2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理

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1、2022高考數(shù)學二輪復習 專題三 數(shù)列 第一講 等差數(shù)列、等比數(shù)列教案 理 年份 卷別 考查角度及命題位置 命題分析及學科素養(yǎng) 2018 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運算·T4 命題分析 (1)高考主要考查兩種基本數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列)、兩種數(shù)列求和方法(裂項求和法、錯位相減法)、兩類綜合(與函數(shù)綜合、與不等式綜合)，主要突出數(shù)學思想的應(yīng)用． (2)若以解答題形式考查，數(shù)列往往與解三角形在17題的位置上交替考查，試題難度中等；若以客觀題考查，難度中等的題目較多，但有時也出現(xiàn)在第12題或16題位置上，難度偏大，復習時應(yīng)引起關(guān)注． 學科素養(yǎng) 主要是通過等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與

2、證明及基本運算考查邏輯推理與數(shù)學運算兩大核心素養(yǎng). Ⅲ卷 等比數(shù)列的基本運算及應(yīng)用·T17 2017 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運算·T4 Ⅱ卷 數(shù)學文化中的等比數(shù)列應(yīng)用·T3 等差數(shù)列與裂項求和·T15 Ⅲ卷 等差數(shù)列與等比數(shù)列的運算·T9 等比數(shù)列的基本運算·T14 2016 Ⅰ卷 等差數(shù)列的基本運算·T3 等比數(shù)列的運算及二次函數(shù)最值問題·T15 [悟通——方法結(jié)論] 　兩組求和公式 (1)等差數(shù)列：Sn＝＝na1＋d； (2)等比數(shù)列：Sn＝＝(q≠1)． [全練——快速解答] 1．(2018·高考全國卷Ⅰ)記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若

3、3S3＝S2＋S4，a1＝2，則a5＝(　　) A．－12　 B．－10 C．10 D．12 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由3S3＝S2＋S4， 得3＝2a1＋×d＋4a1＋×d，將a1＝2代入上式，解得d＝－3， 故a5＝a1＋(5－1)d＝2＋4×(－3)＝－10. 故選B. 答案：B 2．(2017·高考全國卷Ⅲ)等差數(shù)列{an}的首項為1，公差不為0.若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則{an}前6項的和為(　　) A．－24　　 B．－3 C．3 D．8 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為a2，a3，a6成等比數(shù)列，所以a2a6＝a，即(a1＋d)(a

4、1＋5d)＝(a1＋2d)2，又a1＝1，所以d2＋2d＝0，又d≠0，則d＝－2，所以a6＝a1＋5d＝－9，所以{an}前6項的和S6＝×6＝－24，故選A. 答案：A 3．(2018·天津模擬)已知等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且8a2a4＝a3a6，則＝________. 解析：由8a2a4＝a3a6可得8a＝a3a6，故a6＝8a3，設(shè)公比為q，則q3＝8，q＝2，故＝＝. 答案： 4．(2018·高考全國卷Ⅲ)等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3. (1)求{an}的通項公式； (2)記Sn為{an}的前n項和．若Sm＝63，求m. 解析：(1)設(shè){an}

5、的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1. 由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2. 故an＝(－2)n－1或an＝2n－1. (2)若an＝(－2)n－1，則Sn＝. 由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解． 若an＝2n－1，則Sn＝2n－1. 由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6. 綜上，m＝6. 在進行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(或q)的方程組求解，但要注意消元法及整體代換，以減少計算量． 等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì) 授課提示：對應(yīng)學生用書第29頁 [悟通

6、——方法結(jié)論] 1．等差數(shù)列、等比數(shù)列常用性質(zhì)： 等差數(shù)列 等比數(shù)列 性質(zhì) (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am＋an＝ap＋aq； (2)an＝am＋(n－m)d； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等差數(shù)列 (1)若m，n，p，q∈N*，且m＋n＝p＋q，則am·an＝ap·aq； (2)an＝amqn－m； (3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍成等比數(shù)列(Sm≠0) 2.等差數(shù)列中利用中項求和． (1)若n為奇數(shù)，則Sn＝na. (2)若n為偶數(shù)，則Sn＝(a＋a＋1)． 3．在等差數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，有S

7、偶－S奇＝nd，＝；當項數(shù)為奇數(shù)2n－1時，有S奇－S偶＝an，＝. 4．在等比數(shù)列中，當項數(shù)為偶數(shù)2n時，＝q. [全練——快速解答] 1．(2018·南寧模擬)等差數(shù)列{an}中，a3＋a7＝6，則{an}的前9項和等于(　　) A．－18　　　 B．27 C．18 D．－27 解析：由等差數(shù)列的性質(zhì)，得a1＋a9＝a3＋a7＝6，所以數(shù)列{an}的前9項和S9＝＝＝27，故選B. 答案：B 2．(2016·高考全國卷Ⅰ)已知等差數(shù)列{an}前9項的和為27，a10＝8，則a100＝(　　) A．100 B．99 C．98 D．97 解析：法一：∵{an}是等差數(shù)列，

