2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 拋物線及其性質(zhì)練習(xí) 文

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1、2022高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 9.5 拋物線及其性質(zhì)練習(xí) 文 考點(diǎn) 內(nèi)容解讀 要求 高考示例 常考題型 預(yù)測(cè)熱度 1.拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1.了解拋物線的定義,并會(huì)用定義進(jìn)行解題 2.掌握求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的基本步驟(定型、定位、定量)和基本方法(定義法和待定系數(shù)法) Ⅲ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,12; 2017山東,15; 2016四川,3; 2014課標(biāo)Ⅰ,10; 2013江西,9 選擇題、 填空題、 解答題 ★★☆ 2.拋物線的幾何性質(zhì) 1.知道拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)(范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、離心率) 2.能用其性質(zhì)解決有關(guān)的拋

2、物線問(wèn)題,了解拋物線的一些實(shí)際應(yīng)用 Ⅱ 2017天津,12; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5; 2015四川,10 選擇題、 填空題、 解答題 ★★☆ 3.直線與拋物線的位置關(guān)系 1.會(huì)用代數(shù)法和數(shù)形結(jié)合法判斷直線與拋物線的位置關(guān)系 2.根據(jù)所學(xué)知識(shí)熟練解決直線與拋物線位置關(guān)系的綜合問(wèn)題 Ⅲ 2017課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,20; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,20; 2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,20 選擇題、 填空題、 解答題 ★★★ 分析解讀 從近幾年的高考試題來(lái)看,拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何性質(zhì)以及直線與拋物線的位置關(guān)系等一直是高考命題的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題,又有解答題

3、;客觀題突出“小而巧”的特點(diǎn),主要考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程,主觀題考查得較為全面,除考查定義、性質(zhì)之外,還考查直線與拋物線的位置關(guān)系,考查基本運(yùn)算能力、邏輯思維能力和綜合分析問(wèn)題的能力,著力于數(shù)學(xué)思想方法及數(shù)學(xué)語(yǔ)言的考查. 五年高考 考點(diǎn)一　拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(2016四川,3,5分)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(　　) A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0) 答案　D　 2.(2014課標(biāo)Ⅰ,10,5分)已知拋物線C:y2=x的焦點(diǎn)為F,A(x0,y0)是C上一點(diǎn),|AF|=x0,則x0=(　　) A.1 B.2 C.4 D.8 答案

4、　A　 3.(2013江西,9,5分)已知點(diǎn)A(2,0),拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則|FM|∶|MN|=(　　) A.2∶ B.1∶2 C.1∶ D.1∶3 答案　C　 4.(2017山東,15,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,雙曲線-=1(a>0,b>0)的右支與焦點(diǎn)為F的拋物線x2=2py(p>0)交于A,B兩點(diǎn).若|AF|+|BF|=4|OF|,則該雙曲線的漸近線方程為　　　　　　. 答案　y=±x 5.(2014福建,21,12分)已知曲線Γ上的點(diǎn)到點(diǎn)F(0,1)的距離比它到直線y=-3的距離小2. (1)求曲線Γ

5、的方程; (2)曲線Γ在點(diǎn)P處的切線l與x軸交于點(diǎn)A,直線y=3分別與直線l及y軸交于點(diǎn)M,N.以MN為直徑作圓C,過(guò)點(diǎn)A作圓C的切線,切點(diǎn)為B.試探究:當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化?證明你的結(jié)論. 解析　(1)解法一:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn), 依題意,得點(diǎn)S到F(0,1)的距離與它到直線y=-1的距離相等, 所以曲線Γ是以點(diǎn)F(0,1)為焦點(diǎn)、直線y=-1為準(zhǔn)線的拋物線,所以曲線Γ的方程為x2=4y. 解法二:設(shè)S(x,y)為曲線Γ上任意一點(diǎn), 則|y-(-3)|-=2, 依題意,知點(diǎn)S(x,y)只能在直線y=-3的上方,所以

