2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理

2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理年份卷別考查角度及命題位置命題分析及學科素養(yǎng)2018卷等差數(shù)列的基本運算·T4命題分析(1)高考主要考查兩種基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)、兩種數(shù)列求和方法(裂項求和法、錯位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合)，主要突出數(shù)學思想的應用(2)若以解答題形式考查，數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多，但有時也出現(xiàn)在第12題或16題位置上，難度偏大，復習時應引起關注學科素養(yǎng)主要是通過等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明及基本運算考查邏輯推理與數(shù)學運算兩大核心素養(yǎng).卷等比數(shù)列的基本運算及應用·T172017卷等差數(shù)列的基本運算·T4卷數(shù)學文化中的等比數(shù)列應用·T3等差數(shù)列與裂項求和·T15卷等差數(shù)列與等比數(shù)列的運算·T9等比數(shù)列的基本運算·T142016卷等差數(shù)列的基本運算·T3等比數(shù)列的運算及二次函數(shù)最值問題·T15悟通方法結論兩組求和公式(1)等差數(shù)列：Snna1d；(2)等比數(shù)列：Sn(q1)全練快速解答1(2018·高考全國卷)記Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若3S3S2S4，a12，則a5()A12B10C10D12解析：設等差數(shù)列an的公差為d，由3S3S2S4，得32a1×d4a1×d，將a12代入上式，解得d3，故a5a1(51)d24×(3)10.故選B.答案：B2(2017·高考全國卷)等差數(shù)列an的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則an前6項的和為()A24B3C3D8解析：設等差數(shù)列an的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6a，即(a1d)(a15d)(a12d)2，又a11，所以d22d0，又d0，則d2，所以a6a15d9，所以an前6項的和S6×624，故選A.答案：A3(2018·天津模擬)已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且8a2a4a3a6，則_.解析：由8a2a4a3a6可得8aa3a6，故a68a3，設公比為q，則q38，q2，故.答案：4(2018·高考全國卷)等比數(shù)列an中，a11，a54a3.(1)求an的通項公式；(2)記Sn為an的前n項和若Sm63，求m.解析：(1)設an的公比為q，由題設得anqn1.由已知得q44q2，解得q0(舍去)，q2或q2.故an(2)n1或an2n1.(2)若an(2)n1，則Sn.由Sm63得(2)m188，此方程沒有正整數(shù)解若an2n1，則Sn2n1.由Sm63得2m64，解得m6.綜上，m6.在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關于a1和d(或q)的方程組求解，但要注意消元法及整體代換，以減少計算量等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質授課提示：對應學生用書第29頁悟通方法結論1等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質：等差數(shù)列等比數(shù)列性質(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則amanapaq；(2)anam(nm)d；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等差數(shù)列(1)若m，n，p，qN*，且mnpq，則am·anap·aq；(2)anamqnm；(3)Sm，S2mSm，S3mS2m，仍成等比數(shù)列(Sm0)2.等差數(shù)列中利用中項求和(1)若n為奇數(shù)，則Snna.(2)若n為偶數(shù)，則Sn(aa1)3在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，有S偶S奇nd，；當項數(shù)為奇數(shù)2n1時，有S奇S偶an，.4在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，q.全練快速解答1(2018·南寧模擬)等差數(shù)列an中，a3a76，則an的前9項和等于()A18B27C18D27解析：由等差數(shù)列的性質，得a1a9a3a76，所以數(shù)列an的前9項和S927，故選B.答案：B2(2016·高考全國卷)已知等差數(shù)列an前9項的和為27，a108，則a100()A100B99C98D97解析：法一：an是等差數(shù)列，設其公差為d，S9(a1a9)9a527，a53.又a108，a100a199d199×198.法二：an是等差數(shù)列，S9(a1a9)9a527，a53.在等差數(shù)列an中，a5，a10，a15，a100成等差數(shù)列，且公差da10a5835.故a1003(201)×598.故選C.答案：C3(2018·長沙模擬)等比數(shù)列an中，a56，則數(shù)列l(wèi)og6an的前9項和的值為()A6B9C12D16解析：因為a56，所以log6a1log6a2log6a9log6(a1·a2··a9)log6a9log669.答案：B4(2018·河北三市聯(lián)考)已知Sn是等差數(shù)列an的前n項和，若S55a410，則數(shù)列an的公差為_解析：由S55a410，得5a35a410，則公差d2.