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1、2022屆高考數(shù)學總復習 第四單元 三角函數(shù)與解三角形 第28講 正弦定理與余弦定理檢測
1．在△ABC中，a2＝b2＋c2＋bc，則角A等于(C)
A．60° B．45°
C．120° D．30°
因為cos A＝＝－，
又因為0°
2、(2016·新課標卷Ⅲ)在△ABC中，B＝，BC邊上的高等于BC，則sin A＝(D)
A. B.
C. D.
如圖，AD為△ABC中BC邊上的高．
設(shè)BC＝a，由題意知AD＝BC＝a，B＝，易知BD＝AD＝a，DC＝a.
在Rt△ABD中，由勾股定理得，
AB＝＝a.
同理，在Rt△ACD中，AC＝＝a.
因為S△ABC＝AB·AC·sin∠BAC＝BC·AD，
所以×a×a·sin∠BAC＝a·a，
所以sin∠BAC＝＝.
4．(2017·新課標卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，
3、a＝2，c＝，則C＝(B)
A. B.
C. D.
因為a＝2，c＝，
所以由正弦定理可知，＝，
故sin A＝sin C.
又B＝π－(A＋C)，
故sin B＋sin A(sin C－cos C)
＝sin(A＋C)＋sin Asin C－sin Acos C
＝sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C
＝(sin A＋cos A)sin C
＝0.
又C為△ABC的內(nèi)角，故sin C≠0，
則sin A＋cos A＝0，即tan A＝－1.
又A∈(0，π)，所以A＝.
從而sin C＝sin A＝×＝.
4、
由A＝知C為銳角，故C＝.
5．(2016·北京卷)在△ABC中，∠A＝，a＝c，則＝ 1 .
在△ABC中，∠A＝，
所以a2＝b2＋c2－2bccos ，即a2＝b2＋c2＋bc.
因為a＝c，所以3c2＝b2＋c2＋bc，所以b2＋bc－2c2＝0，
所以(b＋2c)(b－c)＝0，所以b－c＝0，所以b＝c，
所以＝1.
6．(2015·重慶卷)在△ABC中，B＝120°，AB＝，A的角平分線AD＝，則AC＝ .
如圖，在△ABD中，由正弦定理，得
＝，
所以sin ∠ADB＝.
所以∠ADB＝45°，
所以∠BAD＝180°－45°－120°＝
5、15°.
所以∠BAC＝30°，∠C＝30°，所以BC＝AB＝， 所以AC＝.
7．(2015·安徽卷)在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，點D在BC邊上，AD＝BD，求AD的長．
設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對邊的長分別是a，b，c，
由余弦定理得
a2＝b2＋c2－2bccos A
＝(3)2＋62－2×3×6×cos
＝18＋36－(－36)＝90.
所以a＝3.
又由正弦定理得sin B＝＝＝，
由題設(shè)知0＜B＜，
所以cos B＝＝ ＝.
在△ABD中，因為AD＝BD，所以∠ABD＝∠BAD，
所以∠ADB＝π－2B，故由正弦定理得
AD＝＝＝＝
6、.
8. △ABC中，AB＝1，BC＝2，則角C的范圍是(A)
A．0
7、ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知asin A＝4bsin B，ac＝(a2－b2－c2)．
(1)求cos A的值；
(2)求sin(2B－A)的值．
(1)由asin A＝4bsin B及＝，得a＝2b.
由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得
cos A＝＝＝－.
(2)由(1)，可得sin A＝，代入asin A＝4bsin B，得
sin B＝＝.
由(1)知，A為鈍角，所以B為銳角，
所以cos B＝＝.
于是sin 2B＝2sin Bcos B＝，cos 2B＝1－2sin2B＝，
故sin(2B－A)＝sin 2Bcos A－cos 2Bsin A
＝×－－×
＝－.
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