（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 5 第5講 古典概型教學(xué)案

第5講古典概型1基本事件的特點(1)任何兩個基本事件都是互斥的(2)任何事件都可以表示成基本事件的和(除不可能事件)2古典概型(1)特點試驗中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個，即有限性每個基本事件發(fā)生的可能性相等，即等可能性(2)概率公式P(A)教材衍化1(必修3P127例3改編)一個盒子里裝有標(biāo)號為1，2，3，4的4張卡片，隨機地抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率是_解析：抽取兩張卡片的基本事件有：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)，共6種，和為奇數(shù)的事件有：(1，2)，(1，4)，(2，3)，(3，4)，共4種所以所求概率為.答案：2(必修3P145A組T5改編)袋中裝有6個白球， 5個黃球，4個紅球從中任取一球，則取到白球的概率為_解析：從袋中任取一球，有15種取法，其中取到白球的取法有6種，則所求概率為P.答案：3(必修3P134A組T6改編)已知5件產(chǎn)品中有2件次品，其余為合格品現(xiàn)從這5件產(chǎn)品中任取2件，恰有一件次品的概率為_解析：從5件產(chǎn)品中任取2件共有C10(種)取法，恰有一件次品的取法有CC6(種)，所以恰有一件次品的概率為0.6.答案：0.6求古典概型的概率(高頻考點)求古典概型的概率問題是高考考查的熱點主要命題角度有：(1)直接列舉法；(2)圖表、樹型法；(3)逆向思維法；(4)對稱性法角度一直接列舉法 袋中有6個球，其中4個白球，2個紅球，從袋中任意取出兩個，求下列事件的概率(1)取出的兩球都是白球；(2)取出的兩球一個是白球，另一個是紅球【解】設(shè)4個白球的編號為1，2，3，4，2個紅球的編號為5，6，從袋中的6個小球中任取兩個的所有可能結(jié)果如下：(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(2，3)，(2，4)，(2，5)，(2，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，(5，6)，共15個(1)從袋中的6個球中任取兩個，所取的兩球全是白球的方法數(shù)，即是從4個白球中任取兩個的方法數(shù)，共有6個，即為(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，(3，4)所以取出的兩個球全是白球的概率為P.(2)從袋中的6個球中任取兩個，其中一個是紅球，而另一個為白球，其取法包括(1，5)，(1，6)，(2，5)，(2，6)，(3，5)，(3，6)，(4，5)，(4，6)，共8個所以取出的兩個球一個是白球，另一個是紅球的概率為P.角度二圖表、樹型法 一個口袋內(nèi)裝有大小相等的1個白球和已編有不同號碼的3個黑球，從中摸出2個球，則摸出2個黑球的概率為_【解析】如圖所示，所有結(jié)果組成的集合U含有6個元素，故共有6種不同的結(jié)果U的子集A有3個元素，故摸出2個黑球有3種不同的結(jié)果因此，摸出2個黑球的概率是P.【答案】角度三逆向思維法 同時拋擲兩枚骰子，則至少有一個5點或6點的概率為_【解析】至少有一個5點或6點的對立事件是：沒有5點或6點因為沒有5點或6點的結(jié)果共有16個，而拋擲兩枚骰子的結(jié)果共有36個，所以沒有5點或6點的概率為P.至少有一個5點或6點的概率為1.【答案】角度四對稱性法 有A，B，C，D，E共5人站成一排，則A在B的右邊(A，B可以不相鄰)的概率為_【解析】由于A，B不相鄰，A在B的右邊和B在A的右邊的總數(shù)是相等的，且A在B的右邊的排法數(shù)與B在A的右邊的排法數(shù)組成所有基本事件總數(shù)，所以A在B的右邊的概率是.【答案】(1) (2)求較復(fù)雜事件的概率問題的方法將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和事件，再利用互斥事件的概率加法公式求解先求其對立事件的概率，再利用對立事件的概率公式求解 1從分別標(biāo)有1，2，9的9張卡片中不放回地隨機抽取2次，每次抽取1張，則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是()A.B.C. D.