答案：2等差(比)數(shù)列性質應用策略解決此類問題的關鍵是抓住項與項之間的關系及項的序號之間的關系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|進行求解.等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明授課提示：對應學生用書第29頁悟通方法結論1證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法：(1)利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)；(2)利用等差中項性質，即證明2anan1an1(n2)2證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法：(1)利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)；(2)利用等比中項性質，即證明aan1an1(n2，an0)(2018·高考全國卷)(12分)已知數(shù)列an滿足a11，設bn.(1)求；(2) ，并說明理由；(3) 學審題條件信息想到方法注意什么由信息nan12(n1)an遞推關系變形an1an判斷bn為等比數(shù)列時要緊扣定義去推斷由信息求b1、b2、b3想到先求a1、a2、a3，再求b1、b2、b3由信息判斷bn是否為等比數(shù)列由等比數(shù)列的定義推斷常數(shù)由信息求an先求bn，再求an規(guī)范解答(1)由條件可得an1an. (2分)將n1代入得，a24a1，而a11，所以a24.將n2代入得，a33a2，所以a312. (4分)從而b11，b22，b34. (6分)(2)bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列由條件可得，即bn12bn， (8分)又b11，所以bn是首項為1，公比為2的等比數(shù)列 (10分)(3)由(2)可得2n1，所以ann·2n1. (12分)1判定一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，可以利用通項公式或前n項和公式，但不能將其作為證明方法2(1)q和aan1an1(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件，判定時還要看各項是否為零(2)學科素養(yǎng)：利用定義判定或證明數(shù)列問題重要體現(xiàn)了數(shù)學抽象邏輯推理與數(shù)學運算學科素養(yǎng)能力練通即學即用(2018·貴州適應性考試)已知數(shù)列an滿足a11，且nan1(n1)an2n22n.(1)求a2，a3；(2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，并求an的通項公式解析：(1)由已知得a22a14，則a22a14，又a11，所以a26.由2a33a212得2a3123a2，所以a315.(2)證明：由已知nan1(n1)an2n(n1)，得2，即2，所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列則12(n1)2n1，所以an2n2n.授課提示：對應學生用書第129頁一、選擇題1(2018·開封模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a1a510，S416，則數(shù)列an的公差為()A1B2C3D4解析：設等差數(shù)列an的公差為d，因為S42(a1a5d)2(10d)16，所以d2，故選B.答案：B2(2018·重慶模擬)在數(shù)列an中，an1an2，a25，則an的前4項和為()A9B22C24D32解析：依題意得，數(shù)列an是公差為2的等差數(shù)列，a1a223，因此數(shù)列an的前4項和等于4×3×224，選C.答案：C3(2018·益陽、湘潭聯(lián)考)已知等比數(shù)列an中，a53，a4a745，則的值為()A3B5C9D25解析：設等比數(shù)列an的公比為q，則a4a7·a5q29q45，所以q5，q225.故選D.答案：D4(2018·洛陽模擬)在等差數(shù)列an中，若Sn為前n項和，2a7a85，則S11的值是()A55B11C50D60解析：設等差數(shù)列an的公差為d，由2a7a85，得2(a6d)a62d5，得a65，所以S1111a655，故選A.答案：A5(2018·昆明模擬)已知等差數(shù)列an的公差為2，且a4是a2與a8的等比中項，則an的通項公式an()A2nB2nC2n1D2n1解析：由題意，得a2a8a，又ana12(n1)，所以(a12)(a114)(a16)2，解得a12，所以an2n.故選B.答案：B6(2018·長沙中學模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a4a12a88，a10a64，則S23()A23B96C224D276解析：設等差數(shù)列an的公差為d，依題意得a4a12a82a8a8a88，a10a64d4，d1，a8a17da178，a11，S2323×1×1276，選D.答案：D7(2018·長春模擬)等差數(shù)列an中，已知|a6|a11|，且公差d0，則其前n項和取最小值時n的值為()A6B7C8D9解析：由d0可得等差數(shù)列an是遞增數(shù)列，又|a6|a11|，所以a6a11，即a15da110d，所以a1，則a80，a90，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C.答案：C8(2018·惠州模擬)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a9a126，a24，則數(shù)列的前10項和為()A.B.C.D.解析：設等差數(shù)列an的公差為d，由a9a126及等差數(shù)列的通項公式得a15d12，又a24，a12，d2，Snn2n，(1)()()1.