8、設(shè)其公差為d， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 又∵a10＝8，∴∴ ∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98. 法二：∵{an}是等差數(shù)列， ∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3. 在等差數(shù)列{an}中，a5，a10，a15，…，a100成等差數(shù)列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5. 故a100＝3＋(20－1)×5＝98.故選C. 答案：C 3．(2018·長沙模擬)等比數(shù)列{an}中，a5＝6，則數(shù)列{log6an}的前9項和的值為(　　) A．6 B．9 C．12 D．16 解析：因為a5＝6，所以log6a1＋log6

9、a2＋…＋log6a9＝log6(a1·a2·…·a9)＝log6a＝9log66＝9. 答案：B 4．(2018·河北三市聯(lián)考)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和，若S5＝5a4－10，則數(shù)列{an}的公差為________． 解析：由S5＝5a4－10，得5a3＝5a4－10，則公差d＝2. 答案：2 等差(比)數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用策略 解決此類問題的關(guān)鍵是抓住項與項之間的關(guān)系及項的序號之間的關(guān)系，從這些特點入手選擇恰當?shù)男再|(zhì)進行求解. 等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明 授課提示：對應(yīng)學生用書第29頁 [悟通——方法結(jié)論] 1．證明數(shù)列{an}是等差

10、數(shù)列的兩種基本方法： (1)利用定義，證明an＋1－an(n∈N*)為一常數(shù)； (2)利用等差中項性質(zhì)，即證明2an＝an－1＋an＋1(n≥2)． 2．證明{an}是等比數(shù)列的兩種基本方法： (1)利用定義，證明(n∈N*)為一常數(shù)； (2)利用等比中項性質(zhì)，即證明a＝an－1an＋1(n≥2，an≠0)． 　(2018·高考全國卷Ⅰ)(12分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，設(shè)bn＝. (1)求； (2) ，并說明理由； (3) [學審題] 條件信息 想到方法 注意什么 由信息?nan＋1＝2(n＋1)an 遞推關(guān)系變形an＋1＝an 判斷{bn}為等比數(shù)

11、列時要緊扣定義去推斷 由信息?求b1、b2、b3 想到先求a1、a2、a3，再求b1、b2、b3 由信息?判斷{bn}是否為等比數(shù)列 由等比數(shù)列的定義推斷＝常數(shù) 由信息?求an 先求bn，再求an [規(guī)范解答]　(1)由條件可得an＋1＝an. (2分) 將n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以a2＝4. 將n＝2代入得，a3＝3a2，所以a3＝12. (4分) 從而b1＝1，b2＝2，b3＝4. (6分) (2){bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列． 由條件可得＝，即bn＋1＝2bn， (8分) 又b1＝1，所以{bn}是首項為1，公比為2的等比數(shù)列

12、． (10分) (3)由(2)可得＝2n－1， 所以an＝n·2n－1. (12分) 1．判定一個數(shù)列是等差(比)數(shù)列，可以利用通項公式或前n項和公式，但不能將其作為證明方法． 2．(1)＝q和a＝an－1an＋1(n≥2)都是數(shù)列{an}為等比數(shù)列的必要不充分條件，判定時還要看各項是否為零． (2)學科素養(yǎng)：利用定義判定或證明數(shù)列問題重要體現(xiàn)了數(shù)學抽象邏輯推理與數(shù)學運算學科素養(yǎng)能力． [練通——即學即用] (2018·貴州適應(yīng)性考試)已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n. (1)求a2，a3； (2)證明數(shù)列是等差數(shù)列，

13、并求{an}的通項公式． 解析：(1)由已知得a2－2a1＝4， 則a2＝2a1＋4，又a1＝1，所以a2＝6. 由2a3－3a2＝12得2a3＝12＋3a2，所以a3＝15. (2)證明：由已知nan＋1－(n＋1)an＝2n(n＋1)，得＝2，即－＝2， 所以數(shù)列是首項為1，公差為2的等差數(shù)列． 則＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝2n2－n. 授課提示：對應(yīng)學生用書第129頁 一、選擇題 1．(2018·開封模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，則數(shù)列{an}的公差為(　　) A．1　　　　 B．2 C．3

