2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第三章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 3.1 導(dǎo)數(shù)的概念及運(yùn)算練習(xí) 文 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 常考題型 預(yù)測(cè)熱度 1.導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.了解導(dǎo)數(shù)概念的實(shí)際背景 2.理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 Ⅱ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,14; 2017天津,10; 2016山東,10; 2015課標(biāo)Ⅰ,14; 2015課標(biāo)Ⅱ,16 選擇題、 填空題 ★★★ 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.能根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)y=C(C為常數(shù)),y=x,y=,y=x2,y=x3,y=的導(dǎo)數(shù) 2.能利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù) Ⅲ 2016天

2、津,10; 2015天津,11 選擇題、 解答題 分析解讀 本部分主要是對(duì)導(dǎo)數(shù)概念及其運(yùn)算的考查,以導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算公式和運(yùn)算法則為基礎(chǔ),以導(dǎo)數(shù)的幾何意義為重點(diǎn). 1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義最常見的是求過(guò)曲線上某點(diǎn)的切線的斜率、方程、斜率與傾斜角的關(guān)系、切點(diǎn)的坐標(biāo),或以平行、垂直直線的斜率間的關(guān)系為載體求字母的取值等. 2.導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算是每年必考的內(nèi)容,一般不單獨(dú)考查,而在考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用時(shí)與單調(diào)性、極值與最值結(jié)合出題考查. 3.本節(jié)內(nèi)容在高考中分值為5分左右,屬于容易題. 五年高考 考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.(2016山東,10,5分)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點(diǎn),

3、使得函數(shù)的圖象在這兩點(diǎn)處的切線互相垂直,則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是(　　) A.y=sin x B.y=ln x C.y=ex D.y=x3 答案　A　 2.(2014陜西,10,5分)如圖,修建一條公路需要一段環(huán)湖彎曲路段與兩條直道平滑連接(相切).已知環(huán)湖彎曲路段為某三次函數(shù)圖象的一部分,則該函數(shù)的解析式為(　　) A.y=x3-x2-x B.y=x3+x2-3x C.y=x3-x D.y=x3+x2-2x 答案　A　 3.(2017天津,10,5分)已知a∈R,設(shè)函數(shù)f(x)=ax-ln x的圖象在點(diǎn)(1, f(1))處的切線為l,則l在y軸上

4、的截距為　　　　. 答案　1 4.(2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,14,5分)曲線y=x2+在點(diǎn)(1,2)處的切線方程為　　　　　　. 答案　x-y+1=0 5.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,16,5分)已知f(x)為偶函數(shù),當(dāng)x≤0時(shí), f(x)=e-x-1-x,則曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,2)處的切線方程是　　　　. 答案　y=2x 6.(2015課標(biāo)Ⅰ,14,5分)已知函數(shù)f(x)=ax3+x+1的圖象在點(diǎn)(1, f(1))處的切線過(guò)點(diǎn)(2,7),則a=　　　　. 答案　1 7.(2015課標(biāo)Ⅱ,16,5分)已知曲線y=x+ln x在點(diǎn)(1,1)處的切線與曲線y=ax2+(a+2)x+1相

5、切,則a=　　　　. 答案　8 8.(2014江西,11,5分)若曲線y=xln x上點(diǎn)P處的切線平行于直線2x-y+1=0,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是　　　　. 答案　(e,e) 教師用書專用(9—15) 9.(2014廣東,11,5分)曲線y=-5ex+3在點(diǎn)(0,-2)處的切線方程為　　　　　　　. 答案　5x+y+2=0 10.(2013江西,11,5分)若曲線y=xα+1(α∈R)在點(diǎn)(1,2)處的切線經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則α=　　　　. 答案　2 11.(2013廣東,12,5分)若曲線y=ax2-ln x在點(diǎn)(1,a)處的切線平行于x軸,則a=　　　　. 答案　 12.(