6、y>-3, 所以=y+1, 化簡(jiǎn)得,曲線Γ的方程為x2=4y. (2)當(dāng)點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變.證明如下: 由(1)知拋物線Γ的方程為y=x2, 設(shè)P(x0,y0)(x0≠0),則y0=, 由y'=x,得切線l的斜率k=y'=x0, 所以切線l的方程為y-y0=x0(x-x0),即y=x0x-. 由得A. 由得M. 又N(0,3),所以圓心C, 半徑r=|MN|=, |AB|===. 所以點(diǎn)P在曲線Γ上運(yùn)動(dòng)(點(diǎn)P與原點(diǎn)不重合)時(shí),線段AB的長(zhǎng)度不變. 教師用書(shū)專(zhuān)用(6—7) 6.(2013四川,5,5分)拋物線y2=8

7、x的焦點(diǎn)到直線x-y=0的距離是(　　) A.2 B.2 C. D.1 答案　D　 7.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,8,5分)O為坐標(biāo)原點(diǎn),F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),P為C上一點(diǎn),若|PF|=4,則△POF的面積為(　　) A.2 B.2 C.2 D.4 答案　C　 考點(diǎn)二　拋物線的幾何性質(zhì) 1.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,5,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn),曲線y=(k>0)與C交于點(diǎn)P,PF⊥x軸,則k=(　　) A. B.1 C. D.2 答案　D　 2.(2015陜西,3,5分)已知拋物線y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,1),則該拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(　

8、　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(0,-1) D.(0,1) 答案　B　 3.(2014安徽,3,5分)拋物線y=x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A.y=-1 B.y=-2 C.x=-1 D.x=-2 答案　A　 4.(2014遼寧,8,5分)已知點(diǎn)A(-2,3)在拋物線C:y2=2px的準(zhǔn)線上,記C的焦點(diǎn)為F,則直線AF的斜率為(　　) A.- B.-1 C.- D.- 答案　C　 5.(2017天津,12,5分)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l.已知點(diǎn)C在l上,以C為圓心的圓與y軸的正半軸相切于點(diǎn)A.若∠FAC=120°,則圓的方程為　　　　　　　　. 答案

9、　(x+1)2+(y-)2=1 6.(2013福建,20,12分)如圖,拋物線E:y2=4x的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線l與x軸的交點(diǎn)為A.點(diǎn)C在拋物線E上,以C為圓心,|CO|為半徑作圓,設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點(diǎn)M,N. (1)若點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,求|MN|; (2)若|AF|2=|AM|·|AN|,求圓C的半徑. 解析　(1)拋物線y2=4x的準(zhǔn)線l的方程為x=-1. 由點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為2,得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,2), 所以點(diǎn)C到準(zhǔn)線l的距離d=2,又|CO|=, 所以|MN|=2=2=2. (2)設(shè)C,則圓C的方程為+(y-y0)2=+,即x2-x+y2-2y0y=0. 由x=

10、-1,得y2-2y0y+1+=0, 設(shè)M(-1,y1),N(-1,y2),則 由|AF|2=|AM|·|AN|,得|y1y2|=4, 所以+1=4,解得y0=±,此時(shí)Δ>0. 所以圓心C的坐標(biāo)為或, 從而|CO|2=,|CO|=,即圓C的半徑為. 教師用書(shū)專(zhuān)用(7—9) 7.(2013課標(biāo)全國(guó)Ⅱ,10,5分)設(shè)拋物線C:y2=4x的焦點(diǎn)為F,直線l過(guò)F且與C交于A,B兩點(diǎn).若|AF|=3|BF|,則l的方程為(　　) A.y=x-1或y=-x+1 B.y=(x-1)或y=-(x-1) C.y=(x-1)或y=-(x-1) D.y=(x-1)或y=-(x-1) 答案　

11、C　 8.(2014上海,4,4分)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)與橢圓+=1的右焦點(diǎn)重合,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為　　　　. 答案　x=-2 9.(2013北京,9,5分)若拋物線y2=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),則p=　　　　;準(zhǔn)線方程為　　　　　　. 答案　2;x=-1 考點(diǎn)三　直線與拋物線的位置關(guān)系 1.(2014課標(biāo)Ⅱ,10,5分)設(shè)F為拋物線C:y2=3x的焦點(diǎn),過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A,B兩點(diǎn),則|AB|=(　　) A. B.6 C.12 D.7 答案　C　 2.(2014湖南,14,5分)平面上一機(jī)器人在行進(jìn)中始終保持與點(diǎn)F(1,0)的距離和到直線x=-

