2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練13 函數(shù)模型及其應(yīng)用 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)的概念與基本初等函數(shù) 課時(shí)跟蹤訓(xùn)練13 函數(shù)模型及其應(yīng)用 文 一、選擇題 1．物價(jià)上漲是當(dāng)前的主要話題，特別是菜價(jià)，我國某部門為盡快實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定菜價(jià)，提出四種綠色運(yùn)輸方案．據(jù)預(yù)測，這四種方案均能在規(guī)定的時(shí)間T內(nèi)完成預(yù)測的運(yùn)輸任務(wù)Q0，各種方案的運(yùn)輸總量Q與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系如圖所示，在這四種方案中，運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高的是(　　) [解析]　由運(yùn)輸效率(單位時(shí)間的運(yùn)輸量)逐步提高得，曲線上的點(diǎn)的切線斜率應(yīng)逐漸增大，故函數(shù)的圖象應(yīng)一直是下凹的． [答案]　B 2．(2018·河南洛陽期中)已知某種動物繁殖量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)

2、系為y＝alog3(x＋1)，設(shè)這種動物第2年有100只，到第8年它們發(fā)展到(　　) A．100只 B．200只 C．300只 D．400只 [解析]　由題意知100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，當(dāng)x＝8時(shí)，y＝100log39＝200. [答案]　B 3．(2017·福建質(zhì)檢)當(dāng)生物死亡后，其體內(nèi)原有的碳14的含量大約每經(jīng)過5730年衰減為原來的一半，這個(gè)時(shí)間稱為“半衰期”．當(dāng)死亡生物體內(nèi)的碳14含量不足死亡前的千分之一時(shí)，用一般的放射性探測器就測不到了．若某死亡生物體內(nèi)的碳14用一般的放射性探測器探測不到，則它經(jīng)過的“半衰期\”個(gè)數(shù)至少是(

3、　　) A．8 B．9 C．10 D．11 [解析]　設(shè)死亡生物體內(nèi)原有的碳14含量為1，則經(jīng)過n(n∈N*)個(gè)“半衰期”后的含量為n，由n<得n≥10.所以，若探測不到碳14含量，則至少經(jīng)過了10個(gè)“半衰期”．故選C. [答案]　C 4．某學(xué)校開展研究性學(xué)習(xí)活動，一組同學(xué)獲得的一組實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表所示： x 1.99 3 4 5.1 6.12 y 1.5 4.04 7.5 12 18.01 現(xiàn)準(zhǔn)備用下列四個(gè)函數(shù)中的一個(gè)近似地表示這些數(shù)據(jù)的規(guī)律，其中最接近的一個(gè)是(　　) A．y＝2x－2 B．y＝x C．y＝log2x D．y＝(x2－1) [解析]　

4、直線是均勻分布的，故選項(xiàng)A不符合要求；指數(shù)函數(shù)y＝x是單調(diào)遞減的，也不符合要求；對數(shù)函數(shù)y＝log2x的增長是緩慢的，也不符合要求；將表中數(shù)據(jù)代入選項(xiàng)D中的函數(shù)，基本符合要求． [答案]　D 5．(2017·湖南、衡陽、長郡中學(xué)等十三校聯(lián)考)某公司為激勵創(chuàng)新，計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入．若該公司2016年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是(參考數(shù)據(jù)：lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.3)(　　) A．2018年 B．2019年 C．2020年 D．2021年 [

5、解析]　設(shè)開始超過200萬元的年份是n，則130×(1＋12%)n－2016>200，化簡得(n－2016)lg1.12>lg2－lg1.3，所以n－2016>＝3.8，所以n＝2020，因此開始超過200萬元的年份是2020年，故選C. [答案]　C 6．國家規(guī)定個(gè)人稿費(fèi)納稅辦法是：不超過800元的不納稅；超過800元而不超過4000元的按超過800元部分的14%納稅；超過4000元的按全部稿酬的11%納稅．已知某人出版一本書，共納稅420元，則這個(gè)人應(yīng)得稿費(fèi)(扣稅前)為(　　) A．2800元 B．3000元 C．3800元 D．3818元 [解析]　設(shè)扣稅前應(yīng)得稿費(fèi)為x元，則應(yīng)

