（江蘇專用版 ）2018-2019學年高中數(shù)學 4.4.4 平擺線與圓的漸開線學案 蘇教版選修4-4

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1、 4.4.4　平擺線與圓的漸開線 1．了解平擺線、圓的漸開線的生成過程，能導出它們的參數(shù)方程． 2．在欣賞曲線美的同時，體會參數(shù)方程在曲線研究中的地位． 3．體會“參數(shù)”思想在處理較為復雜問題時的優(yōu)越性． [基礎·初探] 1．平擺線 (1)如圖4-4-7所示，假設A為圓心，圓周上的定點為P，開始時位于O處，圓(半徑為r)在直線上滾動時，點P繞圓心做圓周運動，轉過θ(弧度)角后，圓與直線相切于B，線段OB的長等于的長，即OB＝rθ.這就是圓周上的定點P在圓A沿直線滾動過程中滿足的幾何條件．我們把點P的軌跡叫做平擺線，簡稱擺線，又叫旋輪線． 圖4-4-7 (2)以

2、定直線為x軸，點O為原點建立直角坐標系，則定點P(x，y)的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 2．圓的漸開線 有一條鋼絲緊箍在一個半徑為r的圓盤上，在鋼絲的外端系上一支鉛筆，逐漸撒開鋼絲，并使撒開的部分成為圓盤的切線，我們把筆尖畫出的曲線叫做圓的漸開線，相應的定圓叫做漸開線的基圓． [思考·探究] 1．用參數(shù)法求曲線的軌跡方程的步驟是什么？ 【提示】　用參數(shù)法求曲線的軌跡方程，其步驟主要有三步：選參、用參、消參．其中關鍵是選參，若題目沒有明確要求化為普通方程(或需判斷曲線的形狀和位置)，則可以用曲線的參數(shù)方程作為答案． 2．圓的漸開線的參數(shù)方程中的參數(shù)的幾何意義是什么？ 【提示】　根據(jù)漸

3、開線的定義和求解參數(shù)方程的過程，可知其中的字母r是指基圓的半徑，而參數(shù)φ是指繩子外端運動時，半徑OB相對于Ox轉過的角度，如圖，其中的∠AOB即是角φ.顯然點P由參數(shù)φ惟一確定．在我們解決有關問題時可以適當利用其幾何意義，把點的坐標轉化為與三角函數(shù)有關的問題，使求解過程更加簡單． [質(zhì)疑·手記] 預習完成后，請將你的疑問記錄，并與“小伙伴們”探討交流： 疑問1：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________

4、疑問2：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 疑問3：_____________________________________________________ 解惑：_____________________________________________________ 擺線 　已知一個圓的擺線過一定點(1,0)，請寫出該擺線的參數(shù)方程． 【自主解答】　根據(jù)圓的擺線的參數(shù)方程的表達式(

5、φ為參數(shù))可知，只需求出其中的r，也就是說，擺線的參數(shù)方程由圓的半徑惟一來確定，因此只需把點(1,0)代入?yún)?shù)方程求出r值再代入?yún)?shù)方程的表達式． 令r(1－cos φ)＝0可得cos φ＝1， 所以φ＝2kπ(k∈Z)代入可得x＝r(2kπ－sin 2kπ)＝1. 所以r＝. 又根據(jù)實際情況可知r是圓的半徑，故r>0. 所以，應有k>0且k∈Z， 即k∈N＋. 所以，所求擺線的參數(shù)方程是 (其中φ為參數(shù)，k∈N＋)． [再練一題] 1．已知一個圓的平擺線過一定點(2,0)，請寫出該圓的半徑最大時該平擺線的參數(shù)方程． 【解】　令y＝0，可得r(1－cos φ)＝0，由于r

6、＞0， 即得cos φ＝1，所以φ＝2kπ(k∈Z)． 代入x＝r(φ－sin φ)，得x＝r(2kπ－sin 2kπ)． 又因為x＝2，所以r(2kπ－sin 2kπ)＝2， 即得r＝(k∈N＋)． 易知，當k＝1時，r取最大值為. 代入即可得圓的平擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù)). 圓的漸開線 　已知圓的漸開線的參數(shù)方程 (φ為參數(shù)) 求出該漸開線的基圓的方程，當參數(shù)φ取時，求對應曲線上點的坐標． 【思路探究】　由圓的漸開線的參數(shù)方程形式可得r＝3，把φ＝代入即得對應的坐標． 【自主解答】　∵，∴半徑為3. 此漸開線的基圓方程為x2＋y2＝9. 把φ＝代入?yún)?/p>

7、數(shù)方程得 即 ∴曲線上點的坐標為(，3)． 圓的漸開線參數(shù)方程 其中φ為參數(shù)． [再練一題] 2．已知圓的直徑為2，其漸開線的標準參數(shù)方程對應的曲線上兩點A、B對應的參數(shù)分別是和，求A、B兩點的距離． 【導學號：98990038】 【解】　根據(jù)條件可知圓的半徑是1， 所以對應的漸開線參數(shù)方程是(φ為參數(shù))，分別把φ＝和φ＝代入， 可得A、B兩點的坐標分別為A(，)，B(，1)． 那么，根據(jù)兩點之間的距離公式可得A、B兩點的距離為 AB＝ ＝. 即A、B兩點之間的距離為 . 1．若某圓的漸開線方程是(φ為參數(shù))，則此圓的方程是_______，對應φ

8、＝0的點的坐標是________，對應φ＝的點是________． 【解析】　圓的方程為x2＋y2＝1，φ＝0的點的坐標是(1,0)，對應φ＝的點的坐標是(，1)． 【答案】　x2＋y2＝1　(1,0)　(，1) 2．擺線(0≤θ≤2π)與直線y＝1交點的直角坐標為________． 【導學號：98990039】 【解析】　當y＝1時，有2(1－cos θ)＝1， ∴cos θ＝，又∵0≤θ≤2π，∴θ＝或， 當θ＝時，x＝－；當θ＝時，x＝＋. 【答案】　(－，1)，(＋，1) 3．如圖4-4-8，ABCD是邊長為1的正方形，曲線AEFGH…叫做“正方形的漸開線”，其中弧A

9、E、EF、FG、GH的圓心依次按B、C、D、A循環(huán)，它們依次相連接，則曲線AEFGH長是________． 圖4-4-8 【解析】?。?π ， 相加得5π. 【答案】　5π 4．已知一個圓的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))．那么圓的平擺線方程中與參數(shù)φ＝對應的點A與點B之間的距離為________． 【解析】　根據(jù)圓的參數(shù)方程可知，圓的半徑為3，那么它的平擺線的參數(shù)方程為 (φ為參數(shù))， 把φ＝代入?yún)?shù)方程中可得 即A(3(－1)，3)， ∴AB＝＝. 【答案】　 我還有這些不足： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的課下提升方案： (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 5