2022年高二數(shù)學下學期期中試題 理(含解析)

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1、2022年高二數(shù)學下學期期中試題 理(含解析) 注意事項： 一、選擇題（每題5分，共60分） 1.1.命題“?x∈R,ex>0”的否定是( ) A. ?x∈R,ex≤0 B. ?x∈R,ex≤0 C. ?x∈R,ex>0 D. ?x∈R,ex≠0 【答案】B 【解析】 【分析】 命題的否定，將量詞與結論同時否定，即可得到答案 【詳解】命題的否定，將量詞與結論同時否定 則命題“”的否定是“” 故選 【點睛】本題主要考查的是命題的否定，解題的關鍵是掌握命題的否定，將量詞與結論同時否定，屬于基礎題。 2.2.若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合,則P的值為(?

2、? ) A. -2 B. 2 C. -4 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】 求得橢圓的右焦點坐標，由題意可得，即可求得結果 【詳解】由橢圓， 解得 故橢圓的右焦點為 則拋物線的焦點為 則，解得 故選 【點睛】本題主要考查的是拋物線的簡單性質，根據(jù)橢圓方程求出橢圓的右焦點坐標，根據(jù)拋物線的標準方程可確定出的值，屬于基礎題。 3.3.已知是橢圓的兩焦點,過點的直線交橢圓于點A、B,若,則(??? ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 16 【答案】A 【解析】 【分析】 由橢圓的方程求出橢圓的長軸長，再由橢圓的定

3、義結合求得結果 【詳解】如圖， 由橢圓可得：，則 又 且 則 故選 【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質，解題的關鍵是根據(jù)橢圓的定義即橢圓上的點到焦點的距離之和為，屬于基礎題。 4.4.設 O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線的焦點，A是拋物線上一點,若,則點A的坐標是 ( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 先求出拋物線的焦點，設出的坐標，用坐標表示出，然后結合 得到關于的方程，解方程即可確定點的坐標 【詳解】設的坐標為 為拋物線的焦點， ， 解得， 點的坐標為或 故選 【點睛】本題是一道關于拋物線與向量

4、的綜合題目，需要熟練掌握拋物線的性質，設出點坐標，求出向量的點乘來計算結果，屬于基礎題。 5.5.函數(shù)在處導數(shù)存在,若P:;q:是的極值點,則(?? ?) A. P是q的充分必要條件 B. P是q的充分條件,但不是的必要條件 C. P是q的必要條件,但不是q的充分條件 D. P既不是q的充分條件,也不是的必要條件 【答案】C 【解析】 【分析】 函數(shù)在處導數(shù)存在，由是的極值點，反之不成立，即可判斷出結論 【詳解】根據(jù)函數(shù)極值的定義可知，是函數(shù)的極值點，則一定成立 但當時，函數(shù)不一定取得極值， 比如函數(shù)，導函數(shù)，當時，，但函數(shù)單調遞增，沒有極值 則是的必要條件，

5、但不是的充分條件 故選 【點睛】本題主要考查了命題及其關系以及導數(shù)與極值的關系，解題的關鍵是利用函數(shù)的極值的定義可以判斷函數(shù)取得極值和導數(shù)值為的關系，屬于基礎題 6.6.若曲線在點(0, b)處的切線方程是, 則( ? ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵y′＝2x＋a， ∴曲線y＝x2＋ax＋b在(0，b)處的切線方程的斜率為a，切線方程為y－b＝ax， 即ax－y＋b＝0. ∴a＝1，b＝1. 選A 點睛： 利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉化.以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參

6、數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解. 視頻 7.7.橢圓的焦點在y軸上,長軸長是短軸長的兩倍,則m=(?? ?) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根據(jù)題意求出長半軸和短半軸的長度，利用長軸長是短軸長的兩倍，解方程即可求出的值 【詳解】橢圓的標準方程為： 橢圓的焦點在軸上，且長軸長是短軸長的兩倍 ，解得 故選 【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質，將橢圓方程化為標準方程，然后結合題意列出方程進行求解，較為基礎 8.8.設雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線

7、的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 試題分析：設該雙曲線方程為得點B（0，b），焦點為F（c，0），直線FB的斜率為由垂直直線的斜率之積等于-1，建立關于a、b、c的等式，變形整理為關于離心率e的方程，解之即可得到該雙曲線的離心率； 設該雙曲線方程為可得它的漸近線方程為，焦點為F（c，0），點B（0，b）是虛軸的一個端點，∴直線FB的斜率為，∵直線FB與直線互相垂直，∵雙曲線的離心率e＞1，∴e=,故選：D 考點：雙曲線的簡單性質 視頻 9.9.設P是雙曲線上一點,雙曲線的一條漸近線方

8、程為,分別是雙曲線的左、右焦點,若,則(?? ) A. 1或5 B. 6 C. 7 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】 由雙曲線的方程，漸近線的方程求出，由雙曲線的定義求出 【詳解】由雙曲線的方程，漸近線的方程可得：，解得 由雙曲線的定義可得： 解得 故選 【點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單性質，結合雙曲線的定義進行計算求出結果，較為簡單，屬于基礎題 10.10.一個幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的體積為(?? ) A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 首先由三視圖得到幾何體為四棱錐，

