高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題06 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問題強(qiáng)化突破 理（含解析）新人教版

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1、高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 專題06 概率、統(tǒng)計(jì)的綜合問題強(qiáng)化突破 理（含解析）新人教版 1.如圖所示的莖葉圖表示的是甲、乙兩人在五次綜合測評中的成績，其中一個(gè)數(shù)字被污損，則甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為(　　) A.　 　　 B.　 　　 C.　 　　 D. 解析：選D　記其中被污損的數(shù)字為x.依題意得甲的五次綜合測評的平均成績是(80×2＋90×3＋8＋9＋2＋1＋0)＝90，乙的五次綜合測評的平均成績是(80×3＋90×2＋3＋3＋7＋x＋9)＝(442＋x)．令90≤(442＋x)，由此解得x≥8，即x的可能取值是8,9，因此甲的平均成績不超過乙的平均成績的概率為＝，選D.

2、2．在區(qū)間[0,1]上任取三個(gè)數(shù)a，b，c，若向量m＝(a，b，c)，則|m|≤1的概率是(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：選D　依題意得，實(shí)數(shù)a，b，c滿足，這樣的點(diǎn)(a，b，c)可視為在空間直角坐標(biāo)系下的單位正方體區(qū)域(其中原點(diǎn)是該正方體的一個(gè)頂點(diǎn))內(nèi)的點(diǎn)，其中滿足|m|≤1，即≤1，a2＋b2＋c2≤1，這樣的點(diǎn)(a，b，c)可視為在空間直角坐標(biāo)系下的單位正方體區(qū)域內(nèi)且還在以原點(diǎn)為球心、1為半徑的球形區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，該部分的體積恰好等于該球體積的，因此|m|≤1的概率等于＝，選D. 3．汽車耗油量對汽車的銷售有著非常重要的影響，各個(gè)汽車制造企業(yè)積極采用新

3、技術(shù)降低耗油量．某汽車制造公司為調(diào)查某種型號(hào)的汽車的耗油情況，共抽查了1 200名車主，據(jù)統(tǒng)計(jì)該種型號(hào)的汽車的平均耗油為一百公里8.0升，并且汽車的耗油量ξ服從正態(tài)分布N(8，σ2)，已知耗油量ξ∈[7,9]的概率為0.7，那么耗油量大于9升的汽車的輛數(shù)約為(　　) A．140 B．160 C．180　　　 D．200 解析：選C　由題意知ξ～N(8，σ2)，故正態(tài)密度曲線以μ＝8為對稱軸，又P(7≤ξ≤9)＝0.7，故P(7≤ξ≤9)＝2P(8≤ξ≤9)＝0.7，所以P(8≤ξ≤9)＝0.35，而P(ξ≥8)＝0.5，所以P(ξ＞9)＝0.15，故耗油量大于9升的汽車大約有1 200×

4、0.15＝180輛．選C. 4．為提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某地區(qū)舉辦了小學(xué)生“數(shù)獨(dú)比賽”．比賽成績共有90分，70分，60分，40分，30分五種，按本次比賽成績共分五個(gè)等級(jí)．從參加比賽的學(xué)生中隨機(jī)抽取了30名學(xué)生，并把他們的比賽成績按這五個(gè)等級(jí)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下數(shù)據(jù)表： 成績等級(jí) A B C D E 成績 90 70 60 40 30 人數(shù) 4 6 10 7 3 從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，則“選取的這2個(gè)人的成績之差大于20分”的概率為(　　) A.　　　　 B.　　　　 C.　　　　 D. 解析：選C　設(shè)事件M：從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取

5、2人，這2個(gè)人的成績之差大于20分．從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，記其比賽成績分別為m，n.顯然基本事件的總數(shù)為C.不妨設(shè)m＞n，當(dāng)m＝90時(shí)，n＝60或40或30，其基本事件數(shù)為C×(C＋C＋C)；當(dāng)m＝70時(shí)，n＝40或30，其基本事件數(shù)為C×(C＋C)；當(dāng)m＝60時(shí)，n＝30，其基本事件數(shù)為C×C，所以P(M)＝＝，所以從這30名學(xué)生中隨機(jī)選取2人，這2個(gè)人的成績之差大于20分的概率為，選C. 5．設(shè)函數(shù)f(x)＝ax＋(x＞1)，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從2,3,4,5四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則f(x)＞b恒成立的概率為________． 解析：　因?yàn)閤＞1，a＞