12、1的距離相等.若機(jī)器人接觸不到過(guò)點(diǎn)P(-1,0)且斜率為k的直線,則k的取值范圍是　　　　　　　. 答案　(-∞,-1)∪(1,+∞) 3.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅰ,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求; (2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說(shuō)明理由. 解析　(1)由已知得M(0,t),P.(1分) 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=. 因此H.(4分)

13、 所以N為OH的中點(diǎn),即=2.(6分) (2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其他公共點(diǎn).(7分) 理由如下: 直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).(9分) 代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外直線MH與C沒(méi)有其他公共點(diǎn).(12分) 4.(2016課標(biāo)全國(guó)Ⅲ,20,12分)已知拋物線C:y2=2x的焦點(diǎn)為F,平行于x軸的兩條直線l1,l2分別交C于A,B兩點(diǎn),交C的準(zhǔn)線于P,Q兩點(diǎn). (1)若F在線段AB上,R是PQ的中點(diǎn),證明AR∥FQ; (2)若△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍,求AB中點(diǎn)的軌跡方程

14、. 解析　由題設(shè)知F.設(shè)l1:y=a,l2:y=b,易知ab≠0, 且A,B,P,Q,R. 記過(guò)A,B兩點(diǎn)的直線為l,則l的方程為2x-(a+b)y+ab=0.(3分) (1)由于F在線段AB上,故1+ab=0. 記AR的斜率為k1,FQ的斜率為k2,則 k1=====-b=k2. 所以AR∥FQ.(5分) (2)設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0),則S△ABF=|b-a||FD|=|b-a|,S△PQF=. 由題設(shè)可得2×|b-a|=,所以x1=0(舍去)或x1=1. 設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x,y). 當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí),由kAB=kDE可得=(x≠1). 而=

15、y,所以y2=x-1(x≠1). 當(dāng)AB與x軸垂直時(shí),E與D重合. 所以,所求軌跡方程為y2=x-1.(12分) 5.(2015浙江,19,15分)如圖,已知拋物線C1:y=x2,圓C2:x2+(y-1)2=1,過(guò)點(diǎn)P(t,0)(t>0)作不過(guò)原點(diǎn)O的直線PA,PB分別與拋物線C1和圓C2相切,A,B為切點(diǎn). (1)求點(diǎn)A,B的坐標(biāo); (2)求△PAB的面積. 注:直線與拋物線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),且與拋物線的對(duì)稱軸不平行,則稱該直線與拋物線相切,稱該公共點(diǎn)為切點(diǎn). 解析　(1)由題意知直線PA的斜率存在,故可設(shè)直線PA的方程為y=k(x-t), 由消去y,整理得x2-4kx

16、+4kt=0, 由于直線PA與拋物線相切,得k=t. 因此,點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2t,t2). 設(shè)圓C2的圓心為D(0,1),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x0,y0),由題意知:點(diǎn)B,O關(guān)于直線PD對(duì)稱,故 解得 因此,點(diǎn)B的坐標(biāo)為. (2)由(1)知|AP|=t·, 和直線PA的方程tx-y-t2=0. 點(diǎn)B到直線PA的距離是d=, 設(shè)△PAB的面積為S(t),所以S(t)=|AP|·d=. 教師用書(shū)專(zhuān)用(6—9) 6.(2015四川,10,5分)設(shè)直線l與拋物線y2=4x相交于A,B兩點(diǎn),與圓(x-5)2+y2=r2(r>0)相切于點(diǎn)M,且M為線段AB的中點(diǎn).若這樣的直線l恰有4條,

17、則r的取值范圍是(　　) A.(1,3) B.(1,4) C.(2,3) D.(2,4) 答案　D　 7.(2014湖北,22,14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,點(diǎn)M到點(diǎn)F(1,0)的距離比它到y(tǒng)軸的距離多1.記點(diǎn)M的軌跡為C. (1)求軌跡C的方程; (2)設(shè)斜率為k的直線l過(guò)定點(diǎn)P(-2,1).求直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn)、兩個(gè)公共點(diǎn)、三個(gè)公共點(diǎn)時(shí)k的相應(yīng)取值范圍. 解析　(1)設(shè)點(diǎn)M(x,y),依題意得|MF|=|x|+1,即=|x|+1, 化簡(jiǎn)整理得y2=2(|x|+x). 故點(diǎn)M的軌跡C的方程為y2= (2)在點(diǎn)M的軌跡C中,記C1:y2=4x,C2:y=0(x

