2022高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.2 直線的方程（第3課時(shí)）直線的一般式方程講義（含解析）新人教A版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.2 直線的方程（第3課時(shí)）直線的一般式方程講義（含解析）新人教A版必修2 1．預(yù)習(xí)教材，問(wèn)題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P97～P99，回答下列問(wèn)題： (1)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？為什么？ 提示：都可以，原因如下： (1)直線和y軸相交于點(diǎn)(0，b)時(shí)：此時(shí)傾斜角α≠，直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程． (2)直線和y軸平行(包含重合)時(shí)：此時(shí)傾斜角α＝，直線的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝

2、0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時(shí)方程中y的系數(shù)為0. (2)每一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)都能表示一條直線嗎？為什么？ 提示：能表示一條直線，原因如下：當(dāng)B≠0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0可變形為y＝－x－，它表示過(guò)點(diǎn)，斜率為－的直線． 當(dāng)B＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0變成Ax＋C＝0. 即x＝－，它表示與y軸平行或重合的一條直線． (3)在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)中，A，B，C為何值時(shí)，方程表示的直線①平行于x軸；②平行于y軸；③與x軸重合；④與y軸重合． 提示：當(dāng)A＝0，B≠0時(shí)，方程變?yōu)閥＝－，當(dāng)C≠0時(shí)表

3、示的直線平行于x軸，當(dāng)C＝0時(shí)與x軸重合；當(dāng)A≠0，B＝0時(shí)，方程變?yōu)閤＝－，當(dāng)C≠0時(shí)表示的直線平行于y軸，當(dāng)C＝0時(shí)與y軸重合． 2．歸納總結(jié)，核心必記 直線的一般式方程 (1)定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫做直線的一般式方程，簡(jiǎn)稱一般式． (2)適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示． (3)系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時(shí)，則－＝k(斜率)，－＝b(y軸上的截距)； 當(dāng)B＝0，A≠0時(shí)，則－＝a(x軸上的截距)，此時(shí)不存在斜率． [問(wèn)題思考] 　當(dāng)A＝0，或B＝0，或C＝0時(shí)，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的

4、直線？ 提示：(1)若A＝0，則y＝－，表示與y軸垂直的一條直線． (2)若B＝0，則x＝－，表示與x軸垂直的一條直線． (3)若C＝0，則Ax＋By＝0，表示過(guò)原點(diǎn)的一條直線． [課前反思] 通過(guò)以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個(gè)知識(shí)點(diǎn)． (1)直線方程的一般式的形式是什么？ ??； (2)直線方程的一般式的適用范圍是什么？ ??； (3)直線方程的一般式中各系數(shù)的幾何意義是什么？ 　. 　 觀察下列直線方程 直線l1：y－2＝3(x－1)；直線l2：y＝3x＋2； 直線l3：＝；直線l4：＋＝1. [思考1]　上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C

5、＝0的形式嗎？ 提示：能． [思考2]　二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直線嗎？ 提示：能． [思考3]　怎樣認(rèn)識(shí)直線方程的一般式？ 名師指津：解讀直線方程的一般式： (1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程． (2)方程中等號(hào)的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列． (3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)． (4)雖然直線方程的一般式有三個(gè)參數(shù)，但只需兩個(gè)獨(dú)立的條件即可求得直線的方程． [思考4]　二元一次方程與直線的關(guān)系是什么？ 名師指津：二元一次方程與直線的關(guān)系： (1)二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，這個(gè)方程的全體解組成的集合，

6、就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點(diǎn)的集合，這些點(diǎn)的集合就組成了一條直線． (2)二元一次方程與平面直角坐標(biāo)系中的直線是一一對(duì)應(yīng)的，因此直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線． 講一講 1．根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．(鏈接教材P98－例5) (1)斜率是－，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(8，－2)； (2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(4,2)，平行于x軸； (3)在x軸和y軸上的截距分別是、－3； (4)經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(3，－2)，P2(5，－4)． [嘗試解答]　選擇合適的直線方程形式． (1)由點(diǎn)斜式得y－(－2)＝－(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即

7、y－2＝0. (3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由兩點(diǎn)式得＝， 即x＋y－1＝0. 求直線一般式方程的策略 (1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，則方程化為x＋y＋＝0，只需確定，的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程． (2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡(jiǎn)單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式． 練一練 1．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程． (1)斜率是且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5,3)； (2)經(jīng)過(guò)A(－1,5)，B(2，－1)兩點(diǎn)； (3)在x，

8、y軸上的截距分別是－3，－1. 解：(1)由點(diǎn)斜式方程得y－3＝(x－5)， 整理得x－y＋3－5＝0. (2)由兩點(diǎn)式方程得＝， 整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1， 整理得x＋3y＋3＝0. 　 講一講 2．已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過(guò)第一象限； (2)為使直線不經(jīng)過(guò)第二象限，求a的取值范圍． [思路點(diǎn)撥]　(1)當(dāng)直線恒過(guò)第一象限內(nèi)的一定點(diǎn)時(shí)，必然可得該直線總經(jīng)過(guò)第一象限；(2)直線不過(guò)第二象限，即斜率大于0且與y軸的截距不大于0. [嘗試解答]　(1)法一：將直線l的方程整理為y－＝a，