6、0， 所以f(x)＝ax＋＝ax＋＋1 ＝a(x－1)＋＋1＋a ≥2＋1＋a ＝(＋1)2. 所以f(x)min＝(＋1)2. 于是f(x)＞b恒成立就等價(jià)于(＋1)2＞b恒成立． 設(shè)事件A為“f(x)＞b恒成立”，則基本事件總數(shù)為12，即 (1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)． 事件A包含事件：(1,2)，(1,3)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，共10個(gè)． 所以P(A)＝＝. 6．給出以下命題：

7、 ①雙曲線－x2＝1的漸近線方程為y＝±x； ②命題p：“?x∈(0，＋∞)，sin x＋≥2”是真命題； ③已知線性回歸方程為＝3＋2x，當(dāng)變量x增加2個(gè)單位，其預(yù)報(bào)值平均增加4個(gè)單位； ④設(shè)隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布N(0，σ2)，若P(ξ＞1)＝0.2，則P(－1＜ξ＜0)＝0.6； ⑤已知＋＝2，＋＝2，＋＝2，＋＝2，依照以上各式的規(guī)律，得到一般性的等式為＋＝2(n≠4)． 則正確命題的序號(hào)為________(寫出所有正確命題的序號(hào))． 解析：①③⑤　①正確，注意雙曲線焦點(diǎn)在y軸上；②錯(cuò)誤，不符合均值不等式的使用條件；③正確；④錯(cuò)誤，因?yàn)镻(ξ＞1)＝P(ξ＜－1)＝0.2，

8、所以P(－1＜ξ＜0)＝＝＝0.3；⑤正確，由特殊到一般可得等式為＋＝2(n≠4)，綜上可得命題①③⑤為真命題． 7．某工廠生產(chǎn)甲、乙兩種電子產(chǎn)品，甲產(chǎn)品的正品率為80%，次品率為20%；乙產(chǎn)品的正品率為90%，次品率為10%.生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品，若是正品則可盈利4萬元，若是次品則虧損1萬元；生產(chǎn)1件乙產(chǎn)品，若是正品則可盈利6萬元，若是次品則虧損2萬元．設(shè)生產(chǎn)各件產(chǎn)品相互獨(dú)立． (1)記X(單位：萬元)為生產(chǎn)1件甲產(chǎn)品和1件乙產(chǎn)品可獲得的總利潤，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)求生產(chǎn)4件甲產(chǎn)品所獲得的利潤不少于10萬元的概率． 解：(1)由題設(shè)知，X的可能取值為10,5,2，－3，且 P

9、(X＝10)＝0.8×0.9＝0.72，P(X＝5)＝0.2×0.9＝0.18， P(X＝2)＝0.8×0.1＝0.08，P(X＝－3)＝0.2×0.1＝0.02， 所以X的分布列為 X －3 2 5 10 P 0.02 0.08 0.18 0.72 ∴E(X)＝－3×0.02＋2×0.08＋5×0.18＋10×0.72＝8.2. (2)設(shè)生產(chǎn)的4件甲產(chǎn)品中正品有n件，則次品有4－n件． 由題意知4n－(4－n)≥10，解得n≥. 又n∈N*，得n＝3或n＝4， 所以P＝C·0.83·0.2＋C·0.84＝0.819 2， 故所求概率為0.819 2.

10、 8．(xx·棗莊模擬)在某社區(qū)舉辦的《xx年迎新春知識(shí)有獎(jiǎng)問答比賽》中，甲、乙、丙三人同時(shí)回答一道有關(guān)過年知識(shí)的問題，已知甲回答對這道題的概率是，甲、丙二人都回答錯(cuò)的概率是，乙、丙二人都回答對的概率是. (1)求乙、丙二人各自回答對這道題的概率； (2)設(shè)乙、丙二人中回答對該題的人數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望． 解：(1)設(shè)甲、乙、丙回答對這道題分別為事件A，B，C， 則P(A)＝，且有 即 解得P(B)＝，P(C)＝. (2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2. P(X＝2)＝； P(X＝0)＝P()P()＝×＝； P(X＝1)＝1－P(X＝0)－P(X＝2)＝.

11、 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 9．某班從6名學(xué)生干部(其中男生4人，女生2人)中選3人參加學(xué)校的義務(wù)勞動(dòng)． (1)設(shè)所選3人中女生人數(shù)為ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被選中的概率； (3)在男生甲被選中的情況下，求女生乙也被選中的概率． 解：(1)依題意得ξ的所有可能取值為0,1,2，則 P(ξ＝0)＝＝；P(ξ＝1)＝＝； P(ξ＝2)＝＝. 所以ξ的分布列為 ξ 0 1 2 P (2)設(shè)“甲、乙都不被選中”為事件C，則P(C)＝＝＝，所以所求概率為P()＝

