（江蘇專用版 ）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 4.1.1 直角坐標(biāo)系學(xué)案 蘇教版選修4-4

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1、 4.1.1　直角坐標(biāo)系 1．掌握在平面直角坐標(biāo)系中刻畫點(diǎn)的位置的方法，體會坐標(biāo)系的作用． 2．對具體問題，能建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使所刻畫的代數(shù)形式具有更簡便的結(jié)果． [基礎(chǔ)·初探] 1．直線坐標(biāo)系 在直線上，取一個點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個長度單位和直線的方向，就建立了直線上的坐標(biāo)系，即數(shù)軸． 數(shù)軸上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的實(shí)數(shù)x確定，x稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)． 2．平面直角坐標(biāo)系 在平面上，取兩條互相垂直的直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個長度單位和這兩條直線的方向，就建立了平面直角坐標(biāo)系．平面上任意一點(diǎn)P都可以由惟一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)確定，(x，y)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)． 3．空

2、間直角坐標(biāo)系 在空間中，選擇兩兩垂直且交于一點(diǎn)的三條直線，取這三條直線的交點(diǎn)為原點(diǎn)，并確定一個長度單位和這三條直線的方向，就建立了空間直角坐標(biāo)系． 空間中任意一點(diǎn)P都可以由惟一的三元有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)確定，(x，y，z)稱為點(diǎn)P的坐標(biāo)． [思考·探究] 1．建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系一般有哪些規(guī)則？ 【提示】　(1)如果圖形有對稱中心，可以選擇對稱中心為坐標(biāo)原點(diǎn)； (2)如果圖形有對稱軸，可以選擇對稱軸為坐標(biāo)軸； (3)使圖形上的特殊點(diǎn)盡可能多的落在坐標(biāo)軸上． 2．由坐標(biāo)(x，y)怎樣確定點(diǎn)的位置？ 【提示】　在平面直角坐標(biāo)系中，分別過點(diǎn)M(x,0)，N(0，y)作x軸和y軸的垂

3、線，兩條直線的交點(diǎn)P即(x，y)所確定的點(diǎn)． [質(zhì)疑·手記] 預(yù)習(xí)完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3

4、：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系刻畫點(diǎn)的位置 　正方形的邊長等于4，試選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示其頂點(diǎn)與中心的坐標(biāo)． 【自主解答】　　法一　以正方形的一個頂點(diǎn)為原點(diǎn)，兩條鄰邊為坐標(biāo)軸，且把第四個頂點(diǎn)放在第一象限，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(1)所示．此時，其四個頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為O(0,0)、A(4,0)、B(4,4)、C(0,4)，中心為M(2,2)． 法二　以正方形的中心

5、為原點(diǎn)，且使兩條坐標(biāo)軸平行于正方形的邊，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖(2)所示．此時，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，－2)、B(2,2)、C(－2,2)、D(－2，－2)，中心為O(0,0)． 法三　以正方形的兩條對角線為坐標(biāo)軸建立直角坐標(biāo)系，如圖(3)所示．此時，正方形的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(2，0)、B(0,2)、C(－2，0)、D(0，－2)，中心為O(0,0)．(作圖時只要以圖(2)中的原點(diǎn)O為圓心，OA為半徑作圓，該圓與坐標(biāo)軸的四個交點(diǎn)即是圖(3)中正方形的各個頂點(diǎn)) [再練一題] 1．選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，表示兩條直角邊長都為1的直角三角形的三個頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 【導(dǎo)學(xué)號：989900

6、00】 【解】　法一　以直角三角形的兩條直角邊AC、BC所在直線分別為x軸、y軸，建立如圖(1)所示的平面直角坐標(biāo)系，則C(0,0)，A(1,0)，B(0,1)． 法二　以斜邊AB所在直線為x軸，線段AB的中垂線為y軸，建立如圖(2)所示的平面直角坐標(biāo)系．則A(－，0)，B(，0)，C(0，)． 建立坐標(biāo)系解決證明問題 　用解析法證明：等腰三角形底邊延長線上一點(diǎn)，到兩腰的距離之差等于一腰上的高． 【自主解答】　　如圖，在△ABC中，AB＝AC， P為BC延長線上一點(diǎn)，PD⊥AB于D，PE⊥AC于E，CF⊥AB于F，以BC所在直線為x軸，以BC的中垂線為y軸， 建立直角