解析：選C.所求概率為P.2(2020·臺州高三教學(xué)質(zhì)量評估)袋子里裝有編號分別為“1，2，2，3，4，5”的6個大小、質(zhì)量相同的小球，某人從袋子中一次任取3個球，若每個球被取到的機會均等，則取出的3個球編號之和大于7的概率為()A. B.C. D.解析：選B.由題設(shè)取三個球的所有可能有nC20，其中編號之和小于或等于7的所有可能有(1，2，2)，(1，2，3)，(1，2，3)，(1，2，4)，(1，2，4)，(2，2，3)，共6種，其概率P，所以3個球編號之和大于7的概率為P1.3(2020·溫州八校聯(lián)考)依次從標(biāo)號為1，2，3，4，5的五個黑球和標(biāo)號為6，7，8，9的四個白球中隨機地各取一個球，用數(shù)對(x，y)表示事件“抽到兩個球標(biāo)號分別為x，y”(1)問共有多少個基本事件？并列舉出來；(2)求所抽取的標(biāo)號之和小于11但不小于9或標(biāo)號之和大于12的概率解：(1)共有20個基本事件，列舉如下：(1，6)，(1，7)，(1，8)，(1，9)，(2，6)，(2，7)，(2，8)，(2，9)，(3，6)，(3，7)，(3，8)，(3，9)，(4，6)，(4，7)，(4，8)，(4，9)，(5，6)，(5，7)，(5，8)，(5，9)，共20個(2)記事件“所抽取的標(biāo)號之和小于11但不小于9”為事件A，由(1)可知事件A共含有7個基本事件，列舉如下：(1，8)，(1，9)，(2，7)，(2，8)，(3，6)，(3，7)，(4，6)，共7個“抽取的標(biāo)號之和大于12”記作事件B，則事件B包含：(4，9)，(5，8)，(5，9)，共3個故P(A)P(B)，故抽取的標(biāo)號之和小于11但不小于9或大于12的概率為.古典概型與其他知識的交匯(高頻考點)近幾年高考對交匯型古典概型問題有所側(cè)重主要命題角度有：(1)與平面向量的交匯；(2)與函數(shù)(方程)的交匯；(3)與解析幾何的交匯角度一與平面向量的交匯 從集合2，3，4，5中隨機抽取一個數(shù)a，從集合1，3，5中隨機抽取一個數(shù)b，則向量m(a，b)與向量n(1，1)垂直的概率為()A. B.C. D.【解析】由題意可知m(a，b)有：(2，1)，(2，3)，(2，5)，(3，1)，(3，3)，(3，5)，(4，1)，(4，3)，(4，5)，(5，1)，(5，3)，(5，5)，共12種情況因為mn，即m·n0，所以a×1b×(1)0，即ab，滿足條件的有(3，3)，(5，5)，共2個，故所求的概率為.【答案】A角度二與函數(shù)(方程)的交匯 已知|p|3，|q|3，當(dāng)p，qZ，則方程x22pxq210有兩個相異實數(shù)根的概率是_【解析】由方程x22pxq210有兩個相異實數(shù)根，可得(2p)24(q21)>0，即p2q2>1.當(dāng)p，qZ時，設(shè)點M(p，q)，如圖，直線p3，2，1，0，1，2，3和直線q3，2，1，0，1，2，3的交點，即為點M，共有49個，其中在圓上和圓內(nèi)的點共有5個(圖中黑點)當(dāng)點M(p，q)落在圓p2q21外時，方程x22pxq210有兩個相異實數(shù)根，所以方程x22pxq210有兩個相異實數(shù)根的概率P.【答案】角度三與解析幾何的交匯 甲、乙兩顆質(zhì)地均勻且形狀為正方體的骰子，它的六個面上的點數(shù)依次為1，2，3，4，5，6，現(xiàn)將甲、乙兩顆骰子先后各拋一次，a，b分別表示擲甲、乙兩顆骰子所出現(xiàn)的向上的點數(shù)(1)若“點M(a，b)落在直線xy6上的事件”記為A，求事件A的概率；(2)若“點M(a，b)落在圓x2y225內(nèi)部的事件”記為B，求事件B的概率【解】(1)先后拋擲甲、乙兩顆骰子所得的點M(a，b)共有36個，其中落在直線xy6上的點有(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，共5個點，所以P(A).(2)同(1)，落在圓x2y225的內(nèi)部的點共有(1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，共13個點，所以P(B).求解古典概型與其他知識交匯問題的思路解決古典概型與其他知識交匯問題，其關(guān)鍵是將平面向量、直線與圓、函數(shù)的單調(diào)性及方程的根的情況轉(zhuǎn)化為概率模型，再按照求古典概型的步驟求解 設(shè)a2，4，b1，3，函數(shù)f(x)ax2bx1.