12、最大值為1.
法二 如圖，無(wú)論E點(diǎn)在哪個(gè)位置，在方向上的投影都是CB＝1，所以·＝||·1＝1.
當(dāng)E運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，在方向上的投影最大，即為DC＝1，
所以(·)max＝||·1＝1.
答案 (1)C (2)1 1
探究提高 (1)①數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義、坐標(biāo)運(yùn)算、數(shù)量積的幾何意義，特別要注意向量坐標(biāo)法的運(yùn)用；②可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算；③在用|a|＝求向量的模時(shí)，一定要把求出的a2進(jìn)行開(kāi)方.
(2)求解幾何圖形中的數(shù)量積問(wèn)題，通過(guò)對(duì)向量的分解轉(zhuǎn)化成已知向量的數(shù)量積計(jì)算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角坐標(biāo)系
13、，把數(shù)量積的計(jì)算轉(zhuǎn)化成坐標(biāo)運(yùn)算也是一種較為簡(jiǎn)捷的方法.
【訓(xùn)練1】 (1)(2018·溫州模擬)平面向量a，b滿(mǎn)足|a|＝4，|b|＝2，a＋b在a上的投影為5，則|a－2b|的模為( )
A.2 B.4 C.8 D.16
(2)已知⊥，||＝，||＝t，若點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且＝＋，則·的最大值等于( )
A.13 B.15 C.19 D.21
(3)已知a，b均為單位向量，且(2a＋b)·(a－2b)＝－，則向量a，b的夾角為_(kāi)_______.
解析 (1)|a＋b|cos〈a＋b，a〉＝|a＋b|·＝＝＝5；
∴a·b＝4.
又(a
14、－2b)2＝a2－4a·b＋4b2＝16－16＋16＝16，
∴|a－2b|＝4.
(2)建立如圖所示坐標(biāo)系，
則B，C(0，t)，＝，＝(0，t)，
則＝＋
＝t＋(0，t)＝(1，4).
∴點(diǎn)P(1，4)，
則·＝·(－1，t－4)
＝17－≤17－2＝13，
當(dāng)且僅當(dāng)4t＝，即t＝時(shí)取等號(hào)，故·的最大值為13.
(3)設(shè)單位向量a，b的夾角為θ，則|a|＝|b|＝1，a·b＝cos θ.
∵(2a＋b)·(a－2b)＝－，
∴2|a|2－2|b|2－3a·b＝－3cos θ＝－，∴cos θ＝.
∵0≤θ≤π，∴θ＝.
答案 (1)B (2)A (3)
熱點(diǎn)
15、二 平面向量與三角的交匯
【例2】 (2018·金麗衢十二校聯(lián)考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(－，)，x∈[0，π].
(1)若a⊥b，求x的值；
(2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.
解 (1)由題意，得－cos x＋sin x＝0，
所以tan x＝，又x∈[0，π]，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝－cos x＋sin x＝2sin，
因?yàn)閤∈[0，π]，所以x－∈，
即f(x)的最大值為2，此時(shí)x－＝，于是x＝；
f(x)的最小值為－，此時(shí)x－＝－，于是x＝0.
探究提高 三角函數(shù)和平面向量是高中數(shù)學(xué)的兩個(gè)重要
16、分支，內(nèi)容繁雜，且平面向量與三角函數(shù)交匯點(diǎn)較多，向量的平行、垂直、夾角、數(shù)量積等知識(shí)都可以與三角函數(shù)進(jìn)行交匯.不論是哪類(lèi)向量知識(shí)與三角函數(shù)的交匯試題，都會(huì)出現(xiàn)交匯問(wèn)題中的難點(diǎn)，對(duì)于此類(lèi)問(wèn)題的解決方法就是利用向量的知識(shí)將條件“脫去外衣”轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)中的“數(shù)量關(guān)系”，再利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解.
