2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第8講 直線與圓學(xué)案 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)“一本”培養(yǎng)專題突破 第2部分 專題5 解析幾何 第8講 直線與圓學(xué)案 文 熱點(diǎn)題型 真題統(tǒng)計(jì) 命題規(guī)律 題型1：圓的方程 2018全國(guó)卷ⅡT20；2017全國(guó)卷ⅢT20 1.高考中對(duì)此部分內(nèi)部的考查以“一小”或“一大”的形式呈現(xiàn). 2.重點(diǎn)考查直線與圓的位置關(guān)系，圓的方程常與圓錐曲線交匯命題. 題型2：直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 2018全國(guó)卷ⅠT15；2018全國(guó)卷ⅢT8；2017全國(guó)卷ⅢT11 2016全國(guó)卷ⅠT15；2016全國(guó)卷ⅡT6；2016全國(guó)卷ⅢT15 2015全國(guó)卷ⅠT20；2014全國(guó)卷ⅠT20；2014全國(guó)卷ⅡT12 1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方

2、程 當(dāng)圓心為(a，b)，半徑為r時(shí)，其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特別地，當(dāng)圓心在原點(diǎn)時(shí)，方程為x2＋y2＝r2. 2．圓的一般方程 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F＞0，表示以為圓心，為半徑的圓． ■高考考法示例· 【例1】　(1)方程x2＋y2＋ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的取值范圍是(　　) A．(－∞，－2)∪　 B. C．(－2,0) D. (2)(2018·廈門模擬)圓C與x軸相切于T(1,0)，與y軸正半軸交于兩點(diǎn)A，B，且|AB|＝2，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A．(x－1)2＋(y－)2＝2 B．(

3、x－1)2＋(y－2)2＝2 C．(x＋1)2＋(y＋)2＝4 D．(x－1)2＋(y－)2＝4 (3)(2018·黃山模擬)已知圓C關(guān)于y軸對(duì)稱，經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，且被x軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為1∶2，則圓C的方程為________． (1)D　(2)A　(3)x2＋2＝　[(1)方程可化為2＋(y＋a)2＝1－a－，由題意知1－a－＞0，解得－2＜a＜，故選D. (2)由題意得，圓C的半徑為＝，圓心坐標(biāo)為(1，)，∴圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－)2＝2，故選A. (3)因?yàn)閳AC關(guān)于y軸對(duì)稱，所以圓C的圓心C在y軸上， 可設(shè)C(0，b)， 設(shè)圓C的半徑為r, 則

4、圓C的方程為x2＋(y－b)2＝r2. 依題意，得解得 所以圓C的方程為x2＋＝.] [方法歸納]　求圓的方程的兩種方法 1．幾何法，通過研究圓的性質(zhì)、直線和圓、圓與圓的位置關(guān)系，進(jìn)而求得圓的基本量和方程． 2．代數(shù)法，即用待定系數(shù)法先設(shè)出圓的方程，再由條件求得各系數(shù)． ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·青島模擬)與直線x＋y－2＝0和曲線x2＋y2－12x－12y＋54＝0都相切的半徑最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A．(x＋2)2＋(y－2)2＝2 B．(x－2)2＋(y＋2)2＝2 C．(x＋2)2＋(y＋2)2＝2 D．(x－2)2＋(y－2)2＝2 D　[由題意

5、知，曲線為(x－6)2＋(y－6)2＝18，過圓心(6,6)作直線x＋y－2＝0的垂線，垂線方程為y＝x，則所求的最小圓的圓心必在直線y＝x上，又(6,6)到直線x＋y－2＝0的距離d＝＝5，故最小圓的半徑為，圓心坐標(biāo)為(2,2)，所以標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋(y－2)2＝2.] 2．一束光線從圓C的圓心C(－1,1)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓C1：(x－2)2＋(y－3)2＝1上的最短路程剛好是圓C的直徑，則圓C的方程為(　　) A．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 B．(x＋1)2＋(y－1)2＝5 C．(x＋1)2＋(y－1)2＝16 D．(x＋1)2＋(y－1)2＝25 A　[圓C

6、1的圓心C1的坐標(biāo)為(2,3)，半徑為r1＝1.點(diǎn)C(－1,1)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′的坐標(biāo)為(－1，－1)．因?yàn)镃′在反射線上，所以最短路程為|C′C1|－r1，即－1＝4.故圓C的半徑為r＝×4＝2，所以圓C的方程為(x＋1)2＋(y－1)2＝4，故選A.] 題型2　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 ■核心知識(shí)儲(chǔ)備· 1．直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法 直線l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)與圓：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)的位置關(guān)系如表． 方法 位置 關(guān)系　 幾何法：根據(jù)d＝與r的大小關(guān)系 代數(shù)法： 消元得一元二次方程，根據(jù) 判別式Δ的符號(hào)判斷 相交

