（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.3.2 平面直角坐標系中的伸縮變換學案 蘇教版選修4-4

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1、 4.3.2　平面直角坐標系中的伸縮變換 1．了解平面直角坐標系中的伸縮變換，能運用伸縮變化進行簡單的變換． 2．體會平面直角坐標系中的伸縮變換給圖形帶來的變化． [基礎·初探] 1．橫坐標的伸縮變換 一般地，由(k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著y軸的伸縮變換(當k＞1時，表示伸長；當0＜k＜1時，表示壓縮)，即曲線上所有點的縱坐標不變，橫坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x，y)是變換前的點，(x′，y′)是變換后的點)． 2．縱坐標的伸縮變換 一般地，由(k＞0)所確定的伸縮變換，是按伸縮系數(shù)為k向著x軸的伸縮變換(當k＞1時，表示伸長；當0＜k＜1時，表

2、示壓縮)，即曲線上所有點的橫坐標不變，縱坐標變?yōu)樵瓉淼膋倍(這里(x，y)是變換前的點，(x′，y′)是變換后的點)． 3．伸縮變換 一般地，設點P(x，y)是平面直角坐標系中的任意一點，在變換φ：的作用下，點P(x，y)對應到點P′(x′，y′)，稱φ為平面直角坐標系中的坐標伸縮變換，簡稱為伸縮變換． [思考·探究] 1．如果x軸的單位長度保持不變，y軸的單位長度縮小為原來的，圓x2＋y2＝4的圖形變?yōu)槭裁磮D形？伸縮變換可以改變圖形的形狀嗎？那平移變換呢？ 【提示】　x2＋y2＝4的圖形變?yōu)闄E圓：＋y2＝1. 伸縮變換可以改變圖形的形狀，但平移變換僅改變位置，不改變它的形狀．

3、2．如何理解平面直角坐標系中的伸縮變換？ 【提示】　在平面直角坐標系中進行伸縮變換，即改變x軸或y軸的單位長度，將會對圖形產(chǎn)生影響．其特點是坐標系和圖形發(fā)生了改變，而圖形對應的方程不發(fā)生變化．如在下列平面直角坐標系中，分別作出f(x，y)＝0的圖形：(1)x軸與y軸具有相同的單位長度；(2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的k倍；(3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的.第(1)種坐標系中的意思是x軸與y軸上的單位長度一樣，f(x，y)＝0的圖形就是我們以前學過的平面直角坐標系中的f(x，y)＝0的圖形；第(2)種坐標系中的意思是如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，此

4、時f(x，y)＝0表示的圖形與第(1)種坐標系中的圖形是不同的；第(3)種坐標系中的意思是如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的，此時f(x，y)＝0表示的圖形與第(1)種坐標系中的圖形是不同的． [質疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：______________________________

5、_______________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 伸縮變換 　對下列曲線進行伸縮變換(k≠0，且k≠1)． (1)y＝kx＋b； (2)(x－a)2＋(y－b)2＝r2. 【自主解答】　設P(x，y)是變換前的點，P′(x′，y′)是

6、變換后的點，由題意，得即 (1)由y′＝k(x′)＋b，y′＝kx′＋kb，得直線y＝kx＋b經(jīng)過伸縮變換后的方程為y＝kx＋kb，仍然是一條直線． 當b＝0時，該直線和原直線重合；當b≠0時，該直線和原直線平行． (2)由(x′－a)2＋(y′－b)2＝r2，(x′－ka)2＋(y′－kb)2＝(kr)2，得圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2經(jīng)過伸縮變換后的方程為(x－ka)2＋(y－kb)2＝(kr)2，它是一個圓心為(ka，kb)，半徑為|kr|的圓． [再練一題] 1．在同一平面直角坐標系中，將直線x－2y＝2變成直線2x′－y′＝4，求滿足圖象變換的伸縮變換． 【解】　設

