是可得△EGB∽△BEC， ∴＝，∴EB2＝EG·BC＝AD·BC＝8，∴EB＝2. 設點F到平面ABCD的距離為h， 由VF-ABC＝VA-BCF，可得S△ABC·h＝S△BCF·AE. ∵BC⊥AE，BC⊥EB，AE∩EB＝E， ∴

11、BC⊥平面AEB，∴AB⊥BC. 又AB＝＝4＝BC， ∴S△ABC＝×4×4＝8. 又S△BCF＝×4×2＝4，AE＝EB＝2， ∴8h＝4×2＝16，解得h＝2. 故點F到平面ABCD的距離為2. 8．(2017·全國卷Ⅲ)如圖2-4-18，四面體ABCD中，△ABC是正三角形，AD＝CD. 圖2-4-18 (1)證明：AC⊥BD； (2)已知△ACD是直角三角形，AB＝BD，若E為棱BD上與D不重合的點，且AE⊥EC，求四面體ABCE與四面體ACDE的體積比． [解]　(1)證明：如圖，取AC的中點O，連接DO，BO. 因為AD＝CD，所以AC⊥DO. 又由于△ABC是正三角形， 所以AC⊥BO. 從而AC⊥平面DOB， 故AC⊥BD. (2)連接EO. 由(1)及題設知∠ADC＝90°，所以DO＝AO. 在Rt△AOB中，BO2＋AO2＝AB2. 又AB＝BD，所以BO2＋DO2＝BO2＋AO2＝AB2＝BD2， 故∠DOB＝90°. 由題設知△AEC為直角三角形，所以EO＝AC. 又△ABC是正三角形，且AB＝BD，所以EO＝BD. 故E為BD的中點，從而E到平面ABC的距離為D到平面ABC的距離的，四面體ABCE的體積為四面體ABCD的體積的，即四面體ABCE與四面體ACDE的體積之比為1∶1.