7、 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相離 d＞r Δ＜0 2．弦長(zhǎng)與切線長(zhǎng)的計(jì)算方法 (1)弦長(zhǎng)的計(jì)算：直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝2(其中d為弦心距)． (2)切線長(zhǎng)的計(jì)算：過點(diǎn)P向圓引切線PA，則|PA|＝(其中C為圓心)． 3．圓與圓的位置關(guān)系 設(shè)兩圓圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，|O1O2|＝d，則 (1)d＞r1＋r2?兩圓外離?4條公切線； (2)d＝r1＋r2?兩圓外切?3條公切線； (3)|r1－r2|＜d＜r1＋r2?兩圓相交?2條公切線； (4)d＝|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)切?1條公切線； (5

8、)0＜d＜|r1－r2|(r1≠r2)?兩圓內(nèi)含?無公切線． ■高考考法示例· 【例2】　(2016·全國(guó)卷Ⅲ)已知直線l：x－y＋6＝0與圓x2＋y2＝12交于A，B兩點(diǎn)，過A，B分別作l的垂線與x軸交于C，D兩點(diǎn)，則|CD|＝________. [思路點(diǎn)撥]　 法一：→→→→ 法二：→→ 4　[法一：作出平面圖形，利用數(shù)形結(jié)合求解． 如圖所示，∵直線AB的方程為x－y＋6＝0， ∴kAB＝，∴∠BPD＝30°， 從而∠BDP＝60°. 在Rt△BOD中， ∵|OB|＝2，∴|OD|＝2. 取AB的中點(diǎn)H，連接OH，則OH⊥AB， ∴OH為直角梯形ABDC的

9、中位線， ∴|OC|＝|OD|，∴|CD|＝2|OD|＝2×2＝4. 法二：∵圓心O(0,0)到直線x－y＋6＝0的距離為d＝＝3， ∴|AB|＝2＝2. 如圖②所示，過點(diǎn)C作CE⊥BD于點(diǎn)E. ∵直線l的斜率為， ∴∠ECD＝30°， ∴|CD|＝＝＝＝4.] (2)(2018·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過F且斜率為k(k>0)的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝8. ①求l的方程； ②求過點(diǎn)A，B且與C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． [思路點(diǎn)撥]?、佟? ②→→ [解]?、儆深}意得F(1,0)，l的方程為y＝k(x－1)(k>0)． 設(shè)A(x

10、1，y1)，B(x2，y2)． 由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. Δ＝16k2＋16>0，故x1＋x2＝. 所以|AB|＝|AF|＋|BF|＝(x1＋1)＋(x2＋1)＝. 由題設(shè)知＝8，解得k＝－1(舍去)，k＝1. 因此l的方程為y＝x－1. ②由①得AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(3,2)，所以AB的垂直平分線方程為y－2＝－(x－3)，即y＝－x＋5. 設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為(x0，y0)，則 解得或 因此所求圓的方程為 (x－3)2＋(y－2)2＝16或(x－11)2＋(y＋6)2＝144. [方法歸納]　 1．解決直線與圓、圓與圓位置關(guān)系問題的指導(dǎo)思想 討論

11、直線與圓及圓與圓的位置關(guān)系時(shí)，要注意數(shù)形結(jié)合，充分利用圓的幾何性質(zhì)尋找解題途徑，減少運(yùn)算量． 2．求圓中有關(guān)距離的常用方法 圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題． (教師備選) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心的圓被直線x－y＋4＝0截得的弦長(zhǎng)為2. (1)求圓O的方程； (2)若斜率為2的直線l與圓O相交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)D(－1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，求直線l在y軸上的截距的取值范圍． [解]　

12、(1)設(shè)x2＋y2＝r2，圓心(0,0)到直線x－y＋4＝0的距離d＝2，又因?yàn)榻氐玫南议L(zhǎng)為2，所以r＝＝，圓O的方程為x2＋y2＝7. (2)設(shè)斜率為2的直線l的方程為y＝2x＋b， 與圓相交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由得5x2＋4bx＋b2－7＝0， 則 已知點(diǎn)D(－1,0)在以AB為直徑的圓的內(nèi)部，所以·<0，即·＝(x1＋1，y1)·(x2＋1，y2)＝5x1x2＋(2b＋1)(x1＋x2)＋b2＋1＝－－6＜0，解得－3＜b＜5，滿足Δ＞0. 所以直線l在y軸上的截距的取值范圍為(－3,5)． ■對(duì)點(diǎn)即時(shí)訓(xùn)練· 1．(2018·福州模擬)直