6、納稅額為分段函數(shù)，由題意，得 y＝ 如果稿費(fèi)為4000元應(yīng)納稅為448元，現(xiàn)知某人共納稅420元，所以稿費(fèi)應(yīng)在800～4000元之間，∴(x－800)×14%＝420，∴x＝3800. [答案]　C 二、填空題 7.(2016·江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出．A從甲地自東向西行駛．B從乙地自北向南行駛，A的速度是40 km/h，B的速度是16 km/h，經(jīng)過________小時(shí)，AB間的距離最短． [解析]　設(shè)經(jīng)過x h，A，B相距為y km， 則y＝，求得函數(shù)的最小值時(shí)x的值為. [答案]　 8．(2017·北京海淀一模)某購

7、物網(wǎng)站在2014年11月開展“全場6折”促銷活動，在11日當(dāng)天購物還可以再享受“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”．某人在11日當(dāng)天欲購入原價(jià)48元(單價(jià))的商品共42件，為使花錢總數(shù)最少，他最少需要下的訂單張數(shù)為__________． [解析]　為使花錢總數(shù)最少，需使每張訂單滿足“每張訂單金額(6折后)滿300元時(shí)可減免100元”，即每張訂單打折前原金額不少于500元．由于每件原價(jià)48元，因此每張訂單至少11件，所以最少需要下的訂單張數(shù)為3張． [答案]　3 9．某食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系t＝且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí)．

8、已知甲在某日上午10時(shí)購買了該食品，并將其遺放在室外，且此日的室外溫度隨時(shí)間變化如圖所示．給出以下四個(gè)結(jié)論： ①該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)；②當(dāng)x∈[－6,6]時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少；③到了此日13時(shí)，甲所購買的食品還在保鮮時(shí)間內(nèi)；④到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已然過了保鮮時(shí)間． 其中，所有正確結(jié)論的序號是__________． [解析]　∵食品的保鮮時(shí)間t(單位：小時(shí))與儲藏溫度x(單位：℃)滿足函數(shù)關(guān)系t＝且該食品在4℃的保鮮時(shí)間是16小時(shí)．∴24k＋6＝16，即4k＋6＝4，解得k＝－，∴t＝當(dāng)x＝6時(shí)，t＝8.①該食品在6℃的保鮮時(shí)間是8小時(shí)，正確；

9、②當(dāng)x∈[－6,0]時(shí)，保鮮時(shí)間恒為64小時(shí)，當(dāng)x∈(0,6]時(shí)，該食品的保鮮時(shí)間t隨著x增大而逐漸減少，故錯誤；③到了此日10時(shí)，溫度超過8度，此時(shí)保鮮時(shí)間不超過4小時(shí)，故到13時(shí)，甲所購買的食品不在保鮮時(shí)間內(nèi)，故錯誤；④到了此日14時(shí)，甲所購買的食品已然過了保鮮時(shí)間，故正確．故正確的結(jié)論的序號為①④. [答案]　①④ 三、解答題 10．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時(shí)間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m·2t＋21－t(t≥0，并且m>0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過多少時(shí)間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍． [解]　(1)若m

10、＝2，則θ＝2·2t＋21－t＝2， 當(dāng)θ＝5時(shí)，2t＋＝，令2t＝x≥1，則x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)， 此時(shí)t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度． (2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立． 亦m·2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立． 令＝x，則0

11、0分左右，若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分)計(jì)算當(dāng)月績效工資y元．要求績效工資不低于500元，不設(shè)上限且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資越低、越高人數(shù)要越少．則下列函數(shù)最符合要求的是(　　) A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10＋500 C．y＝(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)] [解析]　由題意知，函數(shù)應(yīng)滿足單調(diào)遞增，且先慢后快，在x＝50左右增長緩慢，最小值為500，A是先減后增，不符合要求；B由指數(shù)函數(shù)知是增長越來越快，不符合要求；D由對數(shù)函數(shù)知增長速度越來越慢，不符合要求；C是由y＝x3經(jīng)過平移和伸縮變換而得，最符合題目要求，

