2022年高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性公開課 新課標(biāo) 人教版必修I

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1、2022年高一數(shù)學(xué)函數(shù)的單調(diào)性公開課 新課標(biāo) 人教版必修I 1.教學(xué)任務(wù)分析 ⑴建立增(減)函數(shù)的概念. 通過(guò)觀察一些函數(shù)圖像的升降,形成增(減)函數(shù)的直觀認(rèn)識(shí).再通過(guò)具體函數(shù)值的大小比較,認(rèn)識(shí)函數(shù)值隨自變量的增大而增大(減小)的規(guī)律,由此得出增(減)函數(shù)的定義.掌握用定義證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法與步驟. ⑵函數(shù)單調(diào)性的研究經(jīng)歷了從直觀到抽象,從圖形語(yǔ)言到數(shù)學(xué)語(yǔ)言,理解增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)區(qū)間概念的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中，讓學(xué)生通過(guò)自主探究活動(dòng)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的形成過(guò)程，使學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思考的基本方法，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力． 2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn)：形成增（減）函數(shù)的形式化定義． 難

2、點(diǎn)：形成增（減）函數(shù)概念的過(guò)程中，如何從圖象升降的直觀認(rèn)識(shí)過(guò)渡到函數(shù)增減的數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)；用定義證明函數(shù)的單調(diào)性． 3.教學(xué)基本流程 從觀察具體函數(shù)圖引入 直觀認(rèn)識(shí)增（減）函數(shù) 定量分析增（減）函數(shù) （配合例2）利用定義證明函數(shù)單調(diào)性 （配合例1）由圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 給出增（減）函數(shù)的定義 練習(xí)　交流　反饋　鞏固 學(xué)生歸納小結(jié)　教師評(píng)價(jià) 由常見的函數(shù)說(shuō)出單調(diào)性 4.教學(xué)情境設(shè)計(jì) 一、【情景導(dǎo)入】 課件演示與師生活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 師：課外讓學(xué)生用描點(diǎn)法作出和兩個(gè)函數(shù)的圖象，要求建立坐標(biāo)系、列表

3、、描點(diǎn)，觀察大家所畫的兩個(gè)函數(shù)的圖象有什么不同？在觀察下列兩組函數(shù)的圖象.你會(huì)發(fā)現(xiàn)這兩組函數(shù)有何特征？（變化趨勢(shì)） x y O0 x y O0 x y O0 第一組 x y O0 x y O0 x y O0 第二組 通過(guò)多媒體演示，使學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)到圖像的直觀性，有助于提高數(shù)形結(jié)合研究函數(shù)問(wèn)題的意識(shí)，同時(shí)也感受到函數(shù)值隨自變量變化的趨勢(shì)。 教師引導(dǎo) 領(lǐng)悟函數(shù)的單調(diào)性 師：同學(xué)們仔細(xì)觀察上述兩組圖象，結(jié)合自己作圖的體會(huì)，第一組圖象和第二組圖象的變化分別有何特征？這種特征說(shuō)明了什么? 提示：自左向

4、右的趨勢(shì) 生：交流、討論、回答。 師：第一組函數(shù)的圖象自左向右是上升的，而第二組圖象自左向右是下降的。這說(shuō)明第一組函數(shù)在給定區(qū)間上y隨x的增大而增大，我們稱這樣的函數(shù)在給定區(qū)間上為增函數(shù)。第二組函數(shù)在給定區(qū)間上y隨x的增大而減小，我們稱這樣的函數(shù)在給定區(qū)間上為減函數(shù)。這就是這一節(jié)我們所學(xué)要的函數(shù)的單調(diào)性。 二、【新課探究】 教師引導(dǎo) 多煤體演示 師：函數(shù)的圖像僅從直觀上給出了增函數(shù)和減函數(shù)的映像。數(shù)學(xué)更講究邏輯上的嚴(yán)謹(jǐn)，如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述“y隨x的增大而增大，y隨x的增大而減小”的這樣自然語(yǔ)言呢？ 生：（由于第一次接觸用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)描述一個(gè)概念，可能無(wú)從下手）討論。 師：巡視指

5、導(dǎo)，遇到學(xué)生思維切入點(diǎn)好的同學(xué)及時(shí)引導(dǎo)，同時(shí)啟發(fā)舉例。如我們要說(shuō)重點(diǎn)班同學(xué)比面上班同學(xué)成績(jī)都好，我們常常這樣描述：任取重點(diǎn)班一名學(xué)生的總成績(jī)總好于面上班任意一名學(xué)生的總成績(jī)（教師要把“任取”“任意”語(yǔ)音加重引起學(xué)生重視）。我們能和類似的語(yǔ)言來(lái)描述嗎？ 生：答（可能仍不能規(guī)范或回答不上來(lái)，而有預(yù)習(xí)的同學(xué)可能夠表達(dá)出來(lái)！）。 ⑴設(shè)函數(shù)的定義域是Ｉ，區(qū)間，，當(dāng)時(shí)，都有成立，則稱在區(qū)間D上是增函數(shù)，如圖⑴ ⑵設(shè)函數(shù)的定義域是I，區(qū)間，，當(dāng)時(shí)，都有成立，則稱在區(qū)間D上是減函數(shù)，如圖⑵ ［插入多煤體演示］ ⑶單調(diào)區(qū)間： 函數(shù)在區(qū)間D上是增函數(shù)或減函數(shù)，我們就稱函數(shù)在這個(gè)區(qū)間D具有單