7、坐標(biāo)系，如圖所示， 設(shè)A(0，b)，B(－a,0)，C(a,0)(a＞0，b＞0)，則直線AB的方程為bx－ay＋ab＝0， 直線AC的方程為bx＋ay－ab＝0， 取P(x0,0)，使x0＞a，則點(diǎn)P到直線AB、AC的距離分別為 PD＝＝， PE＝＝. 點(diǎn)C到直線AB的距離為 CF＝＝， 則PD－PE＝＝CF. 故所需證明命題成立． [再練一題] 2．已知△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別為兩腰上的高，求證：BD＝CE. 【證明】　如圖，以BC所在直線為x軸，BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系． 設(shè)B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h)． 則直線

8、AC的方程為y＝－x＋h，即：hx＋ay－ah＝0. 直線AB的方程為y＝x＋h， 即：hx－ay＋ah＝0. 由點(diǎn)到直線的距離公式得： BD＝， CE＝. ∴BD＝CE. 建立坐標(biāo)系求軌跡方程 　如圖4-1-1所示，過點(diǎn)P(2,4)有兩條互相垂直的直線l1，l2.l1交x軸于A點(diǎn)，l2交y軸于B點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M滿足的方程． 圖4-1-1 【思路探究】　法一　設(shè)點(diǎn)→求斜率→斜率積為－1→整理得方程→ 檢查有無不適合的點(diǎn)→結(jié)論 法二　設(shè)M(x，y)→尋求M滿足的條件→列方程→檢查有無不適合的點(diǎn) →結(jié)論 法三　O，A，P，B四點(diǎn)共圓→PM＝MO→求kO

9、P及OP中點(diǎn)坐標(biāo)→ 點(diǎn)斜式寫出OP的垂直平分線方程為所求 【自主解答】　法一　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，因?yàn)镸為線段AB的中點(diǎn)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2x,0)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2y)． 因?yàn)閘1⊥l2，且l1，l2過點(diǎn)P(2,4)， 所以kAP·kPB＝－1. 而kAP＝(x≠1)，kPB＝，所以·＝－1(x≠1)，整理，得x＋2y－5＝0(x≠1)． 因?yàn)楫?dāng)x＝1時，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(2,0)，(0,4)，所以線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是(1,2)，它滿足方程x＋2y－5＝0. 綜上所述，點(diǎn)M滿足的方程是x＋2y－5＝0. 法二　設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，則A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是

10、(2x,0)，(0,2y)， 連接PM.因?yàn)閘1⊥l2，所以PM＝AB. 而PM＝， AB＝， 所以2＝， 化簡，得x＋2y－5＝0，即為所求方程． 法三　因?yàn)閘1⊥l2，OA⊥OB，點(diǎn)M為線段AB的中點(diǎn)，所以O(shè)，A，P，B四點(diǎn)共圓， 且該圓的圓心為M(x，y)，所以PM＝MO，所以點(diǎn)M的軌跡為線段OP的垂直平分線． 因?yàn)閗OP＝＝2，OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，所以點(diǎn)M滿足的方程為y－2＝－(x－1)， 化簡得x＋2y－5＝0. 通過建立坐標(biāo)系精確地刻畫集合圖形的位置和物體運(yùn)動的軌跡的方法稱為解析法．解決此類問題的關(guān)鍵： (1)建立平面直角坐標(biāo)系； (2)設(shè)點(diǎn)(點(diǎn)

11、與坐標(biāo)的對應(yīng))； (3)列式(方程與坐標(biāo)的對應(yīng)，列出幾何條件，并將幾何條件代數(shù)化)； (4)化簡(注意變形的等價性)； (5)證明(若保證等價變形，則此步驟可以省略)． [再練一題] 3．設(shè)圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為C，過原點(diǎn)作圓的弦OA，求OA中點(diǎn)B的軌跡方程． 【解】　法一　(直接法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意，得OB2＋BC2＝OC2，如圖所示， 即x2＋y2＋[(x－1)2＋y2]＝1，即OA中點(diǎn)B的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法二　(幾何法)：設(shè)B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意知CB⊥OA，OC的中點(diǎn)記為M(，0)， 則M