18、<0), 依題意,可設(shè)直線l的方程為y-1=k(x+2). 由方程組可得ky2-4y+4(2k+1)=0.① (i)當(dāng)k=0時(shí),y=1.把y=1代入軌跡C的方程,得x=. 故此時(shí)直線l:y=1與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). (ii)當(dāng)k≠0時(shí),方程①的判別式為Δ=-16(2k2+k-1).② 設(shè)直線l與x軸的交點(diǎn)為(x0,0),則 由y-1=k(x+2),令y=0,得x0=-.③ 若由②③解得k<-1或k>, 即當(dāng)k∈(-∞,-1)∪時(shí),直線l與C1沒(méi)有公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn), 故此時(shí)直線l與軌跡C恰好有一個(gè)公共點(diǎn). 若或由②③解得k∈或-≤k<0, 即當(dāng)k∈時(shí),直線l

19、與C1只有一個(gè)公共點(diǎn),與C2有一個(gè)公共點(diǎn). 當(dāng)k∈時(shí),直線l與C1有兩個(gè)公共點(diǎn),與C2沒(méi)有公共點(diǎn). 故當(dāng)k∈∪時(shí),直線l與軌跡C恰好有兩個(gè)公共點(diǎn). 若由②③解得-1

20、點(diǎn),=3. (1)若||=3,求點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)求△ABP面積的最大值. 解析　(1)由題意知焦點(diǎn)F(0,1),準(zhǔn)線方程為y=-1. 設(shè)P(x0,y0),由拋物線定義知|PF|=y0+1,得到y(tǒng)0=2, 所以P(2,2)或P(-2,2). 由=3,得M或M. (2)設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),P(x0,y0). 由得x2-4kx-4m=0, 于是Δ=16k2+16m>0,x1+x2=4k,x1x2=-4m, 所以AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2k,2k2+m). 由=3,得(-x0,1-y0)=3(2k,2k2+m-1), 所以由

21、=4y0得k2=-m+. 由Δ>0,k2≥0,得-f, 所以當(dāng)m=時(shí), f(m)取到最大值,此時(shí)k=±. 所以△ABP面積的最大值為. 9.(2013遼寧,20,12分)如圖,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過(guò)M作C1的切線,切點(diǎn)為

22、A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)x0=1-時(shí),切線MA的斜率為-. (1)求p的值; (2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O). 解析　(1)因?yàn)閽佄锞€C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y'=,且切線MA的斜率為-,所以A點(diǎn)坐標(biāo)為,故切線MA的方程為y=-(x+1)+. 因?yàn)辄c(diǎn)M(1-,y0)在切線MA及拋物線C2上, 所以y0=-(2-)+=-,① y0=-=-,② 由①②得p=2.(6分) (2)設(shè)N(x,y),A,B,x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn)知x=,③ y=.④ 切線MA的方程為y=(x-x1

23、)+,⑤ 切線MB的方程為y=(x-x2)+.⑥ 由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為x0=, y0=. 因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,即=-4y0, 所以x1x2=-.⑦ 由③④⑦得x2=y,x≠0. 當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=y.因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y.(12分) 三年模擬 A組　2016—2018年模擬·基礎(chǔ)題組 考點(diǎn)一　拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程 1.(2018河南頂級(jí)名校12月聯(lián)考,7)已知直線l過(guò)拋物線y2=-2px(p>0)的焦點(diǎn),且與拋物線交于A、B兩點(diǎn),若線段AB的長(zhǎng)是8,AB的中點(diǎn)到y(tǒng)軸的

24、距離是2,則此拋物線的方程是(　　) A.y2=-12x B.y2=-8x C.y2=-6x D.y2=-4x 答案　B　 2.(2018湖北荊州中學(xué)11月月考,9)已知拋物線y2=2px(p>0),點(diǎn)C(-4,0),過(guò)拋物線的焦點(diǎn)作垂直于x軸的直線,與拋物線交于A,B兩點(diǎn),若△CAB的面積為24,則以直線AB為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.y2=4x B.y2=-4x C.y2=8x D.y2=-8x 答案　D　 3.(2016廣東惠州第一次調(diào)研,11)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A(x1,y1)、B(x2,y2)兩點(diǎn),如果x1+x2=6,那么|AB|=