9、 ∴直線l的斜率為a，且過(guò)定點(diǎn)A， 而點(diǎn)A在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過(guò)第一象限． 法二：直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式對(duì)任意的a總成立， 必有即 即l過(guò)定點(diǎn)A.以下同法一． (2)直線OA的斜率為k＝＝3. 如圖所示，要使l不經(jīng)過(guò)第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a的取值范圍為[3，＋∞)． 含有一個(gè)參數(shù)的直線方程，一般是過(guò)定點(diǎn)的，這里對(duì)一般式靈活變形后發(fā)現(xiàn)問(wèn)題是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，在變形后特點(diǎn)還不明顯的情況，可采用法二的解法． 練一練 2．已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0為直線l的方程，求證：不論k取何實(shí)數(shù)，直

10、線l必過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)． 解：整理直線l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.無(wú)論k取何值，該式恒成立， 所以 解得 所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M(1，－1)． 　 講一講 3．(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)當(dāng)a為何值時(shí)，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [思路點(diǎn)撥]　由平行或垂直可得到兩直線斜率的關(guān)系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情況． [嘗試解答]　(1)法一：①若m＋1＝0，即m＝－1時(shí)，直線l1：x＋2

11、＝0與直線l2：x－3y＋2＝0顯然不平行． ②若m＋1≠0，即m≠－1時(shí)，直線l1，l2的斜率分別為k1＝－，k2＝－，若l1∥l2時(shí)，k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3，經(jīng)驗(yàn)證，m＝2或－3符合條件，所以m的值為2或－3. 法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 當(dāng)m＝－3時(shí)，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 顯然l1與l2不重合， ∴l(xiāng)1∥l2. 同理當(dāng)m＝2時(shí)，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2，∴m的值為2或－3. (2)法一：由題意，直線l1⊥l2， ①若1－a＝0，即a＝1時(shí)，直

12、線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0，顯然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－時(shí)，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－， 當(dāng)l1⊥l2時(shí)，k1·k2＝－1，即·＝－1， 所以a＝－1. 綜上可知，當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2. 法二：由直線l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 將a＝±1代入方程，均滿足題意． 故當(dāng)a＝1或a＝－1時(shí)，直線l1⊥l2. (1)利用一般式解決直線平行與垂直問(wèn)題的

13、策略 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0， ①若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． ②若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. (2)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法 ①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，(m≠C)． ②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0. 練一練 3．已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求直線l′的一般式方程，l′滿足： (1)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l平行； (2)過(guò)點(diǎn)(－1,3)，且與l垂直．

14、 解：法一：由題設(shè)l的方程可化為y＝－x＋3， ∴l(xiāng)的斜率為－. (1)由l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－. 又∵l′過(guò)(－1,3)，由點(diǎn)斜式知方程為y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. (2)由l′與l垂直，∴l(xiāng)′的斜率為， 又過(guò)(－1,3)，由點(diǎn)斜式可得方程為y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 法二：(1)由l′與l平行，可設(shè)l′方程為3x＋4y＋m＝0. 將點(diǎn)(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直線方程為3x＋4y－9＝0. (2)由l′與l垂直，可設(shè)其方程為4x－3y＋n＝0. 將(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直線方程為4x－3y

15、＋13＝0. ——————————[課堂歸納·感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點(diǎn)是了解二元一次方程與直線的對(duì)應(yīng)關(guān)系，掌握直線方程的一般式，能根據(jù)所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化．難點(diǎn)是能根據(jù)所給條件求直線方程并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化． 2．本節(jié)課要重點(diǎn)掌握的規(guī)律方法 (1)求直線一般式方程的策略，見(jiàn)講1. (2)求參數(shù)的值或范圍的方法，見(jiàn)講2. (3)由一般式解決平行與垂直問(wèn)題的策略及與已知直線平行或垂直的直線方程的求法，見(jiàn)講3 3．本節(jié)課的易錯(cuò)點(diǎn)是利用一般式求解平行或垂直問(wèn)題中求參數(shù)的值或范圍中易忽視討論，如講3. 課下能力提升

16、(十九) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　直線的一般式方程 1．直線x－y＋1＝0的傾斜角為(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：選A　由直線的一般式方程，得它的斜率為，從而傾斜角為30°. 2．斜率為2，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,3)的直線的一般式方程為_(kāi)_______． 解析：由直線點(diǎn)斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式為2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應(yīng)滿足的條件為_(kāi)_______． 解析：由二元一次方程表示直線的條件知A、B至少有一個(gè)不為零即A2＋B2≠0.

