2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式本章復(fù)習(xí)導(dǎo)學(xué)案 新人教B版選修4-5

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1、第三章 數(shù)學(xué)歸納法與貝努利不等式 本章復(fù)習(xí)課 1.理解數(shù)學(xué)歸納法原理，會用數(shù)學(xué)歸納法證明與正整數(shù)有關(guān)的等式、不等式、整除性問題和幾何問題. 2.會用數(shù)學(xué)歸納法證明絕對值不等式、均值不等式、柯西不等式和貝努利不等式，會用貝努利不等式證明有關(guān)的簡單問題. 知識結(jié)構(gòu) — 知識梳理 1.數(shù)學(xué)歸納法及其原理 數(shù)學(xué)歸納法是證明一些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法.即先證明當(dāng)n取第一個值n0(例如n0＝1)時命題成立，然后假設(shè)當(dāng)n＝k (k∈N*，k≥n0)時命題成立，證明當(dāng)n＝k＋1時命題也成立，那么就證明了這個命題成立.這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法. 2.數(shù)學(xué)歸納法主要用于解決與正整

2、數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)問題.證明時，它的兩個步驟缺一不可.它的第一步(歸納奠基)n＝n0時結(jié)論成立.第二步(歸納遞推)假設(shè)n＝k時，結(jié)論成立，推得n＝k＋1時結(jié)論也成立.數(shù)學(xué)歸納法原理建立在歸納公理的基礎(chǔ)上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立. 3.運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時易犯的錯誤 (1)對項(xiàng)數(shù)估算的錯誤，特別是尋找n＝k與n＝k＋1的關(guān)系時，項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯. (2)沒有利用歸納假設(shè). (3)關(guān)鍵步驟含糊不清，“假設(shè)n＝k時結(jié)論成立，利用此假設(shè)證明n＝k＋1時結(jié)論也成立”，是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步，也是證明問題最重要的環(huán)節(jié)，對推導(dǎo)的過程要把步驟寫完整，注意證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性、規(guī)范性.

3、典例剖析 知識點(diǎn)1　歸納、猜想、證明問題 【例1】 已知x＋＝2cos θ， (1)計算x2＋及x3＋的值； (2)歸納出xn＋ (n∈N*)的值，再用數(shù)學(xué)歸納法證明. 解　(1)x2＋＝－2 ＝22cos2θ－2＝2(2cos2θ－1)＝2cos 2θ x3＋＝－3， ＝8cos3θ－3×2cos θ＝2cos 3θ. (2)由(1)猜想xn＋＝2cos nθ (n∈N*) 證明：①當(dāng)n＝1，2時，由(1)已證 ②假設(shè)n＝k及n＝k－1時，命題成立， 即xk＋＝2cos kθ， xk－1＋＝2cos(k－1)θ (k≥2，k∈N*) 則n＝k＋1時，xk＋1＋

4、＝－ ＝4cos kθcos θ－2cos(k－1)θ ＝2[cos(k＋1)θ＋cos(k－1)θ]－2cos(k－1)θ ＝2cos(k＋1)θ ∴當(dāng)n＝k＋1時，命題也成立，由①、②知，對一切n∈N*都有xn＋＝2cos nθ. 知識點(diǎn)2　探索性問題 【例2】 是否存在常數(shù)a，b，c使得等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2＝(an2＋bn＋c)對一切n∈N*都成立？并證明你的結(jié)論. 解　假設(shè)存在符合題意的常數(shù)a，b，c， 在等式1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2 ＝(an2＋bn＋c)中， 令n＝1，得4＝(a＋b＋c) ① 令n＝2，得22＝(4a＋2b

5、＋c) ② 令n＝3，得70＝9a＋3b＋c ③ 由①②③解得a＝3，b＝11，c＝10， 于是，對于n＝1，2，3，都有 1·22＋2·32＋…＋n(n＋1)2 ＝(3n2＋11n＋10) (*)成立. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于一切正整數(shù)n，(*)式都成立. 假設(shè)n＝k時，(*)成立， 即1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＝(3k2＋11k＋10)， 那么1·22＋2·32＋…＋k(k＋1)2＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋11k＋10)＋(k＋1)(k＋2)2 ＝(3k2＋5k＋12k＋24) ＝[3(k＋1)2＋11(k＋1)＋10]， 由此可知，當(dāng)