14、 D．4 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，因為S4＝＝2(a1＋a5－d)＝2(10－d)＝16，所以d＝2，故選B. 答案：B 2．(2018·重慶模擬)在數(shù)列{an}中，an＋1－an＝2，a2＝5，則{an}的前4項和為(　　) A．9 B．22 C．24 D．32 解析：依題意得，數(shù)列{an}是公差為2的等差數(shù)列，a1＝a2－2＝3，因此數(shù)列{an}的前4項和等于4×3＋×2＝24，選C. 答案：C 3．(2018·益陽、湘潭聯(lián)考)已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為(　　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公

15、比為q，則a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25.故選D. 答案：D 4．(2018·洛陽模擬)在等差數(shù)列{an}中，若Sn為前n項和，2a7＝a8＋5，則S11的值是(　　) A．55 B．11 C．50 D．60 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由2a7＝a8＋5，得2(a6＋d)＝a6＋2d＋5，得a6＝5，所以S11＝11a6＝55，故選A. 答案：A 5．(2018·昆明模擬)已知等差數(shù)列{an}的公差為2，且a4是a2與a8的等比中項，則{an}的通項公式an＝(　　) A．－2n B．2n C．2n－1 D．2n＋1 解析：由題意，得

16、a2a8＝a，又an＝a1＋2(n－1)，所以(a1＋2)(a1＋14)＝(a1＋6)2，解得a1＝2，所以an＝2n.故選B. 答案：B 6．(2018·長沙中學模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a4＋a12－a8＝8，a10－a6＝4，則S23＝(　　) A．23 B．96 C．224 D．276 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，依題意得a4＋a12－a8＝2a8－a8＝a8＝8，a10－a6＝4d＝4，d＝1，a8＝a1＋7d＝a1＋7＝8，a1＝1，S23＝23×1＋×1＝276，選D. 答案：D 7．(2018·長春模擬)等差數(shù)列{an}中，已知|a6|

17、＝|a11|，且公差d＞0，則其前n項和取最小值時n的值為(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 解析：由d＞0可得等差數(shù)列{an}是遞增數(shù)列，又|a6|＝|a11|，所以－a6＝a11，即－a1－5d＝a1＋10d，所以a1＝－，則a8＝－＜0，a9＝＞0，所以前8項和為前n項和的最小值，故選C. 答案：C 8．(2018·惠州模擬)已知等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a9＝a12＋6，a2＝4，則數(shù)列{}的前10項和為(　　) A. B. C. D. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a9＝a12＋6及等差數(shù)列的通項公式得a1＋5d＝12，又a2＝4，∴a1＝2，

18、d＝2，∴Sn＝n2＋n，∴＝＝－，∴＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝.選B. 答案：B 9．一個等差數(shù)列的前20項的和為354，前20項中偶數(shù)項的和與奇數(shù)項的和之比為32∶27，則該數(shù)列的公差d＝(　　) A．1 B．3 C．5 D．7 解析：法一：設(shè)等差數(shù)列的首項為a1，由題意可得 法二：由已知條件，得，解得，又S偶－S奇＝10d，所以d＝＝3. 答案：B 10．(2018·惠州模擬)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若a6＝2a3，則＝(　　) A. B. C. D. 解析：＝＝＝.故選D. 答案：D 11．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝a

19、n2＋bn(a，b∈R)，且S25＝100，則a12＋a14＝(　　) A．16 B．8 C．4 D．不確定 解析：由數(shù)列{an}的前n項和Sn＝an2＋bn(a，b∈R)，可得數(shù)列{an}是等差數(shù)列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a12＋a14＝a1＋a25＝8. 答案：B 12．等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且a1＜0，若存在自然數(shù)m≥3，使得am＝Sm，則當n＞m時，Sn與an的大小關(guān)系是(　　) A．Sn＜an B．Sn≤an C．Sn＞an D．大小不能確定 解析：若a1＜0，存在自然數(shù)m≥3， 使得am＝Sm，則d＞0. 因為d＜0時，數(shù)列是遞

20、減數(shù)列， 則Sm＜am，不存在am＝Sm. 由于a1＜0，d＞0， 當m≥3時，有am＝Sm， 因此am＞0，Sm＞0， 又Sn＝Sm＋am＋1＋…＋an，顯然Sn＞an. 答案：C 二、填空題 13．(2018·南寧模擬)在等比數(shù)列{an}中，a2a6＝16，a4＋a8＝8，則＝________. 解析：法一：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a2a6＝16得aq6＝16，∴a1q3＝±4.由a4＋a8＝8，得a1q3(1＋q4)＝8，即1＋q4＝±2，∴q2＝1.于是＝q10＝1. 法二：由等比數(shù)列的性質(zhì)，得a＝a2a6＝16，∴a4＝±4，又a4＋a8＝8，∴或.∵a＝

21、a4a8＞0，∴則公比q滿足q4＝1，q2＝1，∴＝q10＝1. 答案：1 14．(2018·合肥模擬)已知數(shù)列{an}中，a1＝2，且＝4(an＋1－an)(n∈N*)，則其前9項和S9＝________. 解析：由已知，得a＝4anan＋1－4a， 即a－4anan＋1＋4a＝(an＋1－2an)2＝0， 所以an＋1＝2an， 所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為2的等比數(shù)列， 故S9＝＝210－2＝1 022. 答案：1 022 15．若等比數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，且a10a11＋a9a12＝2e5，則ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________.