12、1－P(C)＝1－＝. (3)記“男生甲被選中”為事件A，“女生乙被選中”為事件B，P(A)＝＝＝，P(BA)＝＝. 所以P(B|A)＝＝. . 10．某企業(yè)計(jì)劃投資A，B兩個(gè)項(xiàng)目，根據(jù)市場分析，A，B兩個(gè)項(xiàng)目的利潤率分別為隨機(jī)變量X1和X2，X1和X2的分布列分別為 Y1 5% 10% P 0.8 0.2 Y2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)若在A，B兩個(gè)項(xiàng)目上各投資1 000萬元，Y1和Y2分別表示投資項(xiàng)目A和B所獲得的利潤，求利潤的期望E(Y1)，E(Y2)和方差D(Y1)，D(Y2)； (2)由于資金限制，企業(yè)只能

13、將x(0≤x≤1 000)萬元投資A項(xiàng)目，1 000－x萬元投資B項(xiàng)目，f(x)表示投資A項(xiàng)目所得利潤的方差與投資B項(xiàng)目所得利潤的方差的和．求f(x)的最小值，并指出x為何值時(shí)，f(x)取到最小值． 解：(1)由題設(shè)可知Y1和Y2的分布列分別為 Y1 50 100 P 0.8 0.2 Y2 20 80 120 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)＝50×0.8＋100×0.2＝60， D(Y1)＝(50－60)2×0.8＋(100－60)2×0.2＝400， E(Y2)＝20×0.2＋80×0.5＋120×0.3＝80， D(Y2)＝(20－80

14、)2×0.2＋(80－80)2×0.5＋(120－80)2×0.3＝1 200. (2)f(x)＝D＋D ＝[x2D(Y1)＋(1 000－x2)D(Y2)] ＝[x2＋3(1 000－x)2] ＝(4x2－6 000x＋3×106)． 當(dāng)x＝＝750時(shí)，f(x)＝300為最小值． 11．某校為了解高二年級(jí)學(xué)生A，B兩個(gè)學(xué)科學(xué)習(xí)成績的合格情況是否有關(guān)，隨機(jī)抽取了該年級(jí)一次期末考試A，B兩個(gè)學(xué)科的合格人數(shù)與不合格人數(shù)，得到以下2×2列聯(lián)表： A學(xué)科合格人數(shù) A學(xué)科不合格人數(shù) 總計(jì) B學(xué)科合格人數(shù) 40 20 60 B學(xué)科不合格人數(shù) 20 30 50 總計(jì)

15、 60 50 110 (1)據(jù)此表格資料，你認(rèn)為有多大把握認(rèn)為“A學(xué)科合格”與“B學(xué)科合格”有關(guān)； (2)從“A學(xué)科合格”的學(xué)生中任意抽取2人，記被抽取的2名學(xué)生中“B學(xué)科合格”的人數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望． 附：K2＝. P(K2≥k) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 解：(1)K2＝≈7.822＞6.635，所以有90%的把握認(rèn)為“A學(xué)科合格”與“B學(xué)科合格”有關(guān)． (2)由題意知X的所有可能取值為0,1,2， P(X＝0)＝＝，P

16、(X＝1)＝＝， P(X＝2)＝＝. 所以X的分布列為 X 0 1 2 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝. 12．某地統(tǒng)計(jì)部門對城鄉(xiāng)居民進(jìn)行了主題為“你幸福嗎？”的幸福指數(shù)問卷調(diào)查，共收到1萬份答卷．其統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表(表中人數(shù)保留1位小數(shù))： 表1 幸福指數(shù)評分值 人數(shù)(單位：千) [50,60] 0.9 (60,70] 1.8 (70,80] 3.3 (80,90] 2.8 (90,100] 1.2 表2 月均收入(元) 所占比例 1 000以下 0.5 [1 000,2 000) 0.3 [2 000,3

17、 000) 0.1 3 000以上 0.1 (1)根據(jù)表1畫出頻率分布直方圖； (2)對幸福指數(shù)評分值在[50,60]分的人群月平均收入的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表2，根據(jù)表2按月均收入分層抽樣，從幸福指數(shù)評分值在[50,60]分的人群中隨機(jī)抽取10人，再從這10人中隨機(jī)抽取6人參加“幸福愿景”座談會(huì)．記6人中月均收入在[1 000,3 000)元的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求隨機(jī)變量X的分布列與期望． 解：(1)頻率分布直方圖如圖所示． (2)按分層抽樣，月均收入在1 000元到3 000元的應(yīng)抽取4人，故隨機(jī)變量X可能取值為0,1,2,3,4. P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝， P(X＝4)＝＝＝. 所以隨機(jī)變量X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P ∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝＝.