2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-1 一、命題及其關(guān)系 1．命題 能判斷真假的陳述句叫命題，感嘆句、疑問句、祈使句、含有未知數(shù)的不等式、方程等語句都不是命題． 2．四種命題 原命題與它的逆命題、否命題之間的真假是不確定的，而原命題與它的逆否命題(或它的逆命題與它的否命題)之間在真假上是始終保持一致的，即同真同假． 正是因為原命題與逆否命題的真假一致，所以對某些命題的證明可轉(zhuǎn)化為證明其逆否命題． 二、充分條件、必要條件與充要條件 關(guān)于充分條件、必要條件與充要條件的判定，實際上是對命題真假的判定：

2、 若“p?q”，且“p ?/ q”，則p是q的“充分不必要條件”，同時q是p的“必要不充分條件”； 若“p?q”，則p是q的“充要條件”，同時q是p的“充要條件”； 若“p ?/ q”，則p是q的“既不充分也不必要條件”，同時q是p的“既不充分也不必要條件”． 三、邏輯聯(lián)結(jié)詞 1．“且”“或”“非”這些詞叫邏輯聯(lián)結(jié)詞，不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題叫簡單命題，由簡單命題與邏輯聯(lián)結(jié)詞構(gòu)成的命題有“p∨q”“p∧q”“綈p”三種形式． 2．含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題的真假判斷：“p∨q”中有真為真，“p∧q”有假為假，綈p與p真假相反． 3．注意命題的否定與否命題的區(qū)別．否命題既否定條件又否定結(jié)論；

3、而命題的否定只否定結(jié)論． 四、全稱命題和存在性命題 1．全稱命題“?x∈M，p(x)”強調(diào)命題的一般性，因此， (1)要證明它是真命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)成立； (2)要判斷它是假命題，只要在集合M中找到一個元素x，使p(x)不成立即可． 2．存在性命題“?x∈M，p(x)”強調(diào)結(jié)論的存在性，因此， (1)要證明它是真命題，只需在集合M中找到一個元素x，使p(x)成立即可． (2)要判斷它是假命題，需對集合M中每一個元素x，證明p(x)不成立． 五、含有一個量詞的命題的否定 1．全稱命題的否定一定是存在性命題． p：?x∈M，p(x)成立； 綈p：?x

4、∈M，綈p(x)成立． 2．存在性命題的否定一定是全稱命題． p：?x∈M，p(x)成立； 綈p：?x∈M，綈p(x)成立． 3．含有一個量詞的命題的否定首先要改變量詞，把全稱量詞改為存在量詞；把存在量詞改為全稱量詞，然后再把判斷詞加以否定． 　 (時間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分．將答案填在題中的橫線上) 1．命題：“若ab＝0，則a＝0或b＝0”的逆否命題是____________________________． 答案：若a≠0且b≠0，則ab≠0 2．命題“?x∈R，x2－2x＋1≥0”的否定是___________

5、________________________． 解析：原命題是全稱命題，其否定是存在性命題． 答案：?x∈R，x2－2x＋1<0 3．設(shè)a∈R，則“a＝1”是“直線l1：ax＋2y－1＝0與直線l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的________條件． 解析：l1與l2平行的充要條件是a(a＋1)＝2×1，且a×4≠1×(－1)，可解得a＝1或a＝－2，故a＝1是l1∥l2的充分不必要條件． 答案：充分不必要 4．已知命題p：所有有理數(shù)都是實數(shù)，命題q：正數(shù)的對數(shù)都是負數(shù)．則下列命題中為真命題的是________(填所有真命題的序號)． ①(綈p)∨q；②p∧q；③p∨q；

6、④(綈p)∨(綈q)． 解析：命題p真，命題q假，因此綈p假，綈q真，①是假命題，②假命題，③真命題，④真命題． 答案：③④ 5．下列命題：①“全等三角形的面積相等”的逆命題；②“正三角形的三個角均為60°”的否命題；③“若k<0，則方程x2＋(2k＋1)x＋k＝0必有兩相異實數(shù)根”的逆否命題．其中真命題的個數(shù)是________個． 解析：顯然①假，②真，對于③，當k<0時，Δ＝(2k＋1)2－4k＝4k2＋1>0，故③為真． 答案：2 6．(上海高考改編)錢大姐常說“便宜沒好貨”，她這句話的意思是：“不便宜”是“好貨”的________條件． 解析：便宜?沒好貨，等價于其逆否命