12、B＝OC＝， 故B點(diǎn)的軌跡方程為(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法三　(代入法)：設(shè)A點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，B點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)， 由題意得 即 又因?yàn)?x1－1)2＋y＝1， 所以(2x－1)2＋(2y)2＝1， 即(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))． 法四　(交點(diǎn)法)：設(shè)直線OA的方程為y＝kx， 當(dāng)k＝0時，B為(1,0)；當(dāng)k≠0時，直線BC的方程為： y＝－(x－1)，直線OA，BC的方程聯(lián)立消去k即得其交點(diǎn)軌跡方程：y2＋x(x－1)＝0，即(x－)2＋y2＝(x≠0,1)， 顯然B(1,0)滿足(x－)2＋y2＝， 故(x－)2＋y2＝(去掉原點(diǎn))為所求．

13、 [真題鏈接賞析] 　(教材第16頁習(xí)題4.1第4題)據(jù)氣象臺預(yù)報，在A市正東方300 km的B處有一臺風(fēng)中心形成，并以每小時40 km的速度向西北方向移動，在距臺風(fēng)中心250 km以內(nèi)的地區(qū)將受其影響．問：從現(xiàn)在起經(jīng)過多少時間，臺風(fēng)將影響A市，持續(xù)時間多長？ 　已知B村位于A村的正西方向1公里處，原計(jì)劃經(jīng)過B村沿著北偏東60°的方向埋設(shè)一條地下管線m.但在A村的西北方向400米處，發(fā)現(xiàn)一古代文物遺址W.根據(jù)初步勘察的結(jié)果，文物管理部門將遺址W周圍100米范圍劃為禁區(qū)．試問：埋設(shè)地下管線m的計(jì)劃需要修改嗎？ 【命題意圖】　本題主要考查合理建立直角坐標(biāo)系，并能應(yīng)用其解決實(shí)際問題的能力．

14、 【解】　以A村為原點(diǎn)，直線BA為x軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系． 則點(diǎn)B坐標(biāo)為(－1 000,0)，點(diǎn)W坐標(biāo)為(－200，200)，由題意，管線m的斜率為k＝tan 30°＝， 所以管線m所在的方程為y＝(x＋1 000)， 化簡得x－3y＋1 000＝0， 即x－y＋1 000＝0. 點(diǎn)W到該直線m的距離為 d＝ ＝|500－100－100|＝100(5－－)． 因?yàn)?－－＞1，所以d＞100. 故管線m不會穿過禁區(qū)，故該計(jì)劃不需要修改． 1．已知點(diǎn)P(－1＋2m，－3－m)在第三象限，則m的取值范圍是________． 【解析】　∵第三象限點(diǎn)的坐標(biāo)特征是橫坐標(biāo)與

15、縱坐標(biāo)均小于0， ∴即∴－3＜m＜. 【答案】　(－3，) 2．點(diǎn)P(2，－3，－1)關(guān)于yOz坐標(biāo)平面對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)是________． 【解析】　∵P(x，y，z)關(guān)于平面yOz坐標(biāo)平面對稱的為點(diǎn)P′(－x，y，z)， ∴點(diǎn)(2，－3，－1)關(guān)于yOz平面的對稱點(diǎn)為(－2，－3，－1)． 【答案】　(－2，－3，－1) 3．△ABC中，B(－2,0)，C(2,0)，△ABC的周長為10，則A點(diǎn)的軌跡方程是________． 【解析】　∵BC＝4，∴AB＋AC＝10－BC＝6＞BC， ∴A的軌跡為橢圓除去B、C兩點(diǎn)，∴設(shè)橢圓方程為＋＝1，故2a＝6,2c＝4，即a＝3，c＝

16、2，∴b2＝32－22＝5. 故軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 【答案】　＋＝1(y≠0) 4．點(diǎn)(－2，－3)關(guān)于直線3x＋4y＋5＝0對稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為________． 【導(dǎo)學(xué)號：98990001】 【解析】　設(shè)所求對稱點(diǎn)為(x，y)，則 解得 所求對稱點(diǎn)坐標(biāo)為(，)． 【答案】　(，) 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 8