2022高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.2 直線的方程（第3課時）直線的一般式方程講義（含解析）新人教A版必修2

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1、2022高中數(shù)學(xué) 第三章 直線與方程 3.2 直線的方程（第3課時）直線的一般式方程講義（含解析）新人教A版必修2 1．預(yù)習(xí)教材，問題導(dǎo)入 根據(jù)以下提綱，預(yù)習(xí)教材P97～P99，回答下列問題： (1)平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？為什么？ 提示：都可以，原因如下： (1)直線和y軸相交于點(0，b)時：此時傾斜角α≠，直線的斜率k存在．直線可表示成y＝kx＋b，可轉(zhuǎn)化為kx＋(－1)y＋b＝0，這是關(guān)于x，y的二元一次方程． (2)直線和y軸平行(包含重合)時：此時傾斜角α＝，直線的斜率k不存在，不能用y＝kx＋b表示，而只能表示成x－a＝

2、0，它可以認(rèn)為是關(guān)于x，y的二元一次方程，此時方程中y的系數(shù)為0. (2)每一個關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)都能表示一條直線嗎？為什么？ 提示：能表示一條直線，原因如下：當(dāng)B≠0時，方程Ax＋By＋C＝0可變形為y＝－x－，它表示過點，斜率為－的直線． 當(dāng)B＝0時，方程Ax＋By＋C＝0變成Ax＋C＝0. 即x＝－，它表示與y軸平行或重合的一條直線． (3)在方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時為零)中，A，B，C為何值時，方程表示的直線①平行于x軸；②平行于y軸；③與x軸重合；④與y軸重合． 提示：當(dāng)A＝0，B≠0時，方程變?yōu)閥＝－，當(dāng)C≠0時表

3、示的直線平行于x軸，當(dāng)C＝0時與x軸重合；當(dāng)A≠0，B＝0時，方程變?yōu)閤＝－，當(dāng)C≠0時表示的直線平行于y軸，當(dāng)C＝0時與y軸重合． 2．歸納總結(jié)，核心必記 直線的一般式方程 (1)定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式． (2)適用范圍：平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一般式表示． (3)系數(shù)的幾何意義：當(dāng)B≠0時，則－＝k(斜率)，－＝b(y軸上的截距)； 當(dāng)B＝0，A≠0時，則－＝a(x軸上的截距)，此時不存在斜率． [問題思考] 　當(dāng)A＝0，或B＝0，或C＝0時，方程Ax＋By＋C＝0分別表示什么樣的

4、直線？ 提示：(1)若A＝0，則y＝－，表示與y軸垂直的一條直線． (2)若B＝0，則x＝－，表示與x軸垂直的一條直線． (3)若C＝0，則Ax＋By＝0，表示過原點的一條直線． [課前反思] 通過以上預(yù)習(xí)，必須掌握的幾個知識點． (1)直線方程的一般式的形式是什么？ ?。? (2)直線方程的一般式的適用范圍是什么？ ??； (3)直線方程的一般式中各系數(shù)的幾何意義是什么？ 　. 　 觀察下列直線方程 直線l1：y－2＝3(x－1)；直線l2：y＝3x＋2； 直線l3：＝；直線l4：＋＝1. [思考1]　上述形式的直線方程能化成二元一次方程Ax＋By＋C

5、＝0的形式嗎？ 提示：能． [思考2]　二元一次方程Ax＋By＋C＝0都能表示直線嗎？ 提示：能． [思考3]　怎樣認(rèn)識直線方程的一般式？ 名師指津：解讀直線方程的一般式： (1)方程是關(guān)于x，y的二元一次方程． (2)方程中等號的左側(cè)自左向右一般按x，y，常數(shù)的先后順序排列． (3)x的系數(shù)一般不為分?jǐn)?shù)和負(fù)數(shù)． (4)雖然直線方程的一般式有三個參數(shù)，但只需兩個獨立的條件即可求得直線的方程． [思考4]　二元一次方程與直線的關(guān)系是什么？ 名師指津：二元一次方程與直線的關(guān)系： (1)二元一次方程的每一組解都可以看成平面直角坐標(biāo)系中一個點的坐標(biāo)，這個方程的全體解組成的集合，

6、就是坐標(biāo)滿足二元一次方程的全體點的集合，這些點的集合就組成了一條直線． (2)二元一次方程與平面直角坐標(biāo)系中的直線是一一對應(yīng)的，因此直線的一般式方程可以表示坐標(biāo)平面內(nèi)的任意一條直線． 講一講 1．根據(jù)下列各條件寫出直線的方程，并且化成一般式．(鏈接教材P98－例5) (1)斜率是－，經(jīng)過點A(8，－2)； (2)經(jīng)過點B(4,2)，平行于x軸； (3)在x軸和y軸上的截距分別是、－3； (4)經(jīng)過兩點P1(3，－2)，P2(5，－4)． [嘗試解答]　選擇合適的直線方程形式． (1)由點斜式得y－(－2)＝－(x－8)， 即x＋2y－4＝0. (2)由斜截式得y＝2，即