7、變換為， 代入直線方程2x′－y′＝4 得：2λx－μy＝4，即λx－y＝2， 比較系數(shù)得： λ＝1，μ＝4， 即直線x－2y＝2圖象上所有點的橫坐標不變，縱坐標擴大到原來的4倍可得到直線2x′－y′＝4. 伸縮變換的應用 　曲線y＝2sin 3x變換成曲線y＝3sin 2x，求它的一個伸縮變換． 【導學號：98990021】 【思路探究】　設代入y′＝3sin 2x′，所得式再與y＝2sin 3x比較即可求λ、μ. 【自主解答】　將變換后的曲線y＝3sin 2x改成y′＝3sin 2x′. 設伸縮變換代入y′＝3sin 2x′； 得μy＝3sin(2λx) 即y

8、＝sin(2λx)，與y＝2sin 3x比較系數(shù)， 得即 所以伸縮變換為 確定一個伸縮變換，實際上就是求其變換方法，將新舊坐標分清，代入對應的曲線方程，然后比較系數(shù)即可． [再練一題] 2．(1)圓x2＋y2＝a2經(jīng)過什么樣的伸縮變換，可以使方程變?yōu)椋?(0＜b＜a)? (2)分析圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線和經(jīng)過該弦中點的直徑所在直線經(jīng)過上述伸縮變換后的位置關系． 【解】　(1)橢圓＋＝1可以化為x2＋＝a2， 設即 所以圓x2＋y2＝a2經(jīng)過向著x軸方向上的伸縮變換，伸縮系數(shù)k＝，可以使方程變?yōu)椋?. (2)若圓x2＋y2＝a2的一條弦所在直線的斜率存

9、在且不為0，設其方程為y＝kx＋m，根據(jù)垂徑定理，經(jīng)過該弦中點的直徑所在直線的方程為y＝－x. 由y′＝kx′＋m，得y′＝x′＋m.所以直線y＝kx＋m經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥＝x＋m. 由y′＝－x′，得y′＝－x′，所以直線y＝－x經(jīng)過變換，方程可變?yōu)閥＝－x. 此時，兩條直線的斜率乘積是定值－. 若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為x＝n，則經(jīng)過其中點的直徑所在直線的方程為y＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閤＝n，y＝0.此時兩直線依然垂直． 若圓x2＋y2＝a2的弦所在直線的方程為y＝n，則經(jīng)過其中點的直徑所在直線的方程為x＝0，伸縮變換后其方程分別變?yōu)閥＝n，x＝0.此時

10、兩直線依然垂直． [真題鏈接賞析] 　(教材第41頁習題4.3第8題)對下列曲線向著x軸進行伸縮變換，伸縮系數(shù)k＝2： (1)x2－4y2＝16；(2)x2＋y2－4x＋2y＋1＝0. 　求滿足下列圖形變換的伸縮變換：由曲線x2＋y2＝1變成曲線＋＝1. 【命題意圖】　本題主要考查平面直角坐標系中的伸縮變換． 【解】　設變換為代入方程＋＝1，得＋＝1.與x2＋y2＝1比較，將其變形為x2＋y2＝1，比較系數(shù)得λ＝3，μ＝2. ∴即將圓x2＋y2＝1上所有點橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，可得橢圓＋＝1. 1．直線x＋4y－6＝0按伸縮系數(shù)向著x軸的伸縮變換后，直

11、線的方程是________． 【答案】　x＋8y－6＝0 2．直線2x－3y＝0按伸縮系數(shù)3向著y軸的伸縮變換后，直線的方程是________． 【答案】　2x－9y＝0 3．曲線x2＋y2＝4按伸縮系數(shù)2向著y軸的伸縮變換后，曲線的方程是________． 【導學號：98990022】 【答案】?。? 4．y＝cos x經(jīng)過伸縮變換后，曲線方程變?yōu)開_____． 【解析】　由，得，代入y＝cos x， 得y′＝cos x′， 即y′＝3cos x′. 【答案】　y＝3cos 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 5