2022高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值學案 新人教B版選修2-2

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1、2022高中數(shù)學 第1章 導數(shù)及其應(yīng)用 1.3.2 利用導數(shù)研究函數(shù)的極值學案 新人教B版選修2-2 1．理解函數(shù)極值、極值點的有關(guān)概念，掌握利用導數(shù)求函數(shù)極值的方法． 2．注意結(jié)合函數(shù)的圖象理解用導數(shù)求函數(shù)極值(最值)的方法，逐步養(yǎng)成用數(shù)形結(jié)合的思想方法去分析問題和解決問題的思維習慣． 1．函數(shù)的極值與最值 (1)已知函數(shù)y＝f(x)，設(shè)x0是定義域內(nèi)任一點，如果對x0附近的所有點x，都有______＜f(x0)，則稱函數(shù)f(x)在點x0處取極大值，記作y極大＝f(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個________．如果在x0附近都有__________，則稱函數(shù)f(x)

2、在點x0處取極小值，記作y極?。絝(x0)，并把x0稱為函數(shù)f(x)的一個________． (2)極大值與極小值統(tǒng)稱為______，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為______． (3)函數(shù)f(x)的最大(小)值是函數(shù)在指定區(qū)間上的最大(小)的值． (1)極值是一個局部概念．由定義，極值只是某個點的函數(shù)值與它附近點的函數(shù)值比較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個定義域內(nèi)最大或最小． (2)函數(shù)的極值不是唯一的，即一個函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止一個． (3)極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個函數(shù)的極大值未必大于極小值．如圖所示，x1是極大值點，x4是極小

3、值點，而f(x4)＞f(x1)． (4)函數(shù)的極值點一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點不能成為極值點．而使函數(shù)取得最大值、最小值的點可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能是區(qū)間的端點． 【做一做1－1】下列說法中正確的是(　　)． A．若f(x)≥f(x0)，則f(x0)為f(x)的極小值 B．若f(x)≤f(x0)，則f(x0)為f(x)的極大值 C．若f(x0)為f(x)的極大值，則f(x)≤f(x0) D．以上都不對 【做一做1－2】若函數(shù)在閉區(qū)間上有唯一的極大值和極小值，則(　　)． A．極大值一定是最大值，且極小值一定是最小值 B．極大值一定是最大值，或極小值一定是最小值 C．極

4、大值不一定是最大值，極小值也不一定是最小值 D．極大值必大于極小值 2．求函數(shù)y＝f(x)極值的步驟 第1步：求________； 第2步：求方程________的所有實數(shù)根； 第3步：考察在每個根x0附近，從左到右，導函數(shù)f′(x)的符號如何變化．如果f′(x)的符號由正變負，則f(x0)是______；如果由負變正，則f(x0)是______． 如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左、右側(cè)，f′(x)的符號不變，則f(x0)不是極值． 可導函數(shù)的極值點必須是導數(shù)為零的點，但導數(shù)為零的點不一定是極值點，如f(x)＝x3在x＝0處導數(shù)f′(0)＝0，但x＝0不是它的極值點，即可

5、導函數(shù)在點x0處的導數(shù)f′(x0)＝0是該函數(shù)在x0處取得極值的必要不充分條件． 【做一做2－1】函數(shù)y＝x2＋x＋1的極小值是(　　)． A．1 B． C． D．不存在 【做一做2－2】若函數(shù)y＝2x3－3x2＋a的極大值是6，則a＝________. 3．求函數(shù)y＝f(x)在[a，b]上的最大(小)值的步驟 第1步：求f(x)在開區(qū)間(a，b)內(nèi)所有使f′(x)＝0的點． 第2步：計算函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)使f′(x)＝0的所有點和端點的______，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值． 利用導數(shù)法求最值，實質(zhì)是比較某些特

6、殊點的函數(shù)值來得到最值．因此，我們可以在導數(shù)法求最值的基礎(chǔ)上進行變通，令f′(x)＝0得到方程的根x1，x2，…，直接求得函數(shù)值f(x1)，f(x2)，…，然后再與端點的函數(shù)值比較就可以了，省略了判斷極值的過程．當然導數(shù)法與函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合，也可以求最值． 【做一做3】函數(shù)f(x)＝x3＋x2－x在區(qū)間[－2,1]上的最大值為________，最小值為________． 函數(shù)的極值與最值有何關(guān)系？ 剖析：如果函數(shù)在某些點處不可導，也需要考慮這些點是否是極值點、函數(shù)的最大值和最小值點． 觀察下圖中一個定義在區(qū)間[a，b]上的函數(shù)f(x)的圖象．圖中f(x1)與f(x3)是極小值，f(