6、2015山東,20,13分)設(shè)函數(shù)f(x)=(x+a)ln x,g(x)=.已知曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線與直線2x-y=0平行. (1)求a的值; (2)是否存在自然數(shù)k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由; (3)設(shè)函數(shù)m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的較小值),求m(x)的最大值. 解析　(1)由題意知,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線斜率為2, 所以f '(1)=2, 又f '(x)=ln x++1,所以a=1. (2)k=1時(shí),方程f(x

7、)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根. 設(shè)h(x)=f(x)-g(x)=(x+1)ln x-, 當(dāng)x∈(0,1]時(shí),h(x)<0. 又h(2)=3ln 2-=ln 8->1-1=0, 所以存在x0∈(1,2), 使得h(x0)=0. 因?yàn)閔'(x)=ln x++1+, 所以當(dāng)x∈(1,2)時(shí),h'(x)>1->0, 當(dāng)x∈(2,+∞)時(shí),h'(x)>0, 所以當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí),h(x)單調(diào)遞增. 所以k=1時(shí),方程f(x)=g(x)在(k,k+1)內(nèi)存在唯一的根. (3)由(2)知方程f(x)=g(x)在(1,2)內(nèi)存在唯一的根x0, 且x∈(0,x0)時(shí), f(

8、x)g(x), 所以m(x)= 當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),若x∈(0,1],m(x)≤0; 若x∈(1,x0),由m'(x)=ln x++1>0, 可知00,m(x)單調(diào)遞增; x∈(2,+∞)時(shí),m'(x)<0,m(x)單調(diào)遞減, 可知m(x)≤m(2)=,且m(x0)

9、 (1)若a=0,求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1, f(1))處的切線方程; (2)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性. 解析　(1)由題意知a=0時(shí),f(x)=,x∈(0,+∞), 此時(shí)f '(x)=, 可得f '(1)=, 又f(1)=0, 所以曲線y=f(x)在(1, f(1))處的切線方程為x-2y-1=0. (2)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0,+∞). f '(x)=+=. 當(dāng)a≥0時(shí),f '(x)>0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增, 當(dāng)a<0時(shí),令g(x)=ax2+(2a+2)x+a, Δ=(2a+2)2-4a2=4(2a+1). ①當(dāng)a=-時(shí),Δ=0, f '(

10、x)=≤0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ②當(dāng)a<-時(shí),Δ<0,g(x)<0, f '(x)<0,函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減. ③當(dāng)-0, 設(shè)x1,x2(x10, 所以x∈(0,x1)時(shí),g(x)<0,f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減, x∈(x1,x2)時(shí),g(x)>0,f '(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增, x∈(x2,+∞)時(shí),g(x)<0,f '(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減. 綜上可得: 當(dāng)a≥0時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增; 當(dāng)a≤

11、-時(shí),函數(shù)f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞減; 當(dāng)-

12、所以f(x)在區(qū)間[-2,1]上的最大值為f=. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1,t)的直線與曲線y=f(x)相切于點(diǎn)(x0,y0), 則y0=2-3x0,且切線斜率為k=6-3, 所以切線方程為y-y0=(6-3)(x-x0), 因此t-y0=(6-3)(1-x0).整理得4-6+t+3=0. 設(shè)g(x)=4x3-6x2+t+3, 則“過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切”等價(jià)于“g(x)有3個(gè)不同零點(diǎn)”. g'(x)=12x2-12x=12x(x-1). g(x)與g'(x)的變化情況如下表: x (-∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g'(x)

13、 + 0 - 0 + g(x) ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ 所以,g(0)=t+3是g(x)的極大值,g(1)=t+1是g(x)的極小值. 當(dāng)g(0)=t+3≤0,即t≤-3時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間(-∞,1]和(1,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)g(1)=t+1≥0,即t≥-1時(shí),此時(shí)g(x)在區(qū)間(-∞,0)和[0,+∞)上分別至多有1個(gè)零點(diǎn),所以g(x)至多有2個(gè)零點(diǎn). 當(dāng)g(0)>0且g(1)<0,即-30,所以g(x)分別在區(qū)間[-1,0),[0,1)和[1,2)