選B.答案：B9一個等差數(shù)列的前20項的和為354，前20項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為3227，則該數(shù)列的公差d()A1B3C5D7解析：法一：設等差數(shù)列的首項為a1，由題意可得法二：由已知條件，得，解得，又S偶S奇10d，所以d3.答案：B10(2018·惠州模擬)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a62a3，則()A.B.C.D.解析：.故選D.答案：D11已知數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a，bR)，且S25100，則a12a14()A16B8C4D不確定解析：由數(shù)列an的前n項和Snan2bn(a，bR)，可得數(shù)列an是等差數(shù)列，S25100，解得a1a258，所以a12a14a1a258.答案：B12等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且a10，若存在自然數(shù)m3，使得amSm，則當nm時，Sn與an的大小關系是()ASnanBSnanCSnanD大小不能確定解析：若a10，存在自然數(shù)m3，使得amSm，則d0.因為d0時，數(shù)列是遞減數(shù)列，則Smam，不存在amSm.由于a10，d0，當m3時，有amSm，因此am0，Sm0，又SnSmam1an，顯然Snan.答案：C二、填空題13(2018·南寧模擬)在等比數(shù)列an中，a2a616，a4a88，則_.解析：法一：設等比數(shù)列an的公比為q，由a2a616得aq616，a1q3±4.由a4a88，得a1q3(1q4)8，即1q4±2，q21.于是q101.法二：由等比數(shù)列的性質，得aa2a616，a4±4，又a4a88，或.aa4a80，則公比q滿足q41，q21，q101.答案：114(2018·合肥模擬)已知數(shù)列an中，a12，且4(an1an)(nN*)，則其前9項和S9_.解析：由已知，得a4anan14a，即a4anan14a(an12an)20，所以an12an，所以數(shù)列an是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，故S921021 022.答案：1 02215若等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，且a10a11a9a122e5，則ln a1ln a2ln a20_.解析：因為a10a11a9a122a10a112e5，所以a10a11e5.所以ln a1ln a2ln a20ln(a1a2a20)ln(a1a20)·(a2a19)··(a10a11)ln(a10a11)1010ln(a10a11)10ln e550ln e50.答案：5016(2017·高考北京卷)若等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1b11，a4b48，則_.解析：設等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，則由a4a13d，得d3，由b4b1q3得q38，q2.1.答案：1三、解答題17(2018·南京模擬)已知數(shù)列an的前n項和Sn2n12，記bnanSn(nN*)(1)求數(shù)列 an的通項公式；(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn.解析：(1)Sn2n12，當n1時，a1S121122；當n2時，anSnSn12n12n2n.又a1221，an2n.(2)由(1)知，bnanSn2·4n2n1，Tnb1b2b3bn2(4142434n)(22232n1)2×·4n12n2.18(2018·貴陽模擬)設等比數(shù)列an的前n項和為Sn，公比q0，a1a24，a3a26.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若對任意的nN*，kan，Sn，1都成等差數(shù)列，求實數(shù)k的值解析：(1)a1a24，a3a26，q0，q3，a11.an1×3n13n1，故數(shù)列an的通項公式為an3n1.(2)由(1)知an3n1，Sn，kan，Sn，1成等差數(shù)列，2Snkan1，即2×k×3n11，解得k3.19(2018·成都模擬)已知數(shù)列an滿足a12，an12an4.(1)證明：數(shù)列an4是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列|an|的前n項和Sn.解析：(1)證明：a12，a142.an12an4，an142an82(an4)，2，an4是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1) ，可知an42n，an2n4.當n1時，a120，S1|a1|2；當n2時，an0.Sna1a2an2(224)(2n4)2222n4(n1)4(n1)2n14n2.又當n1時，上式也滿足當nN*時，Sn2n14n2.20(2018·南寧柳州聯(lián)考)已知a12，a24，數(shù)列bn滿足：bn12bn2且an1anbn.(1)求證：數(shù)列bn2是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式解析：(1)證明：由題知，2，b1a2a1422，b124，數(shù)列bn2是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)由(1)可得，bn24·2n1，故bn2n12.an1anbn，a2a1b1，a3a2b2，a4a3b3，anan1bn1.累加得，ana1b1b2b3bn1(n2)，an2(222)(232)(242)(2n2)22(n1)2n12n，故an2n12n(n2)a122112×1，數(shù)列an的通項公式為an2n12n(nN*)