7、y－2＝0. (3)由截距式得＋＝1，即2x－y－3＝0. (4)由兩點式得＝， 即x＋y－1＝0. 求直線一般式方程的策略 (1)當(dāng)A≠0時，方程可化為x＋y＋＝0，只需求，的值；若B≠0，則方程化為x＋y＋＝0，只需確定，的值．因此，只要給出兩個條件，就可以求出直線方程． (2)在求直線方程時，設(shè)一般式方程有時并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式． 練一練 1．根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程． (1)斜率是且經(jīng)過點A(5,3)； (2)經(jīng)過A(－1,5)，B(2，－1)兩點； (3)在x，

8、y軸上的截距分別是－3，－1. 解：(1)由點斜式方程得y－3＝(x－5)， 整理得x－y＋3－5＝0. (2)由兩點式方程得＝， 整理得2x＋y－3＝0. (3)由截距式方程得＋＝1， 整理得x＋3y＋3＝0. 　 講一講 2．已知直線l：5ax－5y－a＋3＝0. (1)求證：不論a為何值，直線l總經(jīng)過第一象限； (2)為使直線不經(jīng)過第二象限，求a的取值范圍． [思路點撥]　(1)當(dāng)直線恒過第一象限內(nèi)的一定點時，必然可得該直線總經(jīng)過第一象限；(2)直線不過第二象限，即斜率大于0且與y軸的截距不大于0. [嘗試解答]　(1)法一：將直線l的方程整理為y－＝a，

9、 ∴直線l的斜率為a，且過定點A， 而點A在第一象限內(nèi)，故不論a為何值，l恒過第一象限． 法二：直線l的方程可化為(5x－1)a－(5y－3)＝0. ∵上式對任意的a總成立， 必有即 即l過定點A.以下同法一． (2)直線OA的斜率為k＝＝3. 如圖所示，要使l不經(jīng)過第二象限，需斜率a≥kOA＝3， ∴a的取值范圍為[3，＋∞)． 含有一個參數(shù)的直線方程，一般是過定點的，這里對一般式靈活變形后發(fā)現(xiàn)問題是解決問題的關(guān)鍵，在變形后特點還不明顯的情況，可采用法二的解法． 練一練 2．已知(k＋1)x－(k－1)y－2k＝0為直線l的方程，求證：不論k取何實數(shù)，直

10、線l必過定點，并求出這個定點的坐標(biāo)． 解：整理直線l的方程得(x＋y)＋k(x－y－2)＝0.無論k取何值，該式恒成立， 所以 解得 所以直線l經(jīng)過定點M(1，－1)． 　 講一講 3．(1)已知直線l1：2x＋(m＋1)y＋4＝0與直線l2：mx＋3y－2＝0平行，求m的值； (2)當(dāng)a為何值時，直線l1：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0與直線l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？ [思路點撥]　由平行或垂直可得到兩直線斜率的關(guān)系式，然后可列方程求解，注意斜率不存在的情況． [嘗試解答]　(1)法一：①若m＋1＝0，即m＝－1時，直線l1：x＋2

11、＝0與直線l2：x－3y＋2＝0顯然不平行． ②若m＋1≠0，即m≠－1時，直線l1，l2的斜率分別為k1＝－，k2＝－，若l1∥l2時，k1＝k2，即－＝－，解得m＝2或m＝－3，經(jīng)驗證，m＝2或－3符合條件，所以m的值為2或－3. 法二：令2×3＝m(m＋1)，解得m＝－3或m＝2. 當(dāng)m＝－3時，l1：x－y＋2＝0，l2：3x－3y＋2＝0， 顯然l1與l2不重合， ∴l(xiāng)1∥l2. 同理當(dāng)m＝2時，l1：2x＋3y＋4＝0，l2：2x＋3y－2＝0，l1與l2不重合，∴l(xiāng)1∥l2，∴m的值為2或－3. (2)法一：由題意，直線l1⊥l2， ①若1－a＝0，即a＝1時，直

12、線l1：3x－1＝0與直線l2：5y＋2＝0，顯然垂直． ②若2a＋3＝0，即a＝－時，直線l1：x＋5y－2＝0與直線l2：5x－4＝0不垂直． ③若1－a≠0，且2a＋3≠0，則直線l1，l2的斜率k1，k2都存在，k1＝－，k2＝－， 當(dāng)l1⊥l2時，k1·k2＝－1，即·＝－1， 所以a＝－1. 綜上可知，當(dāng)a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2. 法二：由直線l1⊥l2，所以(a＋2)(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0， 解得a＝±1. 將a＝±1代入方程，均滿足題意． 故當(dāng)a＝1或a＝－1時，直線l1⊥l2. (1)利用一般式解決直線平行與垂直問題的