14、上恰有1個(gè)零點(diǎn).由于g(x)在區(qū)間(-∞,0)和(1,+∞)上單調(diào),所以g(x)分別在區(qū)間(-∞,0)和[1,+∞)上恰有1個(gè)零點(diǎn). 綜上可知,當(dāng)過(guò)點(diǎn)P(1,t)存在3條直線與曲線y=f(x)相切時(shí),t的取值范圍是(-3,-1). (3)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)存在3條直線與曲線y=f(x)相切; 過(guò)點(diǎn)B(2,10)存在2條直線與曲線y=f(x)相切; 過(guò)點(diǎn)C(0,2)存在1條直線與曲線y=f(x)相切. 15.(2013北京,18,13分)已知函數(shù)f(x)=x2+xsin x+cos x. (1)若曲線y=f(x)在點(diǎn)(a, f(a))處與直線y=b相切,求a與b的值; (2)若曲線

15、y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn),求b的取值范圍. 解析　由f(x)=x2+xsin x+cos x,得f '(x)=x(2+cos x). (1)因?yàn)榍€y=f(x)在點(diǎn)(a,f(a))處與直線y=b相切,所以f '(a)=a(2+cos a)=0,b=f(a). 解得a=0,b=f(0)=1. (2)令f '(x)=0,得x=0. f(x)與f '(x)的情況如下: x (-∞,0) 0 (0,+∞) f '(x) - 0 + f(x) ↘ 1 ↗ 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間(-∞,0)上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)上單調(diào)遞增,所以f(0)=1是f

16、(x)的最小值. 當(dāng)b≤1時(shí),曲線y=f(x)與直線y=b最多只有一個(gè)交點(diǎn); 當(dāng)b>1時(shí),f(-2b)=f(2b)≥4b2-2b-1>4b-2b-1>b, f(0)=11時(shí)曲線y=f(x)與直線y=b有且僅有兩個(gè)不同交點(diǎn). 綜上可知,如果曲線y=f(x)與直線y=b有兩個(gè)不同交點(diǎn),那么b的取值范圍是(1,+∞). 考點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 1.(2016天津,10,5分)已知函數(shù)f(x)=(2x+1)ex, f '(x)為

17、f(x)的導(dǎo)函數(shù),則f '(0)的值為　　　　. 答案　3 2.(2015天津,11,5分)已知函數(shù)f(x)=axln x,x∈(0,+∞),其中a為實(shí)數(shù), f '(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).若f '(1)=3,則a的值為　　　　. 答案　3 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　導(dǎo)數(shù)的概念與幾何意義 1.(2018廣東佛山一中期中考試,11)已知f(x)=(x+a)ex的圖象在x=-1與x=1處的切線互相垂直,則a=(　　) A.-1 B.0 C.1 D.2 答案　A　 2.(2017四川名校一模,6)已知函數(shù)f(x)的圖象如圖, f '(x)是f

18、(x)的導(dǎo)函數(shù),則下列數(shù)值排序正確的是(　　) A.0

19、.(2018河北“名校聯(lián)盟”高三教學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè),16)設(shè)函數(shù)y=f(x)在其圖象上任意一點(diǎn)(x0,y0)處的切線方程為y-y0=(3-6x0)(x-x0),且f(3)=0,則不等式≥0的解集為　　　　　　　. 答案　(-∞,0)∪(0,1]∪(3,+∞) 6.(2017湖南衡陽(yáng)八中期中,14)曲線f(x)=xex在點(diǎn)(1,f(1))處的切線的斜率是　　　　. 答案　2e 7.(2017廣東韶關(guān)六校聯(lián)考,14)已知函數(shù)f(x)=ln x-ax2,且曲線f(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的斜率是-,則a=　　　　. 答案　 8.(2016北京東城期中,16)若過(guò)曲線f(x)=xln x

20、上的點(diǎn)P的切線斜率為2,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為　　　　. 答案　(e,e) 9.(人教A選1—1,三,2,B1,變式)已知函數(shù)f(x)=,g(x)=aln x,a∈R.若曲線y=f(x)與曲線y=g(x)相交,且在交點(diǎn)處有相同的切線,則a=　　　　,切線方程為　　　　　　　. 答案　;x-2ey+e2=0 考點(diǎn)二　導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算 10.(2018福建福安一中測(cè)試,6)已知f(x)=e-x+ex的導(dǎo)函數(shù)為f '(x),則f '(1)=(　　) A.e- B.e+ C.1+ D.0 答案　A　 11.(2018福建福州八縣聯(lián)考,11)已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)是f '(x),且滿足f(x)=2x