7、題，好貨?不便宜，∴“不便宜”是“好貨”的必要不充分條件． 答案：必要不充分 7．(湖南高考改編)“1

8、是真命題． 答案：4 9．(遼寧高考改編)下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個命題： p1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列； p2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列； p3：數(shù)列是遞增數(shù)列； p4：數(shù)列{an＋3nd}是遞增數(shù)列． 其中的真命題為________． 解析：設(shè)an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p1為真命題；若an＝3n－12，則滿足已知，但nan＝3n2－12n并非遞增數(shù)列，所以p2為假命題；若an＝n＋1，則滿足已知，但＝1＋是遞減數(shù)列，所以p3為假命題；由于an＋3nd＝4dn＋a1－d，它是遞增數(shù)列，所以p4為真命題． 答案：p1，p4

9、 10．命題p：任意兩個等邊三角形都是相似的． ①它的否定是________________________________________________________； ②否命題是__________________________________________________________． 答案：①存在兩個等邊三角形不相似 ②如果兩個三角形不都是等邊三角形，那么它們不相似 11．已知命題p：不等式|x－1|>m的解集是R，命題q：f(x)＝在區(qū)間(0，＋∞)上是減函數(shù)，若命題“p或q”為真，命題“p且q”為假，則實數(shù)m的取值范圍是________． 解析：命題p：m<

10、0，命題q：m<2. ∵p與q一真一假， ∴或解得0≤m<2. 答案：[0,2) 12．下列結(jié)論中正確命題的個數(shù)是________． ①命題p：“?x∈R，x2－2≥0”的否定形式為綈p：“?x∈R，x2－2<0”； ②若綈p是q的必要條件，則p是綈q的充分條件； ③“M >N”是“()M>()N”的充分不必要條件． 解析：對于①，易知是正確的；對于②，由綈p是q的必要條件知：q?綈p則p?綈q，即p是綈q的充分條件，正確；對于③，由M>N不能得知()M>()N，因此③是錯誤的．綜上所述，其中正確的命題個數(shù)是2. 答案：2 13．從“充分不必要條件”“必要不充分條件”“充要

11、條件”“既不充分也不必要條件”中，選出適當?shù)囊环N填空： (1)記集合A＝{－1，p,2}，B＝{2,3}，則“p＝3”是“A∩B＝B”的_____________； (2)“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的________________． 解析：(1)當p＝3時，A＝{－1,2,3}，此時A∩B＝B；若A∩B＝B，則必有p＝3.因此“p＝3”是“A∩B＝B”的充要條件． (2)當a＝1時，f(x)＝|2x－a|＝|2x－1|在上是增函數(shù)；但由f(x)＝|2x－a|在區(qū)間上是增函數(shù)不能得到a＝1，如當a＝0時，函數(shù)f(x)＝|2x－a|＝|2x|在區(qū)間上是增函

12、數(shù)．因此“a＝1”是“函數(shù)f(x)＝|2x－a|在區(qū)間上為增函數(shù)”的充分不必要條件． 答案：(1)充要條件　(2)充分不必要條件 14．已知命題p：“?x∈[0,1]，a≥ex”，命題q：“?x∈R，x2＋4x＋a＝0”，若上述兩個命題都是真命題，則實數(shù)a的取值范圍為________． 解析：由?x∈[0,1]，a≥ex，得a≥e；由?x∈R，x2＋4x＋a＝0，得Δ＝42－4a≥0，解得a≤4，從而a的取值范圍為[e,4]． 答案：[e,4] 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)寫出下列命題的否定，并判斷

13、其真假： (1)p：末位數(shù)字為9的整數(shù)能被3整除； (2)p：有的素數(shù)是偶數(shù)； (3)p：至少有一個實數(shù)x，使x2＋1＝0； (4)p：?x，y∈R，x2＋y2＋2x－4y＋5＝0. 解：(1)綈p：存在一個末位數(shù)字為9的整數(shù)不能被3整除．綈p為真命題． (2)綈p：所有的素數(shù)都不是偶數(shù)．因為2是素數(shù)也是偶數(shù)，故綈p為假命題． (3)綈p：對任意的實數(shù)x，都有x2＋1≠0.綈p為真命題． (4)綈p：?x0，y0∈R，x＋y＋2x0－4y0＋5≠0. 綈p為真命題． 16．(本小題滿分14分)把下列各命題作為原命題，分別寫出它們的逆命題、否命題和逆否命題． (1)若α＝β

