（浙江專用版）2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 三角函數(shù) 1.2.1 任意角的三角函數(shù)（一）學(xué)案 新人教A版必修2

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1、 1．2.1　任意角的三角函數(shù)(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過借助單位圓理解并掌握任意角的三角函數(shù)定義，了解三角函數(shù)是以實(shí)數(shù)為自變量的函數(shù).2.借助任意角三角函數(shù)的定義理解并掌握正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限內(nèi)的符號(hào).3.通過對(duì)任意角的三角函數(shù)定義的理解，掌握終邊相同的角的同一三角函數(shù)值相等． 知識(shí)點(diǎn)一　任意角的三角函數(shù) 使銳角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，在終邊上任取一點(diǎn)P，作PM⊥x軸于M，設(shè)P(x，y)，|OP|＝r. 思考1　角α的正弦、余弦、正切分別等于什么？ 答案　sin α＝，cos α＝，tan α＝. 思考2　對(duì)確定的銳角α，sin α，co

2、s α，tan α的值是否隨P點(diǎn)在終邊上的位置的改變而改變？ 答案　不會(huì)．因?yàn)槿呛瘮?shù)值是比值，其大小與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)，只與角α的終邊位置有關(guān)，即三角函數(shù)值的大小只與角有關(guān)． 思考3　在思考1中，當(dāng)取|OP|＝1時(shí)，sin α，cos α，tan α的值怎樣表示？ 答案　 sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝. 梳理　(1)單位圓 在直角坐標(biāo)系中，我們稱以原點(diǎn)O為圓心，以單位長度為半徑的圓為單位圓． (2)定義 在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，那么： ①y叫做α的正弦，記作sin_α， 即sin α＝y(tǒng)；

3、 ②x叫做α的余弦，記作cos_α，即cos α＝x； ③叫做α的正切，記作tan_α，即tan α＝ (x≠0)． 對(duì)于確定的角α，上述三個(gè)值都是唯一確定的．故正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或坐標(biāo)的比值為函數(shù)值的函數(shù)，統(tǒng)稱為三角函數(shù)． 知識(shí)點(diǎn)二　正弦、余弦、正切函數(shù)值在各象限的符號(hào) 思考　根據(jù)三角函數(shù)的定義，你能判斷正弦、余弦、正切函數(shù)的值在各象限的符號(hào)嗎？ 答案　由三角函數(shù)定義可知，在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn)P(x，y)，則sin α＝y(tǒng)，cos α＝x，tan α＝(x≠0)．當(dāng)α為第一象限角時(shí)，y>0, x>0，故

4、sin α>0，cos α>0，tan α>0，同理可得當(dāng)α在其他象限時(shí)三角函數(shù)值的符號(hào)，如圖所示． 梳理　記憶口訣：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 知識(shí)點(diǎn)三　誘導(dǎo)公式一 思考　當(dāng)角α分別為30°，390°，－330°時(shí)，它們的終邊有什么特點(diǎn)？它們的三角函數(shù)值呢？ 答案　它們的終邊重合．由三角函數(shù)的定義知，它們的三角函數(shù)值相等． 梳理　誘導(dǎo)公式一 sin(α＋k·2π)＝sin α， cos(α＋k·2π)＝cos α， tan(α＋k·2π)＝tan α， 其中k∈Z. 1．sin α，cos α，tan α的大小與點(diǎn)P(x，y)在角α的終邊上的位置

5、有關(guān)．(　×　) 提示　三角函數(shù)的大小由角α終邊位置確定，而與點(diǎn)P(x，y)在終邊上的位置無關(guān)． 2．終邊相同的角的同名三角函數(shù)值相等．(　√　) 提示　由三角函數(shù)的定義可知，終邊相同的角的三角函數(shù)值相等. 類型一　三角函數(shù)定義的應(yīng)用 命題角度1　已知角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值 例1　已知θ終邊上一點(diǎn)P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，求sin θ，tan θ. 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 解　由題意知r＝|OP|＝， 由三角函數(shù)定義得cos θ＝＝ . 又∵cos θ＝x，∴＝x. ∵x≠0，∴x＝±1. 當(dāng)x＝1時(shí)，P(