17、 答案：A2＋B2≠0 4．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－4，則直線l的點(diǎn)斜式方程為_(kāi)_______；截距式方程為_(kāi)_______；斜截式方程為_(kāi)_______；一般式方程為_(kāi)_______． 解析：點(diǎn)斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0. 答案：y＋4＝(x－0)?。?　y＝x－4　x－y－4＝0 題組2　由含參一般式求參數(shù)的值或取值范圍 5．(2016· 臨沂高一檢測(cè))已知過(guò)點(diǎn)A(－5，m－2)和B(－2m，3)的直線與直線x＋3y－1＝0平行，則m的值為(　　) A．4 B．－

18、4 C．10 D．－10 解析：選A　∵kAB＝，直線x＋3y－1＝0的斜率為k＝－，∴由題意得＝－，解得m＝4. 6．直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實(shí)數(shù)m的值為(　　) A. B．－6 C．－ D．6 解析：選B　令y＝0，則直線在x軸上的截距是x＝，∴＝3，∴m＝－6. 7．直線(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒過(guò)的定點(diǎn)坐標(biāo)是________． 解析：原方程可化為m(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0. ∵對(duì)任意m∈R，方程恒成立，∴ 解得∴直線恒過(guò)定點(diǎn)(2,3)． 答案：(

19、2,3) 8．已知直線l1的斜率為k1＝，直線l2經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求實(shí)數(shù)a的值． 解：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1，或a＝3，∴a＝1，或a＝3時(shí)，l1⊥l2. 題組3　一般式形式下的平行與垂直問(wèn)題的策略 9．若直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，則實(shí)數(shù)a＝________. 解析：因?yàn)閮芍本€垂直，所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3. 答案：1或－3 10．求與直線3x＋4y＋1＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上

20、的截距之和為的直線l的方程． 解：法一：由題意，設(shè)直線l的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠1)， 令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－， 所以－＋＝， 解得m＝－4. 所以直線l的方程為3x＋4y－4＝0. 法二：由題意，直線l不過(guò)原點(diǎn)，則在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0.可設(shè)l的方程為＋＝1(a≠0，b≠0)，則有解得 所以直線l的方程為3x＋4y－4＝0. [能力提升綜合練] 1．如果ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件(　　) A．bc＝0 B．a(chǎn)≠0 C．bc＝0且a≠0 D．a(chǎn)≠0且b＝c＝0 解析：選D　y軸方程表示為

21、x＝0，所以a，b，c滿足條件為a≠0且b＝c＝0. 2．兩直線mx＋y－n＝0與x＋my＋1＝0互相平行的條件是(　　) A．m＝1 B．m＝±1 C. D.或 解析：選D　根據(jù)兩直線平行可得＝，所以m＝±1，又兩直線不可重合，所以m＝1時(shí)，n≠－1; m＝－1時(shí)，n≠1. 3．設(shè)A，B是x軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　) A．2y－x－4＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0 解析：選C　由x－y＋1＝0得A(－1，0)，又P的橫坐標(biāo)為2，且

22、|PA|＝|PB|，∴P為線段AB中垂線上的點(diǎn)，且B(5,0)．PB的傾斜角與PA的傾斜角互補(bǔ)，則斜率互為相反數(shù)，故PB的斜率kPB＝－1，則方程為y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則實(shí)數(shù)m滿足________． 解析：當(dāng)2m2＋m－3＝0時(shí)，m＝1或m＝－；當(dāng)m2－m＝0時(shí)，m＝0或m＝1.要使方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則2m2＋m－3，m2－m不能同時(shí)為0，∴m≠1. 答案：m≠1 5．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x

23、－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為_(kāi)_______． 解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率為，在y軸上截距為4.根據(jù)題意，直線l的斜率為，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x－3y＋24＝0. 答案：x－3y＋24＝0 6．設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別求m的值． (1)在x軸上的截距為1； (2)斜率為1； (3)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)P(－1，－1)． 解：(1)∵直線過(guò)點(diǎn)P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6. 解得m＝3或m＝1. 又∵m＝3時(shí)，直線l的方程為y＝0，不符合題意， ∴m＝1. (2

24、)由斜率為1，得解得m＝. (3)直線過(guò)定點(diǎn)P(－1，－1)，則－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝，或m＝－2. 7．一河流同側(cè)有兩個(gè)村莊A、B，兩村莊計(jì)劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A、B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問(wèn)：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最??？ 解：如圖，以河流所在直線為x軸，y軸通過(guò)點(diǎn)A，建立直角坐標(biāo)系， 則點(diǎn)A(0,300)，B(x,700)，設(shè)B點(diǎn)在y軸上的射影為H，則x＝|BH|＝＝300，故點(diǎn)B(300,700)，設(shè)點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′(0，－300)，則直線A′B的斜率k＝，直線A′B的方程為y＝x－300. 令y＝0得x＝90，得點(diǎn)P(90,0)， 故水電站建在河邊P(90,0)處電線用料最?。?