13、策略 直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直線l2：A2x＋B2y＋C2＝0， ①若l1∥l2?A1B2－A2B1＝0且B1C2－B2C1≠0(或A1C2－A2C1≠0)． ②若l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. (2)與已知直線平行(垂直)的直線方程的求法 ①與直線Ax＋By＋C＝0平行的直線方程可設(shè)為Ax＋By＋m＝0，(m≠C)． ②與直線Ax＋By＋C＝0垂直的直線方程可設(shè)為Bx－Ay＋m＝0. 練一練 3．已知直線l的方程為3x＋4y－12＝0，求直線l′的一般式方程，l′滿足： (1)過點(－1,3)，且與l平行； (2)過點(－1,3)，且與l垂直．

14、 解：法一：由題設(shè)l的方程可化為y＝－x＋3， ∴l(xiāng)的斜率為－. (1)由l′與l平行，∴l(xiāng)′的斜率為－. 又∵l′過(－1,3)，由點斜式知方程為y－3＝－(x＋1)，即3x＋4y－9＝0. (2)由l′與l垂直，∴l(xiāng)′的斜率為， 又過(－1,3)，由點斜式可得方程為y－3＝(x＋1)， 即4x－3y＋13＝0. 法二：(1)由l′與l平行，可設(shè)l′方程為3x＋4y＋m＝0. 將點(－1,3)代入上式得m＝－9. ∴所求直線方程為3x＋4y－9＝0. (2)由l′與l垂直，可設(shè)其方程為4x－3y＋n＝0. 將(－1,3)代入上式得n＝13. ∴所求直線方程為4x－3y

15、＋13＝0. ——————————[課堂歸納·感悟提升]————————————— 1．本節(jié)課的重點是了解二元一次方程與直線的對應(yīng)關(guān)系，掌握直線方程的一般式，能根據(jù)所給條件求直線方程，并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化．難點是能根據(jù)所給條件求直線方程并能在幾種形式間相互轉(zhuǎn)化． 2．本節(jié)課要重點掌握的規(guī)律方法 (1)求直線一般式方程的策略，見講1. (2)求參數(shù)的值或范圍的方法，見講2. (3)由一般式解決平行與垂直問題的策略及與已知直線平行或垂直的直線方程的求法，見講3 3．本節(jié)課的易錯點是利用一般式求解平行或垂直問題中求參數(shù)的值或范圍中易忽視討論，如講3. 課下能力提升

16、(十九) [學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)練] 題組1　直線的一般式方程 1．直線x－y＋1＝0的傾斜角為(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 解析：選A　由直線的一般式方程，得它的斜率為，從而傾斜角為30°. 2．斜率為2，且經(jīng)過點A(1,3)的直線的一般式方程為________． 解析：由直線點斜式方程可得y－3＝2(x－1)，化成一般式為2x－y＋1＝0. 答案：2x－y＋1＝0 3．若方程Ax＋By＋C＝0表示直線，則A、B應(yīng)滿足的條件為________． 解析：由二元一次方程表示直線的條件知A、B至少有一個不為零即A2＋B2≠0.

17、 答案：A2＋B2≠0 4．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－4，則直線l的點斜式方程為________；截距式方程為________；斜截式方程為________；一般式方程為________． 解析：點斜式方程： y＋4＝(x－0)，截距式方程：＋＝1，斜截式方程： y＝x－4，一般式方程：x－y－4＝0. 答案：y＋4＝(x－0)?。?　y＝x－4　x－y－4＝0 題組2　由含參一般式求參數(shù)的值或取值范圍 5．(2016· 臨沂高一檢測)已知過點A(－5，m－2)和B(－2m，3)的直線與直線x＋3y－1＝0平行，則m的值為(　　) A．4 B．－

18、4 C．10 D．－10 解析：選A　∵kAB＝，直線x＋3y－1＝0的斜率為k＝－，∴由題意得＝－，解得m＝4. 6．直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實數(shù)m的值為(　　) A. B．－6 C．－ D．6 解析：選B　令y＝0，則直線在x軸上的截距是x＝，∴＝3，∴m＝－6. 7．直線(2m－1)x－(m＋3)y－(m－11)＝0恒過的定點坐標(biāo)是________． 解析：原方程可化為m(2x－y－1)－(x＋3y－11)＝0. ∵對任意m∈R，方程恒成立，∴ 解得∴直線恒過定點(2,3)． 答案：(