6、n＝k＋1時，(*)式也成立. 綜上所述，當(dāng)a＝3，b＝11，c＝10時題設(shè)的等式對于一切 n∈N*都成立. 知識點(diǎn)3　與數(shù)列通項(xiàng)有關(guān)的歸納、猜想、證明 【例3】 設(shè)數(shù)列{an}滿足an＋1＝a－nan＋1，n∈N*. (1)當(dāng)a1＝2時，求a2，a3，a4，并由此猜想an的一個通項(xiàng)公式； (2)當(dāng)a1>3時，證明對所有n≥1有 ①an≥n＋2； ②＋＋…＋≤. (1)解　由a1＝2，an＋1＝a－nan＋1得： a2＝a－a1＋1＝3，a3＝a－2a2＋1＝4 a4＝a－3a3＋1＝5 由此可推測數(shù)列{an}的一個通項(xiàng)公式是an＝n＋1. (2)證明?、佼?dāng)n＝1時，

7、a1>3＝1＋2，不等式成立. 假設(shè)n＝k時，不等式成立，即ak≥k＋2 當(dāng)n＝k＋1時，ak＋1＝a－kak＋1＝ak(ak－k)＋1 ≥(k＋2)(k＋2－k)＋1＝2k＋5≥k＋3 即ak＋1≥(k＋1)＋2，因此不等式成立. ∴an≥n＋2對于n∈N*都成立. ②由an＋1＝a－nan＋1及(1)知 當(dāng)k≥2時，ak＝a－(k－1)ak－1＋1 ＝ak－1(ak－1－k＋1)＋1 ≥ak－1(k－1＋2－k＋1)＋1＝2ak－1＋1 ak＋1≥2(ak－1＋1)，即≥2 ∴ak＋1≥2k－1(a1＋1)，≤·(k≥2) ＋＋…＋ ≤ ＝≤≤. 知識點(diǎn)4　用

8、數(shù)學(xué)歸納法證明三角等式 【例4】 用數(shù)學(xué)歸納法證明 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(n－1)α·tan nα＝－n (n≥2，n∈N*). 證明　(1)當(dāng)n＝2時，左邊＝tan α·＝ 右邊＝－2＝－2＝，等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n＝k時(k≥2，k∈N*)等式成立，即 tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα ＝－k 則當(dāng)n＝k＋1時， tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α ＝－k＋tan kα·tan

9、(k＋1)α(*) 由tan α＝tan[(k＋1)α－kα]＝ 得tan kαtan(k＋1)α＝－1. 代入(*)式，得 右邊＝－k＋－1 ＝－(k＋1)， 即tan α·tan 2α＋tan 2α·tan 3α＋…＋tan(k－1)α·tan kα＋tan kα·tan(k＋1)α＝－(k＋1). 這就是說，當(dāng)n＝k＋1時等式成立. 根據(jù)(1)(2)可知，對任意n≥2，n∈N*，等式成立 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) 1.如果命題P(n)對n＝k成立，則它對n＝k＋2亦成立，又若P(n)對n＝2成立，則下列結(jié)論正確的是(　　) A.P(n)對所有的正整數(shù)n成立 B.P(n)對所有

10、的正偶整數(shù)n成立 C.P(n)對所有正奇整數(shù)n成立 D.P(n)對所有比1大的自然數(shù)n成立 答案　B 2.利用數(shù)學(xué)歸納法證明＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時，不等式的左邊(　　) A.增加了一項(xiàng) B.增加了兩項(xiàng)和 C.增加了一項(xiàng)，并減少了 D.增加了兩項(xiàng)和，并減少了 答案　D 3.用數(shù)學(xué)歸納法證明＋cos α＋cos 3α＋…＋cos(2n－1)α＝(k∈Z*，α≠kπ，n∈N＋)，在驗(yàn)證n＝1時，左邊計算所得的項(xiàng)是(　　) A. B.＋cos α C.＋cos α＋cos 3α D.cos α 答案　B 4.平面上有n條直線

11、，其中任意三條不平行，任意兩條不共線，則這n條直線把平面分成________個部分. 答案?。? 5.已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2n)>時，f(2k＋1)－f(2k)＝________. 答案?。? 6.n∈N，求證：4·6n＋5n＋1－9能被20整除. 證明　(1)當(dāng)n＝1時，4·6n＋5n＋1－9＝40，能被20整除，即n＝1時命題成立. (2)設(shè)n＝k時命題成立，即4·6k＋5k＋1－9能被20整除. 設(shè)4·6k＋5k＋1－9＝20m(m為整數(shù)). ∴－9＝20m－4·6k－5k＋1. ∴4·6k＋1＋5k＋2－9 ＝4·6k＋1