9、根據(jù)圖中數(shù)據(jù)明確底面和高，即可求得該幾何體的體積． 【詳解】由已知三視圖得到幾何體是四棱錐，底面是兩邊分別為1，的平行四邊形，高為1，如圖所示： ∴該幾何體的體積為 故選B. 【點睛】本題利用空間幾何體的三視圖重點考查學生的空間想象能力和抽象思維能力.觀察三視圖并將其“翻譯”成直觀圖是解題的關鍵，不但要注意三視圖的三要素“高平齊，長對正，寬相等”，還要特別注意實線與虛線以及相同圖形的不同位置對幾何體直觀圖的影響，對簡單組合體三視圖問題，先看俯視圖確定底面的形狀，根據(jù)正視圖和側視圖，確定組合體的形狀. 11.11.已知正方體ABCD一A1B1C1D1的棱長為1,則BC1與DB1的距

10、離為(???) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 連接，，取的中點，連接，，則∥，可得∥平面，從而與的距離為與平面的距離，即到平面的距離，利用等體積可求． 【詳解】連接，，取的中點，連接，，則∥. ∵?平面，?平面 ∴∥平面 ∴與的距離為與平面的距離，即到平面的距離 在中，，，， ∴ 設到平面的距離為，則由，可得. ∴ 故選C. 【點睛】本題考查線線距離，解題的關鍵是將與的距離轉化為到平面的距離，從而利用等體積求解．等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形

11、的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計算得到高的數(shù)值． 12.12.已知函數(shù)有極大值和極小值,則實數(shù)的取值范圍是(?? ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】 根據(jù)函數(shù)有極大值和極小值，可推出其導數(shù)有兩個不等的實根，利用二次方程根的判別式，即可求得． 【詳解】∵ ∴ ∵函數(shù)有極大值和極小值 ∴ ∴或 故選D. 【點睛】函數(shù)極值問題，往往轉化為導函數(shù)零點問題，即轉化為方程或不等式解的問題（有解，恒成立，無解等）， 若是不等式有解或恒成立問題

12、，可通過適當?shù)淖兞糠蛛x轉化為對應函數(shù)最值問題，若是二次函數(shù)的零點問題，可通過相應的二次方程的判別式來求解． 第Ⅱ卷（非選擇題） 二.填空題（每題5分，共20分）． 13.13.直線L與拋物線相交于A、B兩點且AB的中點為M（1、1），則L的方程為________ 【答案】. 【解析】 【分析】 設出、兩點坐標，然后運用點差法求出直線斜率，繼而得到直線方程 【詳解】設、 則 相減可得： 有 中點為 故 的方程為： 即 故答案為 【點睛】本題考查了直線與拋物線之間的位置關系，當遇到含有中點的題目時，可以采用點差法來求出直線斜率，繼而可得直線方程 14.14.

13、數(shù)列滿足,則此數(shù)列的通項公式________ 【答案】. 【解析】 【分析】 根據(jù)已知條件，找出已知和未知的聯(lián)系，通過構造等比數(shù)列，利用其通項公式，得到結果 【詳解】， ，則 數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列 ， 故答案為 【點睛】本題主要考查了數(shù)列的通項公式的求法，解題時要認真審題，注意已知和未知的結合，找出相關關系，屬于基礎題。 15.15.設x,y滿足約束條件，則的最大值為_________ 【答案】9. 【解析】 【分析】 根據(jù)約束條件畫出可行域，設，再利用的幾何意義求出最值，只需要求出直線過可行域內的點時，從而得到的最大值即可 【詳解】不等式組

14、表示的平面區(qū)域如圖所示： 由可得點 當直線過點時，在軸上的截距最小， 此時，取得最大值 故答案為 【點睛】本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，在不同區(qū)域取得不同最值，只要按照線性規(guī)劃的解題方法來求解即可 16.16.在棱長為1的正方體中,E為的中點,在面ABCD中取一點F,使最小,則最小值為__________. 【答案】. 【解析】 如圖，將正方體關于面對稱，則就是所求的最小值，． 三、解答題：（解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟共70分 ） 17.17.已知曲線方程為,求: （1）點處的切線方程 （2）過點且與曲線相切的直線方程. 【答案】(1) .