(1)求f(x)在區(qū)間(，1上是減函數(shù)的概率；(2)從f(x)中隨機抽取兩個，求它們在(1，f(1)處的切線互相平行的概率解：(1)由題意1，即ba.而(a，b)共有C·C4種，滿足ba的有3種，故概率為.(2)由(1)可知，函數(shù)f(x)共有4種可能，從中隨機抽取兩個，有6種抽法因為函數(shù)f(x)在(1，f(1)處的切線的斜率為f(1)ab，所以這兩個函數(shù)中的a與b之和應(yīng)該相等，而只有(2，3)，(4，1)這1組滿足，故概率為.古典概型概率的應(yīng)用 將一顆骰子投擲兩次，第一次出現(xiàn)的點數(shù)記為a，第二次出現(xiàn)的點數(shù)記為b，設(shè)任意投擲兩次使兩條不重合直線l1：axby2，l2：x2y2平行的概率為P1，相交的概率為P2，若點(P1，P2)在圓(xm)2y2的內(nèi)部，則實數(shù)m的取值范圍是()A.B.C. D.【解析】對于a與b各有6種情形，故總數(shù)為36種兩條直線l1：axby2，l2：x2y2平行的情形有a2，b4或a3，b6，故概率為P1，兩條直線l1：axby2，l2：x2y2相交的情形除平行與重合(a1，b2)即可，所以P2，因為點(P1，P2)在圓(xm)2y2的內(nèi)部，所以，解得m，故選D.【答案】D概率問題主要體現(xiàn)必然與或然思想，在生活、生產(chǎn)中有著廣泛的應(yīng)用在高考中常以生產(chǎn)、生活中的決策與判斷、求參數(shù)的范圍等問題呈現(xiàn)，多具有開放性特點 甲、乙兩人各拿出200元，用作擲硬幣游戲的獎金，兩人商定：一局中擲出正面向上則甲勝，否則乙勝，誰先勝三局就得所有獎金比賽開始后，甲勝了兩局，乙勝了一局，這時因為意外事件中斷游戲，請問怎樣分配這400元才合理？解：為了決出勝負(fù)，最多再賽兩局，用“甲”表示甲勝，用“乙”表示乙勝，于是這兩局有四種可能：(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲獲勝有3種情況，而乙獲勝只有1種情況，所以甲獲勝的概率是，乙獲勝的概率是.因此，合理的分法為甲得300元，乙得100元基礎(chǔ)題組練1從分別寫有1，2，3，4，5的5張卡片中隨機抽取1張，放回后再隨機抽取1張，則抽得的第一張卡片上的數(shù)大于第二張卡片上的數(shù)的概率為()A.B.C. D.解析：選D.依題意，記兩次取得卡片上的數(shù)字依次為a，b，則一共有25個不同的數(shù)組(a，b)，其中滿足a>b的數(shù)組共有10個，分別為(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，因此所求的概率為，選D.2高三畢業(yè)時，甲、乙、丙等五位同學(xué)站成一排合影留念，已知甲、乙相鄰，則甲、丙相鄰的概率為()A. B.C. D.解析：選B.五人排隊，甲、乙相鄰的排法有AA48(種)，若甲、丙相鄰，此時甲在乙、丙中間，排法有AA12(種)，故甲、丙相鄰的概率為.3袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球，從袋中任取2個球，所取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為()A1 B.C. D.解析：選C.從袋中任取2個球共有C105種，其中恰好1個白球，1個紅球共有CC50種，所以恰好1個白球，1個紅球的概率為.4(2020·臺州高三質(zhì)檢)已知集合M1，2，3，4，N(a，b)|aM，bM，A是集合N中任意一點，O為坐標(biāo)原點，則直線OA與yx21有交點的概率是()A. B.C. D.解析：選C.易知過點(0，0)與yx21相切的直線為y2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個元素，其中使OA斜率不小于2的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，4)，共4個，由古典概型知概率為.5(2020·湖州模擬)已知函數(shù)f(x)x3ax2b2x1，若a是從1，2，3三個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，則該函數(shù)有兩個極值點的概率為()A. B.C. D.解析：選D.f(x)x22axb2，要使函數(shù)f(x)有兩個極值點，則有(2a)24b20，即a2b2.