6、1,3)， 此時(shí)sin θ＝＝，tan θ＝＝3. 當(dāng)x＝－1時(shí)，P(－1,3)， 此時(shí)sin θ＝＝，tan θ＝＝－3. 反思與感悟　(1)已知角α終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)求三角函數(shù)值的方法 在α的終邊上任選一點(diǎn)P(x，y)，設(shè)P到原點(diǎn)的距離為r(r>0)，則sin α＝，cos α＝.當(dāng)已知α的終邊上一點(diǎn)求α的三角函數(shù)值時(shí)，用該方法更方便． (2)當(dāng)角α的終邊上點(diǎn)的坐標(biāo)以參數(shù)形式給出時(shí)，要根據(jù)問題的實(shí)際情況對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論． 跟蹤訓(xùn)練1　已知角α的終邊過點(diǎn)P(－3a,4a)(a≠0)，求2sin α＋cos α的值． 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值

7、解　r＝＝5|a|. ①若a>0，則r＝5a，角α在第二象限， sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－， ∴2sin α＋cos α＝－＝1. ②若a<0，則r＝－5a，角α在第四象限， sin α＝＝－，cos α＝＝， ∴2sin α＋cos α＝－＋＝－1. 綜上所述，2sin α＋cos α＝±1. 命題角度2　已知角α終邊所在直線求三角函數(shù)值 例2　已知角α的終邊在直線y＝－3x上，求10sin α＋的值． 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 解　由題意知，cos α≠0. 設(shè)角α的終邊上任一點(diǎn)為P(k，－3k)(k≠0)，則 x＝k，y＝－

8、3k，r＝＝|k|. (1)當(dāng)k>0時(shí)，r＝k，α是第四象限角， sin α＝＝＝－，＝＝＝， ∴10sin α＋＝10×＋3 ＝－3＋3＝0. (2)當(dāng)k<0時(shí)，r＝－k，α是第二象限角， sin α＝＝＝， ＝＝＝－， ∴10sin α＋＝10×＋3×(－) ＝3－3＝0. 綜上所述，10sin α＋＝0. 反思與感悟　在解決有關(guān)角的終邊在直線上的問題時(shí)，應(yīng)注意到角的終邊為射線，所以應(yīng)分兩種情況處理，取射線上異于原點(diǎn)的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)，則對(duì)應(yīng)角的三角函數(shù)值分別為sin α＝，cos α＝，tan α＝. 跟蹤訓(xùn)練2　在平面直角坐標(biāo)系中，角α的終邊在直線3x

9、＋4y＝0上，求sin α－3cos α＋tan α的值． 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 解　當(dāng)角α的終邊在射線y＝－x(x>0)上時(shí)，取終邊上一點(diǎn)P(4，－3)， 所以點(diǎn)P到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r＝|OP|＝5， 所以sin α＝＝＝－，cos α＝＝， tan α＝＝－. 所以sin α－3cos α＋tan α＝－－－＝－. 當(dāng)角α的終邊在射線y＝－x(x<0)上時(shí)，取終邊上一點(diǎn)P′(－4,3)， 所以點(diǎn)P′到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離r＝|OP′|＝5， 所以sin α＝＝，cos α＝＝－， tan α＝＝＝－. 所以sin α－3cos α＋tan α＝

10、－3×－＝＋－＝. 綜上，sin α－3cos α＋tan α的值為－或. 類型二　三角函數(shù)值符號(hào)的判斷 例3　判斷下列各式的符號(hào)： (1)sin 145°cos(－210°)；(2)sin 3·cos 4·tan 5. 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 解　(1)∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0. ∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角， ∴cos (－210°)＜0，∴sin 145°cos(－210°)＜0. (2)∵＜3＜π＜4＜＜5＜2π， ∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，

11、 ∴sin 3·cos 4·tan 5＞0. 反思與感悟　角的三角函數(shù)值的符號(hào)由角的終邊所在位置確定，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確確定角的終邊所在的象限，同時(shí)牢記各三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)，記憶口訣：一全正，二正弦，三正切，四余弦． 跟蹤訓(xùn)練3　已知點(diǎn)P(tan α，cos α)在第三象限，則α是第________象限角． 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　二 解析　由題意知tan α<0，cos α<0， ∴α是第二象限角． 類型三　誘導(dǎo)公式一的應(yīng)用 例4　求下列各式的值： (1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 02