15、(2) 或. 【解析】 【分析】 求導后算出在點處的斜率然后求出切線方程 切點坐標為，求導后算出直線方程，將點代入求出切點坐標，從而計算出直線方程 【詳解】(1) . 又點在曲線上,∴.故所求切線的斜率, 故所求切線的方程為,即. (2)∵點不在曲線上,∴設切點坐標為, 由(1)知,∴切線的斜率,切線方程為. 又∵點在切線上,∴解得或. ∴切點坐標為,. 故所求切線方程為或, 即或. 【點睛】解題的思路是求出曲線解析式的導函數(shù)，將切點的橫坐標代入求出切線的斜率，進而寫出切線方程，要求學生掌握求導法則以及會根據(jù)一點坐標和斜率寫出直線的方程。 18.18.在銳角中,

16、分別為角所對的邊,且 （1）求角C的大小; （2）若,且的面積為,求a+b的值. 【答案】(1) . (2)5. 【解析】 試題分析：（1）先根據(jù)正弦定理邊化角轉化為即可得，故（2）∵，∴再由余弦定理可得邊c 試題解析： 解： （1）由正弦定理得， ∵是銳角，∴，故. （2）∵，∴ 由余弦定理得 ∴ 點睛：在解三角形問題時多注意正余弦定理的結合運用，正弦定理主要用在角化邊和邊化角上，而余弦定理通常用來求解邊長 視頻 19.19.如圖，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點，AA1＝AC＝CB＝AB. (1)證明：BC1∥平面A

17、1CD； (2)求二面角D－A1C－E的正弦值． 【答案】（1）見解析（2） 【解析】 (1)連接AC1交A1C于點F，則F為AC1的中點． 又D是AB的中點，連接DF，則BC1∥DF.因為DF?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD. (2)由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，的方向為z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系C－xyz.設CA＝2，則D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)， ＝(1,1,0)，＝(0,2,1)，＝(2,0,2)． 設n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD

18、的法向量， 則即可取n＝(1，－1，－1)． 同理，設m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量， 則即可取m＝(2,1，－2)． 從而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝ 即二面角D－A1C－E的正弦值為 20.20.如下圖,已知橢圓,分別為橢圓的左、右焦點,A為橢圓的上頂點,直線交橢圓于另一點B. (1)若,求橢圓的離心率; (2)若橢圓的焦距為2,且,求橢圓的方程. 【答案】(1) . (2) . 【解析】 【分析】 ，則為等腰直角三角形， 根據(jù)勾股定理可得橢圓的離心率 由，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算，求出的坐標，代入橢圓方程，即可求得和的值，求得

19、橢圓方程。 【詳解】 (1)若,則為等腰直角三角形 所以有 即 所以, (2)由題知,,設 由,即 解得, 代入,得 即,解得， 所以橢圓方程為 【點睛】本題主要考查了橢圓的簡單性質，結合向量知識求出點坐標，代入橢圓方程即可算出答案，本題解題思路清晰，題目較為基礎 21.21.已知拋物線的焦點F,C上一點到焦點的距離為5. （1）求C的方程; （2）過F作直線l,交C于A,B兩點,若直線AB中點的縱坐標為,求直線l的方程. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】 法一：利用已知條件列出方程組，求解即可 法二：利用拋物線的準線方程，由拋物線的

20、定義列出方程，求解即可 法一：由可得拋物線焦點的坐標，設出兩點的坐標，利用點差法，求出線段中點的縱坐標為，得到直線的斜率，求出直線方程 法二：設直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線方程，設出兩點的坐標，通過線段中點的縱坐標為，求出即可 【詳解】法一:拋物線: 的焦點的坐標為,由已知 解得或∵, ∴∴的方程為. 法二:拋物線的準線方程為由拋物線的定義可知解得 ∴的方程為. 2.法一:由(1)得拋物線C的方程為,焦點 設兩點的坐標分別為,則 兩式相減,整理得 ∵線段中點的縱坐標為 ∴直線的斜率 直線的方程為即 分法二:由(1)得拋物線的方程為,焦點 設直線的方程為由

21、 消去,得設兩點的坐標分別為, ∵線段中點的縱坐標為∴解得 直線的方程為即 【點睛】本題主要考查了直線與拋物線相交的綜合問題，對于涉及到中點弦的問題，一般采用點差法能直接求出未知參數(shù)，或是將直線方程設出，設直線方程時要注意考慮斜率的問題，此題可設直線的方程為，就不需要考慮斜率不存在，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用條件列出等量關系，求出未知參數(shù)。 22.22.已知函數(shù). （1）求的單調區(qū)間; （2）求在區(qū)間上的最小值 【答案】（1）的單調遞減區(qū)間是;單調遞增區(qū)間是. （2）. 【解析】 【分析】 對函數(shù)求導，令，，所得的解區(qū)間即為函數(shù)的單調區(qū)間 根據(jù)中的結論，并對分類討

22、論，分別得到在不同取值區(qū)間內的最小值 【詳解】(1).令,得.當變化時,與的變化情況如下: ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? - 0 + ? ? ? ? ? ? ↘ ? ? ? ? ? ? ↗ 所以的單調遞減區(qū)間是;單調遞增區(qū)間是. (2)當,即時,函數(shù)在上單調遞增,所以在區(qū)間上的最小值為; 當,即,由1知在上單調遞減,在上單調遞增,所以在區(qū)間上的最小值為. 當,即時,函數(shù)在上單調遞減,所以在區(qū)間上的最小值為. 【點睛】本題主要考查了函數(shù)的求導并判斷函數(shù)單調性與極值的方法，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想的合理運用，尤其含有參量時的導數(shù)需要進行分類討論