由題意知所有的基本事件有9個，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一個數(shù)表示a的取值，第二個數(shù)表示b的取值滿足a2b2的有6個基本事件，即(1，0)，(2，0)，(2，1)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，所以所求事件的概率為.6一個三位自然數(shù)百位，十位，個位上的數(shù)字依次為a，b，c，當(dāng)且僅當(dāng)ab，bc時稱為“凹數(shù)”(如213，312等)，若a，b，c1，2，3，4，且a，b，c互不相同，則這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率是()A. B.C. D.解析：選C.由1，2，3組成的三位自然數(shù)為123，132，213，231，312，321，共6個；同理由1，2，4組成的三位自然數(shù)共6個；由1，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個；由2，3，4組成的三位自然數(shù)也是6個所以共有666624個當(dāng)b1時，有214，213，314，412，312，413，共6個“凹數(shù)”當(dāng)b2時，有324，423，共2個“凹數(shù)”所以這個三位數(shù)為“凹數(shù)”的概率P.7(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三質(zhì)檢)甲、乙兩個箱子里各裝有2個紅球和1個白球，現(xiàn)從兩個箱子中隨機各取一個球，則至少有一個紅球的概率為_解析：兩個箱子各取一個球全是白球的概率P，所以至少有一個紅球的概率為1P1.答案：8在3張獎券中有一、二等獎各1張，另1張無獎甲、乙兩人各抽取1張，兩人都中獎的概率是_解析：記“兩人都中獎”為事件A，設(shè)中一、二等獎及不中獎分別記為1，2，0，那么甲、乙抽獎結(jié)果有(1，2)，(1，0)，(2，1)，(2，0)，(0，1)，(0，2)，共6種其中甲、乙都中獎有(1，2)，(2，1)，2種，所以P(A).答案：9從20名男生、10名女生中任選3名參加體能測試，則選到的3名學(xué)生中既有男生又有女生的概率為_解析：選到的學(xué)生中有男生1名、女生2名的選法有CC 種，選到的學(xué)生中有男生2名、女生1名的選法有CC 種，則選到的3名學(xué)生中既有男生又有女生的概率為P.答案：10有100本書，既分為文科、理科2類，又分為精裝、平裝2種，其中文科書40本，精裝書70本，理科的平裝書20本，則：(1)任取1本恰是文科精裝書的概率是_；(2)先任取1本恰是文科書，放回后再取1本恰是精裝書的概率是_解析：(1)基本事件總數(shù)為100，其中文科書40本，理科書60本；精裝書70本，理科的平裝書20本，精裝書40本；文科的精裝書30本，文科的平裝書10本則任取1本恰是文科精裝書的概率為0.3.(2)基本事件總數(shù)為100×100，則所求概率P×0.28.答案：(1)0.3(2)0.2811某旅游愛好者計劃從3個亞洲國家A1，A2，A3和3個歐洲國家B1，B2，B3中選擇2個國家去旅游(1)若從這6個國家中任選2個，求這2個國家都是亞洲國家的概率；(2)若從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，求這2個國家包括A1但不包括B1的概率解：(1)由題意知，從6個國家中任選2個國家，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15個所選兩個國家都是亞洲國家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共3個則所求事件的概率為P.(2)從亞洲國家和歐洲國家中各任選1個，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9個包括A1但不包括B1的事件所包含的基本事件有：A1，B2，A1，B3，共2個，則所求事件的概率為P.12在100件產(chǎn)品中，有95件合格品、5件次品，從中任取2件，求：(1)2件都是合格品的概率；(2)2件都是次品的概率；(3)1件是合格品、1件是次品的概率解：從100件產(chǎn)品中任取2件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)就是從100個元素中任取2個元素的組合數(shù)C，由于任意抽取，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，則C4 950為基本事件總數(shù)(1)100件產(chǎn)品中有95件合格品，取到2件合格品的結(jié)果數(shù)就是從95個元素中任取2個的組合數(shù)C，記“任取2件都是合格品”為事件A1，那么P(A1).