7、x2)是極大值．函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值是f(b)，最小值是f(x3)． 一般地，在區(qū)間[a，b]上如果函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，那么該函數(shù)在[a，b]上必有最大值與最小值． 注意：(1)在區(qū)間(a，b)內(nèi)函數(shù)f(x)的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，則該函數(shù)不一定有最大值與最小值，如函數(shù)f(x)＝在(0，＋∞)內(nèi)連續(xù)，但沒有最大值與最小值． (2)函數(shù)的最值是比較整個定義域內(nèi)的函數(shù)值得出的；函數(shù)的極值是比較極值點附近的函數(shù)值得出的． (3)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象是一條連續(xù)不間斷的曲線，是f(x)在區(qū)間[a，b]上有最大值與最小值的充分而不必要條

8、件． (4)函數(shù)在其定義域上的最大值、最小值最多各有一個，而函數(shù)的極值可能不止一個，也可能一個也沒有． 題型一 求函數(shù)的極值 【例題1】求下列各函數(shù)的極值： (1)f(x)＝x2·e－x；　　(2)y＝. 分析：按照求極值的方法，首先從方程f′(x)＝0入手，求出函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)所有可解的極值點，然后按極值的定義判斷并求值． 反思：函數(shù)的極值研究是導數(shù)應(yīng)用的關(guān)鍵知識點，可加深對函數(shù)單調(diào)性與其導數(shù)關(guān)系的理解，y＝f(x)的導數(shù)存在時，f′(x0)＝0是y＝f(x)在x＝x0處有極值的必要條件，只有再加上x0兩側(cè)附近的導數(shù)的符號相反，才能斷定y＝f(x)在x＝x0處取得極值

9、． 題型二 求函數(shù)在區(qū)間[a，b]上的最值 【例題2】已知函數(shù)f(x)＝－x，求函數(shù)f(x)的最大值． 分析：求出f(x)的極值及定義域區(qū)間端點處的函數(shù)值，比較得到最大值． 反思：如果在區(qū)間[a，b]上函數(shù)y＝f(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．如果函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，求f(x)在區(qū)間[a，b]上的最值可簡化過程，即直接將極值點的函數(shù)值與端點的函數(shù)值比較，即可判定最大(或最小)的函數(shù)值，就是最大(或最小)值． 題型三 由函數(shù)的最值求參數(shù)的值 【例題3】已知函數(shù)f(x)＝ax3－6ax2＋b，問是否存在實數(shù)a，b使f(x)在區(qū)間[－1

10、,2]上取得最大值3，最小值－29，若存在，求出a，b的值；若不存在，請說明理由． 分析：利用求最值的方法確定a，b的值，注意對a的討論． 反思：此類題目屬于逆向思維題，但仍可根據(jù)求函數(shù)最值的步驟來求解，借助于待定系數(shù)法求其參數(shù)值． 題型四 易錯辨析 易錯點：對于可導函數(shù)，極值點處的導數(shù)為0，但導數(shù)為0的點不一定是極值點，因此已知函數(shù)的極值點求某些參變量的值時，應(yīng)驗證所得結(jié)果是否符合題意． 【例題4】已知f(x)＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1處有極值0，求常數(shù)a，b的值． 錯解：因為f(x)在x＝－1處有極值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解得或綜上所述，a＝

11、1，b＝3或a＝2，b＝9. 1下列結(jié)論中，正確的是(　　)． A．導數(shù)為零的點一定是極值點 B．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極大值 C．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＞0，右側(cè)f′(x)＜0，那么f(x0)是極小值 D．如果在x0附近的左側(cè)f′(x)＜0，右側(cè)f′(x)＞0，那么f(x0)是極大值 2下列說法正確的是(　　)． A．函數(shù)在其定義域內(nèi)若有最值與極值，則其極大值便是最大值，極小值便是最小值 B．閉區(qū)間上圖象連續(xù)不斷的函數(shù)一定有最值，也一定有極值 C．若函數(shù)在其定義域上有最值，則一定有極值，反之，若有極值則一定有最值

12、 D．若函數(shù)在給定區(qū)間上有最值，則最多有一個最大值，一個最小值；但若有極值，則可有多個極值甚至無窮多個 3函數(shù)f(x)＝2x3－3x2－12x＋5在[0,3]上的最大值和最小值分別是(　　)． A．5，－15 B．5，－4 C．－4，－15 D．5，－16 4函數(shù)f(x)＝2x3－6x2－18x＋7的極大值為__________，極小值為__________． 5函數(shù)y＝2x3－6x2＋m(m為常數(shù))，在區(qū)間[－2,2]上有最大值3，那么它在區(qū)間[－2,2]上的最小值為________． 答案： 基礎(chǔ)知識·梳理 1．(1)f(x)　極大值點　f(x)＞