25、(　　) A.6 B.8 C.9 D.10 答案　B　 4.(2018四川成都七中12月模擬,13)拋物線y2=ax(a>0)上的點(diǎn)P到焦點(diǎn)F的距離為2,則a=　　　. 答案　2 5.(2017四川巴蜀聯(lián)考,14)若拋物線y2=2px(p>0)上的點(diǎn)A(x0,)到其焦點(diǎn)的距離是點(diǎn)A到y(tǒng)軸距離的3倍,則p=　　　　. 答案　2 考點(diǎn)二　拋物線的幾何性質(zhì) 6.(2017廣東中山一調(diào),5)已知拋物線x2=2py(p>0)的準(zhǔn)線與橢圓+=1相切,則p的值為(　　) A.4 B.3 C.2 D.1 答案　A　 7.(2018河北唐山五校聯(lián)考,15)過(guò)拋物線y2=2px(p>0)

26、的焦點(diǎn)F作直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=2|BF|=6,則p=　　　. 答案　4 8.(2017山西五校聯(lián)考,13)拋物線x2=-10y的焦點(diǎn)在直線2mx+my+1=0上,則m=　　　　. 答案　 9.(2016江西九校聯(lián)考,15)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,其準(zhǔn)線與雙曲線y2-x2=1相交于A,B兩點(diǎn),若△ABF為等邊三角形,則p=　　　　. 答案　2 考點(diǎn)三　直線與拋物線的位置關(guān)系 10.(2018山西長(zhǎng)治二中等五校12月聯(lián)考,15)已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,過(guò)點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線交C于A,B兩點(diǎn),AM⊥l,BN⊥

27、l,M,N為垂足,點(diǎn)Q為MN的中點(diǎn),|QF|=2,則p=　　　.? 答案　 11.(2017河南安陽(yáng)調(diào)研考試,14)已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)F作一條直線交拋物線于A,B兩點(diǎn),若|AF|=3,則|BF|=　　　　. 答案　 12.(2017安徽黃山二模,14)已知拋物線C:y2=8x,焦點(diǎn)為F,點(diǎn)P(0,4),點(diǎn)A在拋物線上,當(dāng)點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離之和最小時(shí),延長(zhǎng)AF交拋物線于點(diǎn)B,則△AOB的面積為　　　　. 答案　4 13.(2016河北武邑中學(xué)3月模擬,14)已知直線l:y=kx+t與圓:x2+(y+1)2=1相切,且與拋物線C:x2=4y交于不

28、同的兩點(diǎn)M,N,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是　　　　　　　. 答案　t>0或t<-3 B組　2016—2018年模擬·提升題組 (滿分:50分　時(shí)間:45分鐘) 一、選擇題(每小題5分,共35分) 1.(2018湖北重點(diǎn)中學(xué)12月聯(lián)考,7)設(shè)拋物線C:y=x2的焦點(diǎn)為F,直線l交拋物線C于A、B兩點(diǎn),|AF|=3,線段AB的中點(diǎn)到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為4,則|BF|=(　　) A. B.5 C.4 D.3 答案　B　 2.(2018河北衡水中學(xué)9月大聯(lián)考,11)拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對(duì)稱軸;反之,平行于拋物線對(duì)稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后

29、必過(guò)拋物線的焦點(diǎn).已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,一平行于x軸的光線從點(diǎn)M(3,1)射出,經(jīng)過(guò)拋物線上的點(diǎn)A反射后,再經(jīng)拋物線上的另一點(diǎn)B射出,則直線AB的斜率為(　　) A. B.- C.± D.- 答案　B　 3.(2018河南中原名校12月聯(lián)考,11)已知雙曲線C1:-=1(a>0,b>0)的離心率為3,若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2,則拋物線C2的方程為(　　) A.x2=y B.x2=4y C.x2=12y D.x2=24y 答案　D　 4.(2017廣東汕頭一模,8)過(guò)拋物線C:x2=2y的焦點(diǎn)F的直線l交拋物線C于A、B兩