【訓(xùn)練2】 (2018·湖州調(diào)研)已知在銳角三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，向量p＝(cos B＋sin B，2sin B－2)，q＝(sin B－cos B，1＋sin B)，且p⊥q.
(1)求B的大??；
(2)若b＝2，△ABC的面積為，求a，c.
解 (1)因?yàn)?/p>
17、p⊥q，
所以p·q＝(cos B＋sin B)(sin B－cos B)＋(2sin B－2)·(1＋sin B)＝0，
即sin2B－cos2B＋2sin2B－2＝0，
即sin2B＝，
又角B是銳角三角形ABC的內(nèi)角，
所以sin B＝，所以B＝60°.
(2)由(1)得B＝60°，
又△ABC的面積為，
所以S△ABC＝acsin B，即ac＝4.①
由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos B，又b＝2，
所以a2＋c2＝8，②
聯(lián)立①②，解得a＝c＝2.
1.平面向量的數(shù)量積的運(yùn)算有兩種形式：
(1)依據(jù)模和夾角計(jì)算，要注意確定這兩個(gè)向量的夾角，如夾
18、角不易求或者不可求，可通過(guò)選擇易求夾角和模的基底進(jìn)行轉(zhuǎn)化；
(2)利用坐標(biāo)來(lái)計(jì)算，向量的平行和垂直都可以轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)滿(mǎn)足的等式，從而應(yīng)用方程思想解決問(wèn)題，化形為數(shù)，使向量問(wèn)題數(shù)量化.
2.根據(jù)平行四邊形法則，對(duì)于非零向量a，b，當(dāng)|a＋b|＝|a－b|時(shí)，平行四邊形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)度相等，此時(shí)平行四邊形是矩形，條件|a＋b|＝|a－b|等價(jià)于向量a，b互相垂直.
3.兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π]，在使用平面向量解決問(wèn)題時(shí)要特別注意兩個(gè)向量夾角可能是0或π的情況，如已知兩個(gè)向量的夾角為鈍角時(shí)，不單純就是其數(shù)量積小于零，還要求不能反向共線(xiàn)
一、選擇題
1.(2018·北京卷)設(shè)a，b均
19、為單位向量，則“|a－3b|＝|3a＋b|”是“a⊥b”的( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件
解析 ∵|a－3b|＝|3a＋b|，∴(a－3b)2＝(3a＋b)2，
∴a2－6a·b＋9b2＝9a2＋6a·b＋b2，又∵|a|＝|b|＝1，
∴a·b＝0，∴a⊥b；反之也成立.故選C.
答案 C
2.已知向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，若(2a＋b)⊥c，則|b|＝( )
A.9 B.3 C. D.3
解析 向量a＝(2，－4)，b＝(－3，x)，c＝(1，－1)，
20、
∴2a＋b＝(1，x－8)，
由(2a＋b)⊥c，可得1＋8－x＝0，解得x＝9.
則|b|＝＝3.
答案 D
3.(2018·寧波模擬)已知a與b均為單位向量，其夾角為θ，有下列四個(gè)命題：
p1：|a＋b|＞1θ∈
p2：|a＋b|＞1θ∈
p3：|a－b|＞1θ∈
p4：|a－b|＞1θ∈
其中的真命題是( )
A.p1，p4 B.p1，p3 C.p2，p3 D.p2，p4
解析 |a|＝|b|＝1，且θ∈[0，π]，若|a＋b|＞1，則(a＋b)2＞1，∴a2＋2a·b＋b2＞1，即a·b＞－，∴cos θ＝＝a·b＞－，∴θ∈；若|a－b|＞1
21、，同理求得a·b＜，∴cos θ＝a·b＜，∴θ∈，故p1，p4正確，應(yīng)選A.