12、0°)sin 750°； (2)sin＋cos·tan 4π. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 解　(1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝×＋×＝＋＝. (2)原式＝sin＋cos·tan(4π＋0)＝sin ＋cos ×0＝. 反思與感悟　利用誘導(dǎo)公式一可把負(fù)角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù)，也可把大于2π的角的三角函數(shù)化為0到2π間的三角函數(shù)，即實(shí)現(xiàn)了“負(fù)化正，大化小”． 跟蹤訓(xùn)練4　求下列各式的值： (1

13、)cos ＋tan； (2)sin 810°＋tan 765°－cos 360°. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 解　(1)原式＝cos＋tan ＝cos ＋tan ＝＋1＝. (2)原式＝sin(90°＋2×360°)＋tan(45°＋2×360°)－cos 360°＝sin 90°＋tan 45°－1＝1＋1－1＝1. 1．(2018·牌頭中學(xué)月考)已知角α的終邊過點(diǎn)(－2,1)，則cos α的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　任意角三角函數(shù)的定義 答案　D 2．sin 的值是(　　) A．－ B． C．－

14、 D． 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 答案　B 解析　sin＝sin＝sin＝. 3．(2017·寧波期末)若角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P(－1，－1)，則(　　) A．tan α＝1 B．sin α＝－1 C．cos α＝ D．sin α＝ 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　任意角三角函數(shù)的定義 答案　A 解析　由點(diǎn)P的坐標(biāo)計(jì)算得：r＝＝，則 sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝1. 4．若α是第二象限角，則點(diǎn)P(sin α，cos α)在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)

15、 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　D 解析　∵α為第二象限角，∴sin α＞0，cos α＜0， ∴點(diǎn)P在第四象限，故選D. 5．已知角α的終邊上有一點(diǎn)P(24k,7k)，k≠0，求sin α，cos α，tan α的值． 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 解?、佼?dāng)k>0時(shí)，令x＝24k，y＝7k， 則有r＝＝25k， ∴sin α＝＝，cos α＝＝，tan α＝＝. ②當(dāng)k<0時(shí)，令x＝24k，y＝7k，則有r＝－25k， ∴sin α＝＝－，cos α＝＝－，tan α＝＝. 1．正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)或比

16、值為函數(shù)值的函數(shù)． 2．角α的三角函數(shù)值的符號(hào)只與角α的終邊所在象限有關(guān)，由角α的終邊所在象限確定，則三角函數(shù)值的符號(hào)一定確定，規(guī)律是“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 3．終邊相同的三角函數(shù)值一定相等，但兩個(gè)角的某一個(gè)函數(shù)值相等，不一定有角的終邊相同，更不一定有兩角相等. 一、選擇題 1．(2017·長沙檢測(cè))sin(－315°)的值是(　　) A．－ B．－ C. D. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 答案　C 解析　sin(－315°)＝sin(－360°＋45°)＝sin 45°＝. 2．(2017·山西太原外國語學(xué)校月考)如果角α的終邊過點(diǎn)P(

17、2sin 30°，－2cos 30°)，則sin α等于(　　) A. B．－ C．－ D．－ 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　任意角三角函數(shù)的定義 答案　C 解析　由題意得P(1，－)，它與原點(diǎn)的距離r＝＝2，∴sin α＝－. 3．已知sin θ<0，且tan θ<0，則θ為(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　D 4．已知α是第二象限角，P(x，)為其終邊上一點(diǎn)，且cos α＝x，則x的值為(　　) A. B．± C．－ D．－ 考點(diǎn)

18、　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　任意角三角函數(shù)的定義 答案　D 解析　∵cos α＝＝＝x， ∴x＝0或2(x2＋5)＝16，∴x＝0或x2＝3， ∴x＝0(∵α是第二象限角，∴舍去)或x＝(舍去)或x＝－.故選D. 5．(2017·嘉興模擬)sin 2·cos 3·tan 4的值(　　) A．小于0 B．大于0 C．等于0 D．不存在 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　A 解析　∵sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 6．(2017·湖州期末)點(diǎn)P從點(diǎn)(1,0)出發(fā)，沿單

19、位圓順時(shí)針方向運(yùn)動(dòng)弧長到達(dá)Q點(diǎn)，則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　任意角三角函數(shù)的定義 答案　C 解析　根據(jù)題意可得：xQ＝cos＝－， yQ＝sin＝－. 則Q點(diǎn)的坐標(biāo)是. 7．如果點(diǎn)P(sin θ＋cos θ，sin θcos θ)位于第二象限，那么角θ的終邊在(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　C 解析　由題意知sin θ＋cos θ＜0，且sin θcos θ＞0， ∴∴θ為第三象限角． 二、填

20、空題 8．tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝________. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 答案　 解析　tan 405°－sin 450°＋cos 750°＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(720°＋30°)＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝. 9．(2017·紹興柯橋區(qū)期末)已知α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊在x軸上，終邊與單位圓相交于點(diǎn)M，則cos α＝________. 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 答案　－ 10．(2017·山東煙臺(tái)一中期末)已知角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)(3

21、a－9，a＋2)，且sin α>0，cos α≤0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________． 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　(－2,3] 解析　∵點(diǎn)(3a－9，a＋2)在角α的終邊上， sin α>0，cos α≤0， ∴解得－2

22、＝±1. 當(dāng)x＝1時(shí)，sin θ＝－，cos θ＝， 因此sin θ＋cos θ＝0； 當(dāng)x＝－1時(shí)，sin θ＝－，cos θ＝－， 因此sin θ＋cos θ＝－. 故sin θ＋cos θ的值為0或－. 12．已知角α的終邊在直線y＝x上，則sin α，cos α，tan α的值分別為________． 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 答案　，，或－，－， 解析　因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y＝x上， 所以可設(shè)P(a，a)(a≠0)為角α終邊上任意一點(diǎn)， 則r＝＝2|a|(a≠0)． 若a>0，則α為第一象限角，r＝2a， 所以sin α＝＝，co

23、s α＝＝， tan α＝＝. 若a<0，則α為第三象限角，r＝－2a， 所以sin α＝＝－，cos α＝－＝－， tan α＝＝. 13．sin π＋cos π＋cos(－5π)＋tan ＝________. 考點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 題點(diǎn)　誘導(dǎo)公式一 答案?。? 解析　原式＝sin π＋cos ＋cos π＋1 ＝－1＋0－1＋1＝－1. 14．函數(shù)y＝＋－的值域是________________． 考點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 題點(diǎn)　三角函數(shù)值在各象限的符號(hào) 答案　{－4,0,2} 解析　由sin x≠0，cos x≠0知，x的終邊不能落在坐標(biāo)軸上， 當(dāng)x為第

24、一象限角時(shí)，sin x>0，cos x>0， sin xcos x>0，y＝0； 當(dāng)x為第二象限角時(shí)，sin x>0，cos x<0， sin xcos x<0，y＝2； 當(dāng)x為第三象限角時(shí)，sin x<0，cos x<0， sin xcos x>0，y＝－4； 當(dāng)x為第四象限角時(shí)，sin x<0，cos x>0， sin xcos x<0，y＝2. 故函數(shù)y＝＋－的值域?yàn)閧－4,0,2}． 三、解答題 15．已知＝－，且lg(cos α)有意義． (1)試判斷角α所在的象限； (2)若角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)M，求m的值及sin α的值． 考點(diǎn)　任意角的三角函數(shù) 題點(diǎn)　用定義求三角函數(shù)的值 解　(1)∵＝－， ∴sin α＜0.① ∵lg(cos α)有意義， ∴cos α＞0.② 由①②得角α的終邊在第四象限． (2)∵點(diǎn)M在單位圓上， ∴2＋m2＝1，解得m＝±. 又α是第四象限角，∴m＜0，∴m＝－. 由三角函數(shù)定義知，sin α＝－. 13