22、解析：因為a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5， 所以a10a11＝e5. 所以ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20) ＝ln[(a1a20)·(a2a19)·…·(a10a11)]＝ln(a10a11)10 ＝10ln(a10a11)＝10ln e5＝50ln e＝50. 答案：50 16．(2017·高考北京卷)若等差數(shù)列{an}和等比數(shù)列{bn}滿足a1＝b1＝－1，a4＝b4＝8，則＝________. 解析：設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，等比數(shù)列{bn}的公比為q， 則由a4＝a1＋3d，得d＝＝＝3， 由b4＝b1q3得q3

23、＝＝＝－8，∴q＝－2. ∴＝＝＝1. 答案：1 三、解答題 17．(2018·南京模擬)已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝2n＋1－2，記bn＝anSn(n∈N*)． (1)求數(shù)列 {an}的通項公式； (2)求數(shù)列{bn}的前n項和Tn. 解析：(1)∵Sn＝2n＋1－2，∴當n＝1時，a1＝S1＝21＋1－2＝2； 當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2n＋1－2n＝2n. 又a1＝2＝21，∴an＝2n. (2)由(1)知，bn＝anSn＝2·4n－2n＋1， ∴Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝2(41＋42＋43＋…＋4n)－(22＋23＋…＋2n＋1)＝2×－＝

24、·4n＋1－2n＋2＋. 18．(2018·貴陽模擬)設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，公比q＞0，a1＋a2＝4，a3－a2＝6. (1)求數(shù)列{an}的通項公式； (2)若對任意的n∈N*，kan，Sn，－1都成等差數(shù)列，求實數(shù)k的值． 解析：(1)∵a1＋a2＝4，a3－a2＝6， ∴ ∵q＞0，∴q＝3，a1＝1. ∴an＝1×3n－1＝3n－1，故數(shù)列{an}的通項公式為an＝3n－1. (2)由(1)知an＝3n－1，Sn＝＝， ∵kan，Sn，－1成等差數(shù)列，∴2Sn＝kan－1，即2×＝k×3n－1－1，解得k＝3. 19．(2018·成都模擬)已知數(shù)列{

25、an}滿足a1＝－2，an＋1＝2an＋4. (1)證明：數(shù)列{an＋4}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{|an|}的前n項和Sn. 解析：(1)證明：∵a1＝－2，∴a1＋4＝2. ∵an＋1＝2an＋4，∴an＋1＋4＝2an＋8＝2(an＋4)， ∴＝2， ∴{an＋4}是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1) ，可知an＋4＝2n，∴an＝2n－4. 當n＝1時，a1＝－2＜0，∴S1＝|a1|＝2； 當n≥2時，an≥0. ∴Sn＝－a1＋a2＋…＋an＝2＋(22－4)＋…＋(2n－4)＝2＋22＋…＋2n－4(n－1)＝－4(n－1)＝2n＋1－4n＋2

26、.又當n＝1時，上式也滿足． ∴當n∈N*時，Sn＝2n＋1－4n＋2. 20．(2018·南寧柳州聯(lián)考)已知a1＝2，a2＝4，數(shù)列{bn}滿足：bn＋1＝2bn＋2且an＋1－an＝bn. (1)求證：數(shù)列{bn＋2}是等比數(shù)列； (2)求數(shù)列{an}的通項公式． 解析：(1)證明：由題知，＝＝2， ∵b1＝a2－a1＝4－2＝2，∴b1＋2＝4， ∴數(shù)列{bn＋2}是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列． (2)由(1)可得，bn＋2＝4·2n－1，故bn＝2n＋1－2. ∵an＋1－an＝bn， ∴a2－a1＝b1， a3－a2＝b2， a4－a3＝b3， …… an－an－1＝bn－1. 累加得，an－a1＝b1＋b2＋b3＋…＋bn－1(n≥2)， an＝2＋(22－2)＋(23－2)＋(24－2)＋…＋(2n－2) ＝2＋－2(n－1) ＝2n＋1－2n， 故an＝2n＋1－2n(n≥2)． ∵a1＝2＝21＋1－2×1，∴數(shù)列{an}的通項公式為an＝2n＋1－2n(n∈N*)．