21、f '(1)+ln,則f(1)=(　　) A.-e B.2 C.-2 D.e 答案　B　 12.(2017山西名校聯(lián)考,3)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱,則f(x)的解析式可能為(　　) A.f(x)=3cos x B.f(x)=x3+x2 C.f(x)=1+sin 2x D.f(x)=ex+x 答案　C　 13.(2016河北衡水中學(xué)二調(diào),10)若點(diǎn)P是曲線y=x2-ln x上任意一點(diǎn),則點(diǎn)P到直線y=x-2的最小距離為(　　) A.1 B. C. D. 答案　B　 B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:55分　時(shí)間:50分鐘) 一、選擇題(每小

22、題5分,共15分) 1.(2018福建福州八縣聯(lián)考,9)函數(shù)f(x)=4x3-6x2+a的極大值為6,那么f(a-5)的值是(　　) A.6 B.5 C.4 D.3 答案　C　 2. (2017河南鄭州、平頂山、濮陽(yáng)二模,10)設(shè)函數(shù)f(0)(x)=sin x,定義f(1)(x)=f'[f(0)(x)],f(2)(x)=f'[f(1)(x)],……, f(n)(x)=f '[f(n-1)(x)],則f(1)(15°)+f(2)(15°)+f(3)(15°)+…+f(2 017)(15°)的值是(　　) A. B. C.0 D.1 答案　A　 3.(2016江西贛中南五校2月第一次

23、聯(lián)考,11)已知函數(shù)fn(x)=xn+1,n∈N的圖象與直線x=1交于點(diǎn)P,若圖象在點(diǎn)P處的切線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為xn,則log2 013x1+log2 013x2+…+log2 013x2 012的值為(　　) A.-1 B.1-log2 0132 012 C.-log2 0132 012 D.1 答案　A　 二、填空題(每小題5分,共10分) 4.(2017山西名校聯(lián)考,16)設(shè)函數(shù)f(x)=且f'(-1)=f'(1),則當(dāng)x>0時(shí),f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)的極小值為　　　　. 答案　2 5.(2017天津紅橋期中聯(lián)考,16)若曲線f(x)=ax5+ln x存在垂直于y軸的

24、切線,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是　　　　. 答案　(-∞,0) 三、解答題(每小題10分,共30分) 6.(2018廣東惠州一調(diào),21)設(shè)函數(shù)f(x)=. (1)求曲線y=f(x)在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程; (2)當(dāng)x≥1時(shí),不等式f(x)-≥恒成立,求a的取值范圍. 解析　(1)根據(jù)題意可得,f(e)=,f '(x)=, 所以f '(e)==-, 所以曲線在點(diǎn)(e,f(e))處的切線方程為y-=-(x-e),即x+e2y-3e=0. (2)根據(jù)題意可得,f(x)--=≥0在x≥1時(shí)恒成立, 令g(x)=ln x-a(x2-1)(x≥1),所以g'(x)=-2ax, 當(dāng)

25、a≤0時(shí),g'(x)>0,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞增,所以g(x)≥g(1)=0, 所以不等式f(x)-≥成立,故a≤0符合題意; 當(dāng)a>0時(shí),令-2ax=0,解得x=(舍負(fù)),令=1,解得a=, ①當(dāng)01,所以在上,g'(x)>0,在上,g'(x)<0, 所以函數(shù)y=g(x)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減, g=ln-a=-ln a-+a,令h(a)=-ln a-+a,則h'(a)=-++1=,易知h'(a)>0恒成立,又0