答案 A
4.(2014·浙江卷)記max{x，y}＝min{x，y}＝設(shè)a，b為平面向量，則( )
A.min{|a＋b|，|a－b|}≤min{|a|，|b|}
B.min{|a＋b|，|a－b|}≥min{|a|，|b|}
C.max{|a＋b|2，|a－b|2}≤|a|2＋|b|2
D.max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2
解析 由三角形法則知min{|a＋b|，|a－b|}與min{|a|，|b|}的大小不確定，由平行四邊形法則知，max{|a＋b|，|a－b|}所對(duì)角
22、大于或等于90°，由余弦定理知max{|a＋b|2，|a－b|2}≥|a|2＋|b|2，故選D.
答案 D
5.(2018·天津卷)在如圖的平面圖形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，＝2，＝2，則·的值為( )
A.－15 B.－9 C.－6 D.0
解析 由＝2，可知＝2，∴＝3，由＝2，可知＝2，∴＝3，故＝＝3，連接MN，則BC∥MN且||＝3||.∴＝3＝3(－)，∴·＝3(－)·＝3(·－2)＝3(||·||cos 120°－||2)＝－6.故選C.
答案 C
6.(2018·天津卷)如圖，在平面四邊形ABCD中，AB⊥BC，AD⊥CD，∠
23、BAD＝120°，AB＝AD＝1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則·的最小值為( )
A. B. C. D.3
解析 以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，建立如圖的平面直角坐標(biāo)系，
因?yàn)樵谄矫嫠倪呅蜛BCD中，AB＝AD＝1，∠BAD＝120°，所以A(0，0)，B(1，0)，D.設(shè)C(1，m)，E(x，y)，所以 ＝，＝，因?yàn)锳D⊥CD，所以·＝0，則×(－)＋＝0，解得m＝，即C(1，).因?yàn)镋在CD上，所以≤y≤，由kCE＝kCD，得＝，即x＝y(tǒng)－2，因?yàn)椋?x，y)，＝(x－1，y)，所以·＝(x，y)·(x－1，y)＝x2－x＋y2＝(y－2)2－y＋2＋y2＝4y2－5y
24、＋6，令f(y)＝4y2－5y＋6，y∈.因?yàn)楹瘮?shù)f(y)＝4y2－5y＋6在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(y)min＝4× 2－5×＋6＝.所以·的最小值為，故選A.
答案 A
二、填空題
7.(2018·全國(guó)Ⅲ卷)已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ).若c∥(2a＋b)，則λ＝________.
解析 由題意得2a＋b＝(4，2)，因?yàn)閏∥(2a＋b)，c＝(1，λ)，所以4λ＝2，得λ＝.
答案
8.已知e1，e2是互相垂直的單位向量，若e1－e2與e1＋λe2的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是________.
解析 cos 60°＝＝
＝，解之得
25、λ＝.
答案
9.若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿(mǎn)足5 ＝＋3，則△ABM與△ABC的面積比值為_(kāi)_______.
解析 設(shè)AB的中點(diǎn)為D，
由5＝＋3，得3－3＝2－2，
即3＝2.
如圖所示，故C，M，D三點(diǎn)共線(xiàn)，
且＝，
也就是△ABM與△ABC對(duì)于邊AB的兩高之比為3∶5，
則△ABM與△ABC的面積比值為.
答案
10.(2018·臺(tái)州模擬)已知平面向量a和b的夾角為60°，a＝(2，0)，|b|＝1，則a·b＝________，|a＋2b|＝________.
解析 ∵〈a，b〉＝60°，a＝(2，0)，|b|＝1，
∴a·b＝|a||b|·co
26、s 60°＝2×1×＝1，
又|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝12，
所以|a＋2b|＝＝2.
答案 1 2
11.(2018·湖州聯(lián)考)在△ABC中，AB＝3，AC＝2，A＝60°，＝m＋，則||的最小值為_(kāi)_______；又若⊥，則m＝________.