13、f(x0)　極小值點　(2)極值　極值點 【做一做1－1】D 【做一做1－2】C 2．導數(shù)f′(x)　f′(x)＝0　極大值　極小值 【做一做2－1】B 【做一做2－2】6　y′＝6x2－6x＝6x(x－1)，∴當x(－∞，0)或x(1，＋∞)時，y′＞0，原函數(shù)為增函數(shù)，當x(0,1)時，y′＜0，原函數(shù)為減函數(shù)，故當x＝0時，y極大值＝a＝6. 3．函數(shù)值 【做一做3】1　－2　f(x)′＝3x2＋2x－1，令f(x)′＝0，得x1＝－1，x2＝，又f(－1)＝1，f()＝－，f(－2)＝－2，f(1)＝1，故函數(shù)的最大值為1，最小值為－2. 典型例題·領(lǐng)悟 【例題1】解

14、：(1)函數(shù)f(x)的定義域為R， f′(x)＝2xe－x＋x2e－x(－x)′＝x(2－x)e－x， 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2， 當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表： x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞) f′(x) － 0 ＋ 0 － f(x)  極小值0  極大值4e－2  從表中可以看出， 當x＝0時，函數(shù)有極小值，且f(0)＝0； 當x＝2時，函數(shù)有極大值，且f(2)＝4e－2. (2)y′＝，令y′＝0，得x＝，當x在R上取值時，y′，y的變化情況如下表： x y′ ＋

15、 0 － y  極大值 ∴當x＝時，函數(shù)取得極大值，且f()＝. 【例題2】解：∵f′(x)＝－1，令f′(x)＝0，得x2＝1－ln x，顯然x＝1是方程的解．令g(x)＝x2＋ln x－1，x(0，＋∞)，則g′(x)＝2x＋＞0，∴函數(shù)g(x)在(0，＋∞)上單調(diào)，∴x＝1是方程f′(x)＝0的唯一解． ∵當0＜x＜1時，f′(x)＝－1＞0，當x＞1時，f′(x)＜0，∴函數(shù)f(x)在(0,1)內(nèi)單調(diào)遞增，在(1，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞減，∴當x＝1時，函數(shù)有最大值f(x)max＝f(1)＝－1. 【例題3】解：顯然a≠0， f′(x)＝3ax2－12ax＝3ax(x－

16、4)， 令f′(x)＝0，解得x1＝0，x2＝4(舍去)． (1)當a＞0，x變化時，f′(x)，f(x)的變化狀態(tài)如下表： x [－1,0] 0 [0,2] f′(x) ＋ 0 － f(x)  極大值 所以當x＝0時，f(x)取得最大值．所以b＝3. 又f(2)＝－16a＋3，f(－1)＝－7a＋3，f(－1)＞f(2)， 所以當x＝2時，f(x)取得最小值，所以－16a＋3＝－29，即a＝2. (2)當a＜0，x變化時，f′(x)，f(x)的變化狀態(tài)如下表： x [－1,0] 0 [0,2] f′(x) － 0 ＋ f(x) 

17、 極小值  所以當x＝0時，f(x)取得最小值． 所以b＝－29. 又f(2)＝－16a－29，f(－1)＝－7a－29，f(2)＞f(－1)， 所以當x＝2時，f(x)取得最大值，所以－16a－29＝3，即a＝－2. 綜上所述，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29. 【例題4】錯因分析：根據(jù)極值定義，函數(shù)先減后增為極小值，函數(shù)先增后減為極大值，錯解中未驗證x＝－1兩側(cè)函數(shù)的單調(diào)性，故求錯． 正解：因為f(x)在x＝－1處有極值0，且f′(x)＝3x2＋6ax＋b，所以即解得或當a＝1，b＝3時f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x＋1)2≥0，所以f(x)在R上為增函數(shù)，無極

18、值，故舍去，當a＝2，b＝9時，f′(x)＝3x2＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)，當x(－3，－1)時，f(x)為減函數(shù)；當x－1，＋∞)時，f(x)為增函數(shù)．所以f(x)在x＝－1處取得極小值，因此a＝2，b＝9. 隨堂練習·鞏固 1．B　2．D 3．A　由f′(x)＝6x2－6x－12＝6(x＋1)(x－2)＝0，得x＝－1或x＝2. 因為f(0)＝5，f(2)＝－15，f(3)＝－4， 所以f(2)＜f(3)＜f(0)． 所以f(x)max＝f(0)＝5，f(x)min＝f(2)＝－15. 4．17　－47　由f′(x)＝6x2－12x－18＝6(x＋1)(x－3)＝0，得x＝－1或x＝3，當x(－∞，－1)時，f′(x)＞0，當x(－1,3)時，f′(x)＜0，當x(3，＋∞)時，f′(x)＞0，所以極大值為f(－1)＝17，極小值為f(3)＝－47. 5．－37　y′＝6x2－12x＝6x(x－2)， ∴在(－2,2)上，只有x＝0是f(x)的極值點，且為極大值點． ∴f(x)極大值＝f(0)＝m， 又f(－2)＝－16－24＋m＝m－40， f(2)＝16－24＋m＝m－8. 容易判斷m－40＜m－8＜m，∴m＝3. ∴f(x)min＝m－40＝－37.