12、故選C. [答案]　C 12．(2017·石家莊質(zhì)檢)加工爆米花時(shí)，爆開且不糊的粒數(shù)占加工總粒數(shù)的百分比稱為“可食用率”．在特定條件下，可食用率p與加工時(shí)間t(單位：分鐘)滿足函數(shù)關(guān)系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常數(shù))，如圖記錄了三次實(shí)驗(yàn)的數(shù)據(jù)．根據(jù)上述函數(shù)模型和實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，可以得到最佳加工時(shí)間為(　　) A．3.50分鐘 B．3.75分鐘 C．4.00分鐘 D．4.25分鐘 [解析]　根據(jù)圖表，把(t，p)的三組數(shù)據(jù)(3,0.7)，(4，0.8)，(5,0.5)分別代入函數(shù)關(guān)系式，聯(lián)立方程組得消去c化簡得 解得所以p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－＋－2＝－2＋，所以當(dāng)t

13、＝＝3.75時(shí)，p取得最大值，即最佳加工時(shí)間為3.75分鐘． [答案]　B 13．一個(gè)容器裝有細(xì)沙a cm3，細(xì)沙從容器底下一個(gè)細(xì)微的小孔慢慢地勻速漏出，t min后剩余的細(xì)沙量為y＝ae－b t(cm3)，經(jīng)過8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一． [解析]　當(dāng)t＝0時(shí)，y＝a，當(dāng)t＝8時(shí)，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時(shí)的八分之一時(shí)， 即y＝ae－b t＝a，e－b t＝＝(e－8b)3＝e－24b， 則t＝24，所以再經(jīng)過16 min. [答案]　16 14．為了在夏季降溫和冬季供

14、暖時(shí)減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層．某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位：萬元)與隔熱層厚度x(單位：cm)滿足關(guān)系C(x)＝(0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費(fèi)用為8萬元，設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和． (1)求k的值及f(x)的表達(dá)式； (2)隔熱層修建多厚時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小，并求最小值． [解]　(1)由已知條件得C(0)＝8，則k＝40， 因此f(x)＝6x＋20·C(x)＝6x＋(0≤x≤10)． (2)f(x)＝6x＋10＋－10 ≥2 －10

15、 ＝70(萬元)， 當(dāng)且僅當(dāng)6x＋10＝，即x＝5時(shí)等號成立． 所以當(dāng)隔熱層厚度為5 cm時(shí)，總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小值，最小值為70萬元． 15．(2017·吉林長春模擬)一種藥在病人血液中的含量不低于2克時(shí)，它才能起到有效治療的作用．已知每服用m(1≤m≤4且m∈R)克的藥劑，藥劑在血液中的含量y(克)隨著時(shí)間x(小時(shí))變化的函數(shù)關(guān)系式近似為y＝m·f(x)，其中f(x)＝ (1)若病人一次服用3克的藥劑，則有效治療時(shí)間可達(dá)多少小時(shí)？ (2)若病人第一次服用2克的藥劑，6個(gè)小時(shí)后再服用m克的藥劑，要使接下來的2小時(shí)中能夠持續(xù)有效治療，試求m的最小值． [解]　(1)因?yàn)閙＝3， 所以y＝ 當(dāng)0≤x<6時(shí)，由≥2，解得x≤11，此時(shí)0≤x<6； 當(dāng)6≤x≤8時(shí)，由12－≥2， 解得x≤，此時(shí)6≤x≤. 綜上所述，0≤x≤. 故若一次服用3克的藥劑，則有效治療的時(shí)間可達(dá)小時(shí)． (2)當(dāng)6≤x≤8時(shí)，y＝2×＋m＝8－x＋， 因?yàn)?－x＋≥2對6≤x≤8恒成立， 即m≥對6≤x≤8恒成立， 等價(jià)于m≥max,6≤x≤8. 令g(x)＝，則函數(shù)g(x)＝在[6,8]上是單調(diào)遞增函數(shù)， 當(dāng)x＝8時(shí)，函數(shù)g(x)＝取得最大值為， 所以m≥， 所以所求的m的最小值為.