14、，則sin α＝sin β； (2)若對角線相等，則梯形為等腰梯形； (3)已知a，b，c，d都是實數(shù)，若a＝b，c＝d，則a＋c＝b＋d. 解：(1)逆命題：若sin α＝sin β，則α＝β； 否命題：若α≠β，則sin α≠sin β； 逆否命題：若sin α≠sin β，則α≠β. (2)逆命題：若梯形為等腰梯形，則它的對角線相等；否命題：若梯形的對角線不相等，則梯形不是等腰梯形； 逆否命題：若梯形不是等腰梯形，則它的對角線不相等． (3)逆命題：已知a，b，c，d都是實數(shù)，若a＋c＝b＋d，則a＝b，c＝d； 否定題：已知a，b，c，d都是實數(shù)，若a≠b或c≠d，則

15、a＋c≠b＋d； 逆否命題：已知a，b，c，d都是實數(shù)，若a＋c≠b＋d，則a≠b或c≠d. 17．(本小題滿分14分)已知p：2x2－9x＋a＜0，q：且綈p是綈q的充分條件，求實數(shù)a的取值范圍． 解：由 得即2＜x＜3. ∴q：2＜x＜3. 設(shè)A＝{x|2x2－9x＋a＜0}，B＝{x|2＜x＜3}， ∵綈p?綈q，∴q?p.∴B?A. 即2＜x＜3滿足2x2－9x＋a＜0. 設(shè)f(x)＝2x2－9x＋a， 要使2＜x＜3滿足不等式2x2－9x＋a＜0， 需有即 ∴a≤9. ∴實數(shù)a的取值范圍是{a|a≤9}． 18．(本小題滿分16分)設(shè)有兩個命題：p：關(guān)于x

16、的不等式x2＋2x－4－a≥0對一切x∈R恒成立；q：已知a≠0，a≠±1，函數(shù)y＝－|a|x在R上是減函數(shù)，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍． 解：∵不等式x2＋2x－4－a≥0對x∈R恒成立， ∴x2＋2x－4≥a對x∈R恒成立， 令y＝x2＋2x－4， ∴ymin＝－5，∴a≤－5， ∴命題p即為p：a≤－5， 函數(shù)y＝－|a|x(a≠0，a≠±1)在R上是減函數(shù)， ∴|a|>1，∴a>1或a<－1， ∵p∧q為假，p∨q為真， ∴p，q一真一假， ∴或 ∴－51. 即實數(shù)的取值范圍是(－5，－1)∪(1，＋∞)． 19．(本

17、小題滿分16分)已知p：≤2；q：x2－2x＋1≤m2(m>0)．若綈p是綈q的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍． 解：法一：由x2－2x＋1≤m2(m>0)， 得1－m≤x≤1＋m. ∴綈q：A＝{x|x<1－m或x>1＋m，m>0}． 由≤2，得－2≤x≤10. ∴綈p：B＝{x|x<－2或x>10}． ∵綈p是綈q的必要不充分條件，且m>0， ∴AB. ∴ 解得m≥9. 注意到當m≥9時，③中等號成立，而②中等號不成立．∴實數(shù)m的取值范圍是. 法二：∵綈p是綈q的必要不充分條件 ∴q是p的必要不充分條件 ∴p是q的充分不必要條件 ∴CD， 又∵p：C＝

18、{x|－2≤x≤10}， q：D＝{x|1－m≤x≤1＋m，m>0}， ∴　解得m≥9. 故實數(shù)m的取值范圍是. 20．(本小題滿分16分)已知命題p：不等式(m－1)x2＋(m－1)x＋2>0的解集是R，命題q：sin x＋cos x>m.如果對于任意的x∈R，命題p是真命題且命題q為假命題，求m的范圍． 解：對于命題p： (1)當m－1＝0時，原不等式化為2>0恒成立，滿足題意． (2)當m－1≠0時，只需 得1m是假命題，則m≥.綜上，m的取值范圍是[，9)．