12、＋5k＋2＋20m－4·6k－5k＋1 ＝20(6k＋5k＋m)， ∴4·6k＋1＋5k＋2－9能被20整除. ∴當(dāng)n＝k＋1時，命題成立. 由(1)、(2)，知對n∈N，命題成立. 綜合提高 7.對于不等式≤n＋1(n∈N＋)，某學(xué)生用數(shù)學(xué)歸納法證明過程如下： (1)當(dāng)n＝1時，≤1＋1，不等式成立； (2)假設(shè)n＝k(k∈N＋)時不等式成立，即

13、8.設(shè)平面內(nèi)有幾條直線，其中任何兩條不平行，任何三條不共點(diǎn)，設(shè)k條直線的交點(diǎn)個數(shù)為f(x)，則f(x＋1)與f(k)的關(guān)系為(　　) A.f(k＋1)＝f(k)＋k－1 B.f(k＋1)＝f(k)＋k＋2 C.f(k＋1)＝f(k)＋k D.f(k＋1)＝f(k)＋k＋2 答案　C 9.用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：當(dāng)n是非負(fù)整數(shù)時，11n＋2＋122n＋1能被133整除，假設(shè)n＝k時命題成立，推證n＝k＋1時命題也成立，應(yīng)添加的輔助項(xiàng)為________. 答案　11×122k＋1－11×122k＋1 10.用數(shù)學(xué)歸納法證明“n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除”時，某同學(xué)證法

14、如下： (1)n＝1時，1×2×3＝6能被6整除，∴n＝1時命題成立. (2)假設(shè)n＝k時成立，即k(k＋1)(2k＋1)能被6整除，那么n＝k＋1時， (k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝(k＋1)(k＋2)[k＋(k＋3)]＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)(k＋3). ∵k，k＋1，k＋2和k＋1，k＋2，k＋3分別是三個連續(xù)自然數(shù)的積， ∴能被6整除，故n＝k＋1時命題成立. 綜合(1)、(2)，對一切n∈N＋，n(n＋1)(2n＋1)能被6整除. 這種證明情況________. 答案　未用上歸納假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法 11.求證：cos x＋cos 3x＋…

15、＋cos(2n－1)x＝ (n∈N*). 證明　(1)當(dāng)n＝1時，左邊＝cos x，右邊＝＝cos x，等式成立. (2)假設(shè)n＝k (k≥1)時， cos x＋cos 3x＋…＋cos(2k－1)x＝成立. 當(dāng)n＝k＋1時， cos x＋cos 3x＋…＋cos(2k－1)x＋cos(2k＋1)x ＝＋cos(2k＋1)x ＝(sin 2kx＋2sin xcos(2k＋1)x) ＝(sin 2kx＋sin(2k＋2)x－sin 2kx)＝， ∴對n＝k＋1時，等式成立. 由(1)，(2)知，對一切自然數(shù)n∈N*，等式均成立. 12.已知數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，bn＝

16、nan(n∈N＋)，e為自然對數(shù)的底數(shù). (1)求函數(shù)f(x)＝1＋x－ex的單調(diào)區(qū)間，并比較與e的大小； (2)計算，，，由此推測計算的公式，并給出證明； (3)令cn＝(a1a2…an)，數(shù)列{an}，{cn}的前n項(xiàng)和分別記為Sn，Tn，證明：Tn0，即x<0時，f(x)單調(diào)遞增； 當(dāng)f′(x)<0，即x>0時，f(x)單調(diào)遞減； 故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，0)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞). 當(dāng)x>0時，f(x)

17、e. ① (2)解　＝1·＝1＋1＝2； ＝·＝2·2＝(2＋1)2＝32； ＝·＝32·3＝(3＋1)3＝43. 由此推測：＝(n＋1)n. ② 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明②. (ⅰ)當(dāng)n＝1時，左邊＝右邊＝2，②成立. (ⅱ)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，②成立，即＝(k＋1)k. 當(dāng)n＝k＋1時，bk＋1＝(k＋1)ak＋1，由歸納假設(shè)可得 ＝· ＝(k＋1)k(k＋1)＝(k＋2)k＋1. 所以當(dāng)n＝k＋1時，②也成立. 根據(jù)(ⅰ)(ⅱ)，可知②對一切正整數(shù)n都成立. (3)證明　由cn的定義，②，均值不等式(推廣)，bn的定義及①得 Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝(a1)＋(a1a2)＋(a1a2a3)＋…＋(a1a2…an) ＝＋＋＋…＋ ≤＋＋＋…＋ ＝b1＋b2 ＋…＋bn· ＝b1＋b2＋…＋bn <＋＋…＋＝a1＋a2＋… ＋an