答案
12.(2018·杭州二中調(diào)研)已知向量a，b的夾角為，|a－b|＝6，向量c－a，c－b的夾角為，|c－a|＝2，則a與c的夾角為_(kāi)_______，a·c的最大值為_(kāi)_______.
解析 如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則＝a－b，＝c－a，＝c－b，∴AB＝6，∠BCA＝，AC＝2，又∠AOB＝，∴A，
27、O，B，C四點(diǎn)共圓.
在△ABC中，由正弦定理得＝，即＝，
∴sin∠ABC＝＝，則∠ABC＝.
由同弧所對(duì)圓周角相等，可得∠AOC＝，即a與c的夾角為.
設(shè)∠OAC＝θ，則∠ACO＝－θ.
在△AOC中，由正弦定理得：
＝＝，
∴OC＝＝4sin θ，OA＝
＝4sin，
∴a·c＝|a||c|cos＝OA·OC＝×4sin θ×4sin＝24sin θ·＝12sin θcos θ＋36sin2θ＝6sin 2θ＋36·＝6sin 2θ－18cos 2θ＋18＝12sin＋18.
∴當(dāng)2θ－＝，即θ＝時(shí)，a·c有最大值為12＋18.
答案 12＋18
三、解答題
28、13.設(shè)向量a＝(sin x，sin x)，b＝(cos x，sin x)，x∈.
(1)若|a|＝|b|，求x的值；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.
解 (1)由|a|2＝(sin x)2＋(sin x)2＝4sin2x，
|b|2＝(cos x)2＋(sin x)2＝1，
及|a|＝|b|，得4sin2x＝1.
又x∈，從而sin x＝，所以x＝.
(2)f(x)＝a·b＝sin x·cos x＋sin2x
＝sin 2x－cos 2x＋＝sin＋，
當(dāng)x＝∈時(shí)，sin取最大值1.
所以f(x)的最大值為.
14.△ABC的內(nèi)角A，B，C 所對(duì)的邊
29、分別為a，b，c.向量m＝(a，b)與n＝(cos A，sin B)平行.
(1)求A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面積.
解 (1)因?yàn)閙∥n，所以asin B－bcos A＝0，
由正弦定理，得sin Asin B－sin Bcos A＝0，
又sin B≠0，從而tan A＝，
由于0＜A＜π，所以A＝.
(2)法一 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，
而a＝，b＝2，A＝，得7＝4＋c2－2c，
即c2－2c－3＝0，因?yàn)閏＞0，所以c＝3，
故△ABC的面積為S＝bcsin A＝.
法二 由正弦定理，得＝，
從而sin B＝，又由a
30、＞b，知A＞B，
所以cos B＝，
故sin C＝sin(A＋B)＝sin
＝sin Bcos ＋cos Bsin ＝.
所以△ABC的面積為S＝absin C＝.
15.(2018·金華一中模擬)在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)，且C＝，a＋b＝λc(其中λ>1).
(1)若λ＝，證明：△ABC為直角三角形；
(2)若·＝λ2，且c＝3，求λ的值.
(1)證明 ∵λ＝，∴a＋b＝c，
由正弦定理得sin A＋sin B＝sin C，
∵C＝，∴sin B＋sin＝，
即sin B＋cos B＋sin B＝，
∴sin B＋cos B＝，則sin＝，
從而B(niǎo)＋＝或B＋＝，
解得B＝或B＝.
若B＝，則A＝，△ABC為直角三角形；
若B＝，△ABC亦為直角三角形.
(2)解 若·＝λ2，則a·b＝λ2，
∴ab＝λ2.
由余弦定理知a2＋b2－c2＝2abcos C，
即a2＋b2－ab＝c2＝9，即(a＋b)2－3ab＝9，
又a＋b＝3λ，故9λ2－λ2＝9，解得λ2＝4，
又λ>1，∴λ＝2.
15
（浙江專(zhuān)用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題一 三角函數(shù)與平面向量 第3講 平面向量學(xué)案