(2)由于在100件產(chǎn)品中有5件次品，取到2件次品的結(jié)果數(shù)為C，記“任取2件都是次品”為事件A2，那么事件A2的概率P(A2).(3)記“任取2件，1件是次品，1件是合格品”為事件A3，而取到1件合格品、1件次品的結(jié)果有C·C種，則事件A3的概率P(A3).綜合題組練1從1到10這十個自然數(shù)中隨機取三個數(shù)，則其中一個數(shù)是另兩個數(shù)之和的概率是()A. B.C. D.解析：選A.不妨設(shè)取出的三個數(shù)為x，y，z(x<y<z)，要滿足xyz，共有20種結(jié)果，從十個數(shù)中取三個數(shù)共有C種結(jié)果，故所求概率為.2已知函數(shù)f(x)logax3loga2，a，2，4，5，8，9，則f(3a2)>f(2a)>0的概率為()A. B.C. D.解析：選B.因為a，2，4，5，8，9，所以3a2>2a，又f(3a2)>f(2a)>0，所以函數(shù)f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)因為f(x)logax3loga2loga，所以a>1，又f(2a)>0，所以loga>0，所以>1，即a>4，則f(3a2)>f(2a)>0的概率P.故選B.3某同學(xué)同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)分別為a，b，則雙曲線1的離心率e>的概率是_解析：由e>，得b>2a.當(dāng)a1時，b3，4，5，6四種情況；當(dāng)a2時，b5，6兩種情況，總共有6種情況又同時擲兩顆骰子，得到的點數(shù)(a，b)共有36種結(jié)果所以所求事件的概率P.答案：4連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子，記第i次得到的向上一面的點數(shù)為ai，若存在正整數(shù)k，使a1a2ak6，則稱k為幸運數(shù)字，則幸運數(shù)字為3的概率是_解析：連續(xù)拋擲同一顆均勻的骰子3次，所含基本事件總數(shù)n6×6×6，要使a1a2a36，則a1，a2，a3可取1，2，3或1，1，4或2，2，2三種情況，其所含的基本事件個數(shù)mAC110.故幸運數(shù)字為3的概率為P.答案：5已知8支球隊中有3支弱隊，以抽簽方式將這8支球隊分為A，B兩組，每組4支，求：(1)A，B兩組中有一組恰好有2支弱隊的概率；(2)A組中至少有2支弱隊的概率解：(1)法一：3支弱隊在同一組中的概率為×2，故有一組恰好有2支弱隊的概率為1.法二：A組恰有2支弱隊的概率為，B組恰好有2支弱隊的概率為，所以有一組恰好有2支弱隊的概率為.(2)法一：A組中至少有2支弱隊的概率為.法二：A，B兩組有一組中至少有2支弱隊的概率為1(因為此事件為必然事件)由于對A組和B組而言，至少有2支弱隊的概率是相同的，所以A組中至少有2支弱隊的概率為.6在某大型活動中，甲、乙等五名志愿者被隨機地分到A，B，C，D四個不同的崗位服務(wù)，每個崗位至少有一名志愿者(1)求甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率；(2)求甲、乙兩人不在同一個崗位服務(wù)的概率；(3)求五名志愿者中僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率解：(1)記“甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)”為事件EA，那么P(EA)，即甲、乙兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率是.(2)記“甲、乙兩人同時參加同一崗位服務(wù)”為事件E，那么P(E)，所以甲、乙兩人不在同一崗位服務(wù)的概率是P()1P(E).(3)有兩人同時參加A崗位服務(wù)的概率P2，所以僅有一人參加A崗位服務(wù)的概率P11P2.14