2022高中數學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關系10 面面平行的性質學案 蘇教版必修2

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1、2022高中數學 第1章 立體幾何初步 第二節(jié) 點、直線、面的位置關系10 面面平行的性質學案 蘇教版必修2 一、考點突破 知識點 課標要求 題型 說明 兩平面平行的性質 理解并掌握平面與平面平行的性質定理 選擇題 填空題 解答題 注意面面、線面、線線這些幾何關系的相互轉化，領會立體幾何圖形間關系的轉化思想 二、重難點提示 重點：平面與平面平行的性質定理及其應用。 難點：平面與平面平行的性質定理的理解及應用。 考點一：兩平面平行的性質 1. 兩個平面平行，其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面。 ∥，∥。 2. 夾在兩個平行平面

2、間的平行線段相等。 ∥，，且∥。 3. 經過平面外一點有且只有一個平面與已知平面平行。 有且只有一個平面，使得且∥。 4. 性質定理 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么所得的兩條交線平行。 若α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，則a∥b。 5. 兩條直線被三個平行平面所截，截得的對應線段成比例。 ∥∥，直線、與、、分別交于。 考點二：兩平行平面間的距離 1. 公垂線：與兩個平行平面都垂直的直線，叫做這兩個平行平面的公垂線，它夾在這兩個平行平面間的線段，叫做這兩個平行平面的公垂線段。 2. 兩個平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段都相等，公垂線段

3、的長度就叫做兩個平行平面間的距離。 例題1 （利用平面與平面平行的性質證明） 已知：平面α∥平面β∥平面γ，兩條異面直線l、m分別與平面α、β、γ相交于點A、B、C和點D、E、F。 求證：。 思路分析：（1）證明線段成比例問題，常用什么方法？（2）如何尋求線線平行？ 答案：如圖，連接DC，設DC與平面β相交于點G，則平面ACD與平面α、β分別相交于直線AD、BG， 平面DCF與平面β、γ分別相交于直線GE、CF， 因為α∥β，β∥γ，所以BG∥AD，GE∥CF， 于是在△ADC內有＝， 在△DCF內有＝， ∴。 技巧點撥： 1. 解本題的關鍵是利用面面平行

4、的性質得出線線平行。 2. 應用兩個平面平行的性質一是可以證明直線與直線平行，二是可以解決線面平行的問題。注意：使用性質定理證明線線平行時，一定是第三個平面與兩個平行平面相交，其交線互相平行。 例題2 （求兩平行平面間的距離） 在棱長為的正方體中，求平面與平面之間的距離。 思路分析：本題主要考查兩個平行平面間距離的求法，求解的關鍵是找到與兩平面垂直相交的線段，可先證明兩平面平行，然后再找它們的公垂線。 答案：由題意知∥，∥，故易證平面∥平面 連接，分別交平面和平面于點、，又由正方體性質知平面，又平面，所以。同理，又 平面平面，即線段為平面和平面的公垂線段。如下圖

5、在對角面中，為中點， 為中點， 技巧點撥：把立體幾何中的空間距離問題轉化到平面幾何圖形中求長度，注意這種轉化思想的應用。 因線線、線面、面面平行關系轉化不當致誤 【例析】如圖所示，平面α∥平面β，AC與BD為異面直線，且AC?α，BD?β，M、N分別為AB、CD的中點，求證MN∥平面β。 【錯解1】∵α∥β，AC?α， ∴AC∥β， 又∵BD?β，∴AC∥BD， ∵M、N分別為AB、CD的中點， ∴MN∥BD， ∵MN?β，BD?β，∴MN∥平面β。 【錯解2】連接BC，取BC的中點P，連接PM、NP，如圖所示， 在△ABC中，M、P分別是AB

6、、BC的中點， ∴MP∥AC， ∵MP?平面α，AC?α，∴MP∥平面α， 同理，PN∥平面β， ∵α∥β，∴MP∥平面β，又PN∩MP＝P， ∴平面MPN∥平面β，而MN?平面MPN， ∴MN∥平面β。 【錯因分析】錯解1中，由CA∥平面β得不到AC與平面β內的所有直線平行。因此，由AC∥平面β，BD?平面 β得不到AC∥BD，這是對線面平行的性質定理理解不透徹所致，而且若AC∥BD，則A、B、C、D四點共面，與已知條件中AC，BD異面不符。錯解2中“因為α∥β，MP∥平面α，所以MP∥平面β”這一步是沒有依據的，盡管當MP?β時結論成立，但仍需要證明。 【防范措施】運用定理

7、或推論來推理時，一定要保證相關的條件滿足要求。另外，也不能把自己認為正確的結論（事實上也可能是正確的），不加證明就應用于解題過程中。 【正解】∵AB∩AC＝A， ∴AB和AC確定一個平面γ， 則γ∩α＝AC， ∵B∈AB，AB?γ，B∈β， ∴B是γ與β的公共點，于是可設β∩γ＝BE，如圖所示。 連接CE、DE，取CE的中點P，連接MP、PN， ∵α∥β，α∩γ＝AC，β∩γ＝BE， ∴AC∥BE， 又M、P分別為AB、CE的中點，∴MP∥BE， ∵BE?β，MP?β，∴MP∥β， 在△CED中，P、N分別為CE、CD的中點， ∴PN∥DE。 又PN?β，DE?β，∴PN∥β， 又∵MP∩PN＝P，∴平面MNP∥平面β， ∵MN?平面MNP，∴MN∥平面β。