13、線x＋y＝a與圓x2＋y2＝a2＋(a－1)2相交于點(diǎn)A，B，點(diǎn)O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若△AOB是正三角形，則實(shí)數(shù)a的值為(　　) A．1　　　B．－1　　　C.　　　D．－ C　[由題意得，直線被圓截得的弦長(zhǎng)等于半徑，圓的圓心坐標(biāo)O(0,0)，設(shè)圓半徑為r，圓心到直線的距離為d，則d＝＝，由條件得2＝r，整理得4d2＝3r2. 所以6a2＝3a2＋3(a－1)2，解得a＝.選C.] 2．(2018·徐州模擬)如圖2-5-1，已知圓心坐標(biāo)為M(，1)的圓M與x軸及直線y＝x均相切，切點(diǎn)分別為A，B，另一圓N與圓M相切，且與x軸及直線y＝x均相切，切點(diǎn)分別為C，D. 圖2-5-1 (1)

14、求圓M與圓N的方程； (2)過點(diǎn)B作MN的平行線l，求直線l被圓N截得的弦長(zhǎng)． [解]　(1)由于圓M與∠BOA的兩邊相切，故M到OA，OB的距離相等，則M在∠BOA的平分線上，同理，N也在∠BOA的平分線上，即O，M，N三點(diǎn)共線，且直線ON為∠BOA的平分線，因?yàn)镸(，1)，所以M到x軸的距離為1，即圓M的半徑為1，所以圓M的方程為(x－)2＋(y－1)2＝1. 設(shè)圓N的半徑為r，連接AM，CN，如圖所示，則Rt△OAM∽R(shí)t△OCN，得＝，即＝，解得r＝3，OC＝3，所以圓N的方程為(x－3)2＋(y－3)2＝9. (2)由對(duì)稱性可知，所求弦長(zhǎng)為過點(diǎn)A的MN的平行線被圓N截得的

15、弦長(zhǎng)，此弦所在直線的方程為y＝(x－)，即x－y－＝0，圓心N到該直線的距離d＝＝，故弦長(zhǎng)為2＝. 1．(2016·全國(guó)卷Ⅱ)圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1，則a＝(　　) A．－　　　　　　　　 B．－ C.　　　　 D．2 A　[將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式求解． 圓x2＋y2－2x－8y＋13＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y－4)2＝4，由圓心到直線ax＋y－1＝0的距離為1可知＝1，解得a＝－，故選A.] 2．(2018·全國(guó)卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)

16、2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] A　[由題意知圓心的坐標(biāo)為(2,0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2,0)，B(0，－2)，所以|AB|＝2，所以2≤S△ABP≤6.故選A.] 3．(2014·全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)點(diǎn)M(x0,1)，若在圓O：x2＋y2＝1上存在點(diǎn)N，使得∠OMN＝45°，則x0的取值范圍是(　　) A．[－1,1] B. C．[－，] D. A　[如圖，過點(diǎn)M作⊙O的切線，切點(diǎn)為N

17、，連接ON.M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，MN與⊙O相切于點(diǎn)N. 設(shè)∠OMN＝θ，則θ≥45°，即sin θ≥，即≥. 而ON＝1，∴OM≤. ∵M(jìn)為(x0,1)， ∴≤， ∴x≤1， ∴－1≤x0≤1， ∴x0的取值范圍為[－1,1]．] 4．(2015·全國(guó)卷Ⅰ)一個(gè)圓經(jīng)過橢圓＋＝1的三個(gè)頂點(diǎn)，且圓心在x軸的正半軸上，則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________． 2＋y2＝　[由橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求出其四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)，由圓心在x軸的正半軸上知該圓過上、下頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)． 由題意知a＝4，b＝2，上、下頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0,2)，(0，－2)，右頂點(diǎn)的坐標(biāo)為(4,0)．由圓心在x軸的正半軸上知圓過點(diǎn)(0,2)，(0，－2)，(4,0)三點(diǎn)．設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－m)2＋y2＝r2(00)，則解得所以圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為2＋y2＝.] 5．(2016·全國(guó)卷Ⅰ)設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝2，則圓C的面積為________． 4π　[圓C：x2＋y2－2ay－2＝0化為標(biāo)準(zhǔn)方程是C：x2＋(y－a)2＝a2＋2， 所以圓心C(0，a)，半徑r＝.|AB|＝2，點(diǎn)C到直線y＝x＋2a即x－y＋2a＝0的距離d＝，由勾股定理得2＋2＝a2＋2，解得a2＝2， 所以r＝2，所以圓C的面積為π×22＝4π.]