19、2,3) 8．已知直線l1的斜率為k1＝，直線l2經(jīng)過點A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，求實數(shù)a的值． 解：∵l1⊥l2，∴k1·k2＝－1， 即×＝－1， 解得a＝1，或a＝3，∴a＝1，或a＝3時，l1⊥l2. 題組3　一般式形式下的平行與垂直問題的策略 9．若直線l1：ax＋(1－a)y＝3與l2：(a－1)x＋(2a＋3)y＝2互相垂直，則實數(shù)a＝________. 解析：因為兩直線垂直，所以a(a－1)＋(1－a)(2a＋3)＝0，即a2＋2a－3＝0，解得a＝1，或a＝－3. 答案：1或－3 10．求與直線3x＋4y＋1＝0平行，且在兩坐標(biāo)軸上

20、的截距之和為的直線l的方程． 解：法一：由題意，設(shè)直線l的方程為3x＋4y＋m＝0(m≠1)， 令x＝0，得y＝－；令y＝0，得x＝－， 所以－＋＝， 解得m＝－4. 所以直線l的方程為3x＋4y－4＝0. 法二：由題意，直線l不過原點，則在兩坐標(biāo)軸上的截距都不為0.可設(shè)l的方程為＋＝1(a≠0，b≠0)，則有解得 所以直線l的方程為3x＋4y－4＝0. [能力提升綜合練] 1．如果ax＋by＋c＝0表示的直線是y軸，則系數(shù)a，b，c滿足條件(　　) A．bc＝0 B．a(chǎn)≠0 C．bc＝0且a≠0 D．a(chǎn)≠0且b＝c＝0 解析：選D　y軸方程表示為

21、x＝0，所以a，b，c滿足條件為a≠0且b＝c＝0. 2．兩直線mx＋y－n＝0與x＋my＋1＝0互相平行的條件是(　　) A．m＝1 B．m＝±1 C. D.或 解析：選D　根據(jù)兩直線平行可得＝，所以m＝±1，又兩直線不可重合，所以m＝1時，n≠－1; m＝－1時，n≠1. 3．設(shè)A，B是x軸上的兩點，點P的橫坐標(biāo)為2，且|PA|＝|PB|，若直線PA的方程為x－y＋1＝0，則直線PB的方程是(　　) A．2y－x－4＝0 B．2x－y－1＝0 C．x＋y－5＝0 D．2x＋y－7＝0 解析：選C　由x－y＋1＝0得A(－1，0)，又P的橫坐標(biāo)為2，且

22、|PA|＝|PB|，∴P為線段AB中垂線上的點，且B(5,0)．PB的傾斜角與PA的傾斜角互補，則斜率互為相反數(shù)，故PB的斜率kPB＝－1，則方程為y＝－(x－5)，即x＋y－5＝0. 4．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則實數(shù)m滿足________． 解析：當(dāng)2m2＋m－3＝0時，m＝1或m＝－；當(dāng)m2－m＝0時，m＝0或m＝1.要使方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一條直線，則2m2＋m－3，m2－m不能同時為0，∴m≠1. 答案：m≠1 5．已知直線l的斜率是直線2x－3y＋12＝0的斜率的，l在y軸上的截距是直線2x

23、－3y＋12＝0在y軸上的截距的2倍，則直線l的方程為________． 解析：由2x－3y＋12＝0知，斜率為，在y軸上截距為4.根據(jù)題意，直線l的斜率為，在y軸上截距為8，所以直線l的方程為x－3y＋24＝0. 答案：x－3y＋24＝0 6．設(shè)直線l的方程為(m2－2m－3)x＋(2m2＋m－1)y＝2m－6，根據(jù)下列條件分別求m的值． (1)在x軸上的截距為1； (2)斜率為1； (3)經(jīng)過定點P(－1，－1)． 解：(1)∵直線過點P′(1,0)，∴m2－2m－3＝2m－6. 解得m＝3或m＝1. 又∵m＝3時，直線l的方程為y＝0，不符合題意， ∴m＝1. (2

24、)由斜率為1，得解得m＝. (3)直線過定點P(－1，－1)，則－(m2－2m－3)－(2m2＋m－1)＝2m－6， 解得m＝，或m＝－2. 7．一河流同側(cè)有兩個村莊A、B，兩村莊計劃在河上共建一水電站供兩村使用，已知A、B兩村到河邊的垂直距離分別為300 m和700 m，且兩村相距500 m，問：水電站建于何處送電到兩村的電線用料最省？ 解：如圖，以河流所在直線為x軸，y軸通過點A，建立直角坐標(biāo)系， 則點A(0,300)，B(x,700)，設(shè)B點在y軸上的射影為H，則x＝|BH|＝＝300，故點B(300,700)，設(shè)點A關(guān)于x軸的對稱點A′(0，－300)，則直線A′B的斜率k＝，直線A′B的方程為y＝x－300. 令y＝0得x＝90，得點P(90,0)， 故水電站建在河邊P(90,0)處電線用料最?。?