26、(x)<0在(1,+∞)上恒成立,所以函數(shù)y=g(x)在[1,+∞)上單調(diào)遞減,所以g(x)≤g(1)=0,顯然a≥不符合題意. 綜上所述,a的取值范圍為{a|a≤0}. 7.(2017皖南八校12月聯(lián)考,21)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2-2ax-1. (1)當(dāng)a=1時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線方程; (2)當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0恒成立,求a的取值范圍. 解析　(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x2-2x-1,f(-1)=, 所以切點(diǎn)坐標(biāo)為, f '(x)=ex-2x-2,所以f '(-1)=, 故曲線y=f(x)在點(diǎn)(-1,f(-1))處的切線

27、方程為y-=[x-(-1)],即y=x+. (2)對(duì)f(x)=ex-ax2-2ax-1求導(dǎo)得f '(x)=ex-2ax-2a, 令g(x)=f '(x)=ex-2ax-2a(x>0),則g'(x)=ex-2a(x>0). ①當(dāng)2a≤1,即a≤時(shí),g'(x)=ex-2a>1-2a≥0, 所以g(x)=f '(x)=ex-2ax-2a在(0,+∞)上為增函數(shù), 所以g(x)>g(0)=1-2a≥0,則f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù), 所以f(x)>f(0)=1-0-0-1=0,故a≤時(shí)符合題意. ②當(dāng)2a>1,即a>時(shí),令g'(x)=ex-2a=0,得x=ln 2a>0,當(dāng)x變化時(shí)

28、,g'(x),g(x)的變化情況如下表, x (0,ln 2a) ln 2a (ln 2a,+∞) g'(x) - 0 + g(x) 減函數(shù) 極小值 增函數(shù) 當(dāng)x∈(0,ln 2a)時(shí),g(x)

29、范圍. 解析　(1)當(dāng)a=1時(shí),f(x)=ex-x2+2x,f '(x)=ex-2x+2, ∴f '(1)=e,f(1)=e+1, ∴所求切線方程為y-(e+1)=e(x-1),即ex-y+1=0. (2)f '(x)=ex-2x+2a,∵f(x)在R上單調(diào)遞增, ∴f '(x)≥0在R上恒成立, ∴a≥x-在R上恒成立.令g(x)=x-, 則g'(x)=1-,令g'(x)=0,得x=ln 2, ∵在(-∞,ln 2)上,g'(x)>0,在(ln 2,+∞)上,g'(x)<0, ∴g(x)在(-∞,ln 2)上單調(diào)遞增,在(ln 2,+∞)上單調(diào)遞減, ∴g(x)max=g

30、(ln 2)=ln 2-1, ∴a≥ln 2-1, ∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為[ln 2-1,+∞). C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的方法 1.(2018河南許昌、平頂山聯(lián)考,3)已知f(x)是偶函數(shù),在(-∞,0)上滿足xf '(x)>0恒成立,則下列不等式成立的是(　　) A.f(-3)

31、006 D.2007 答案　B　 方法2　利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求曲線的切線方程 3.(2018河南天一大聯(lián)考,10)已知f(x)是定義在R上的單調(diào)函數(shù),滿足f[f(x)-ex]=1,則曲線y=f(x)在(0,f(0))處的切線方程為(　　) A.y=x+1 B.y=x-1 C.y=-x+1 D.y=-x-1 答案　A　 4.(2016遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)分校期中,20)已知函數(shù)f(x)=x3-x2+bx+a(a,b∈R),其導(dǎo)函數(shù)f '(x)的圖象過(guò)原點(diǎn). (1)當(dāng)a=1時(shí),求函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程; (2)若存在x<0,使得f '(x)=-9,求a的最大值; 解析　(1)f '(x)=x2-(a+1)x+b,由題意得f '(0)=0,故b=0.所以f '(x)=x(x-a-1). 當(dāng)a=1時(shí),f(x)=x3-x2+1,f '(x)=x(x-2), 故f(3)=1,f '(3)=3. 故函數(shù)f(x)的圖象在x=3處的切線方程為y-1=3(x-3),即3x-y-8=0. (2)由f '(x)=-9,得x(x-a-1)=-9. 當(dāng)x<0時(shí),-a-1=-x-=(-x)+≥2=6,所以a≤-7. 當(dāng)且僅當(dāng)x=-3時(shí),a=-7,故a的最大值為-7.