30、點(diǎn),若拋物線C在點(diǎn)B處的切線斜率為1,則|AF|=(　　) A.1 B.2 C.3 D.4 答案　A　 5.(2017河南百校聯(lián)盟聯(lián)考,8)已知拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)A到焦點(diǎn)F的距離與其到對(duì)稱軸的距離之比為5∶4,且|AF|>2,則A點(diǎn)到原點(diǎn)的距離為(　　) A.3 B.4 C.4 D.4 答案　B　 6.(2017江西新余、宜春聯(lián)考,11)拋物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線為l,A,B是拋物線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且滿足∠AFB=,設(shè)線段AB的中點(diǎn)M在l上的投影為N,則的最大值是(　　) A. B. C. D. 答案　C　 7.(2016安徽六校第一次聯(lián)考,11)過(guò)拋

31、物線y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于B、C兩點(diǎn),l與拋物線的準(zhǔn)線交于點(diǎn)A,且|AF|=6,=2,則|BC|=(　　) A.8 B. C.6 D. 答案　D　 二、解答題(共15分) 8.(2018廣東惠州調(diào)研,20)已知圓x2+y2=12與拋物線x2=2py(p>0)相交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為2,F為拋物線的焦點(diǎn). (1)求拋物線的方程; (2)若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線l與拋物線和圓交于四個(gè)不同的點(diǎn),從左至右依次為P1,P2,P3,P4,求|P1P2|-|P3P4|的值. 解析　(1)設(shè)B(2,y0),由題意得 解之得所以拋物線的方程為x2=4y. (

32、2)設(shè)點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),P3(x3,y3),P4(x4,y4),由題意知P1,P3在圓上,P2,P4在拋物線上.因?yàn)橹本€l過(guò)點(diǎn)F且斜率為1,所以直線l的方程為y=x+1. 聯(lián)立得2x2+2x-11=0,所以x1+x3=-1,x1x3=-, 所以|P1P3|==×=. 由得x2-4x-4=0,所以x2+x4=4,x2x4=-4. 所以|P2P4|==×=8. 由題意易知|P1P2|=|P1P3|-|P2P3|①, |P3P4|=|P2P4|-|P2P3|②, ①-②得|P1P2|-|P3P4|=|P1P3|-|P2P4|, ∴|P1P2|-|P3P4|=-

33、8. C組　2016—2018年模擬·方法題組 方法1　求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的方法 1.(2018湖南益陽(yáng)、湘潭9月聯(lián)考,16)已知圓C1:x2+(y-2)2=4,拋物線C2:y2=2px(p>0),C1與C2相交于A,B兩點(diǎn),且|AB|=,則拋物線C2的方程為　　　　. 答案　y2=x 方法2　利用拋物線的定義解決有關(guān)問(wèn)題的方法 2.(2018江西南昌七校聯(lián)考,10)已知拋物線x2=2y的焦點(diǎn)為F,其上有兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2)滿足|AF|-|BF|=2,則y1+-y2-=(　　) A.4 B.6 C.8 D.10 答案　B　 3.(2016廣東汕頭金山中學(xué)期末,

34、11)已知P是拋物線y2=4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),Q是圓(x-3)2+(y-1)2=1上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),N(1,0)是一個(gè)定點(diǎn),則|PQ|+|PN|的最小值為(　　) A.3 B.4 C.5 D.+1 答案　A　 4.(2017河南天一大聯(lián)考(三),14)已知拋物線C:y2=2px(p>0)上在第四象限內(nèi)的點(diǎn)M(2,y0)到焦點(diǎn)F的距離為|y0|,則點(diǎn)M到直線x-y-1=0的距離為　　　　. 答案　 方法3　與直線和拋物線位置關(guān)系有關(guān)問(wèn)題的求解方法 5.(2017湖南岳陽(yáng)二模,7)若直線y=2x+與拋物線x2=2py(p>0)相交于A,B兩點(diǎn),則|AB|等于(　　) A.5p B.10p C.11p D.12p 答案　B　 6.(2016福建廈門(mén)雙十、南安一中、廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)聯(lián)考,16)設(shè)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,A,B兩點(diǎn)在拋物線上,且A,B,F三點(diǎn)共線,過(guò)AB的中點(diǎn)M作y軸的垂線與拋物線在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P,若|PF|=,則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為　　　　. 答案　2