6、調(diào)性，區(qū)間D是這個(gè)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。 問(wèn)題 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 師：（回放前兩組函數(shù)圖像）讓學(xué)生結(jié)合圖像和概念，通過(guò)閱讀和分析說(shuō)出自己認(rèn)為定義中應(yīng)抓住哪些關(guān)鍵的詞語(yǔ)才能透徹理解定義？ 生：分小組討論交流自己的想法，組長(zhǎng)作好總結(jié)整理。 師：巡回指導(dǎo)，可將定義中的重要語(yǔ)句、關(guān)鍵詞如：“給定區(qū)間”“任意”“都有”提示給學(xué)生，讓學(xué)生思考討論，并注意了解學(xué)生對(duì)定義中的一些錯(cuò)誤理解和說(shuō)法并適時(shí)糾正。 生：回答對(duì)“給定區(qū)間”“任意”“都有”的理解，此時(shí)必然會(huì)引起持不同見解的同學(xué)的質(zhì)疑，教師駕馭好課堂，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。 正確地深入理解和掌握概念的重要一環(huán) 三、【例題1講解】 多媒體演

7、示例題 設(shè)計(jì)意圖 師：根據(jù)單調(diào)性的定義和剛才的總結(jié)，你能說(shuō)出幾個(gè)單調(diào)函數(shù)的例子嗎？ 生：舉例（可能有錯(cuò)誤說(shuō)法，教師適時(shí)糾正）。 師：下面結(jié)合具體例子來(lái)加深對(duì)單調(diào)性定義的理解。 例1圖1.3-4是定義在區(qū)間上的函數(shù)，根據(jù)圖象說(shuō)出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，以及在相應(yīng)區(qū)間上，它是增函數(shù)還是減函數(shù)？ x 0 y 甲生：函數(shù)的單調(diào)區(qū)間有，， ，。 其中在區(qū)間，上是減函數(shù)，也是單調(diào)減區(qū)間， 函數(shù)在區(qū)間 ，上是增函數(shù)。也是單調(diào)增區(qū)間。 乙生：我有一個(gè)問(wèn)題，在兩個(gè)區(qū)間的公共點(diǎn)處，是增函數(shù)還是減函數(shù)呢？ 師答：表?yè)P(yáng)愛動(dòng)腦筋的好同

8、學(xué)。比如，對(duì)于這個(gè)單獨(dú)點(diǎn)，由于函數(shù)值是常數(shù)，因此沒有增減變化，它既是終點(diǎn)又是起點(diǎn)。那當(dāng)然也可以寫為 根據(jù)函數(shù)圖象判斷函數(shù)的單調(diào)性或求單調(diào)區(qū)間是一種常用的方法。它體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。 四、【知識(shí)遷移】 問(wèn)題 多媒體演示 作出如下函數(shù)的圖象，并指出函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上的單調(diào)性及單調(diào)區(qū)間。 ① ② ③ x y O0 x y O0 x y O0 –1 生：獨(dú)立解答， 動(dòng)手畫圖。 ①由圖象知， 在R上為增函數(shù)。 ②由圖象知，在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)。 ③由圖象知，

9、在和上分別為減函數(shù)。 師生互動(dòng) 師：結(jié)合③的圖象，能否說(shuō)在上為減函數(shù)呢？ 生：不能，單調(diào)性定義中是單調(diào)區(qū)間上任意兩值，當(dāng)時(shí)， ，顯然，而不是，所以不符合單調(diào)性定義。 師：你能否根據(jù)①②兩道題的解決推廣一下一次函數(shù)和二次函數(shù)單調(diào)性情況。 生：回答。 師：歸結(jié)幾位同學(xué)的回答并用多媒體展示。 ⑴函數(shù)的單調(diào)性是對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言，有的函數(shù)如一次函數(shù)的整個(gè)定義域上單調(diào)，而有的函數(shù)分別在定義域的某個(gè)區(qū)間上單調(diào)，如二次函數(shù)，因此函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，反映了函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值的變化趨勢(shì)，是函數(shù)的局部性質(zhì)。 ⑵函數(shù)定義中的必須深刻理解，一是任意性，即任意取，任意兩字決不能丟

10、掉，不能為某特殊值。二是有大小，通常規(guī)定。三是同屬于同一單調(diào)區(qū)間。 ⑶函數(shù)的單調(diào)性反映了函數(shù)值在定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間上隨自變量取值的增大而變化的趨勢(shì)，增大或減小從圖象上表現(xiàn)為圖象自左向右上升或下降。 五、【例題2講解】 引導(dǎo)例題 分析題意 設(shè)計(jì)意圖 例2 物理學(xué)中的玻意耳定律（k為正常數(shù)）告訴我們對(duì)于一定量的氣體，V減小時(shí)，壓強(qiáng)P將增大。試用函數(shù)單調(diào)性證明之。 上面實(shí)際上用自然語(yǔ)言敘述了函數(shù)的單調(diào)性，從函數(shù)圖象角度觀察易知時(shí)函數(shù)為減函數(shù)，但在理論上不夠嚴(yán)格，尤其是有些函數(shù)不易畫出圖象時(shí)，根據(jù)單調(diào)性定義嚴(yán)格判斷才是研究單調(diào)性的基本途徑。 使學(xué)生明確用定義證明的必要性 用定義證

11、明的步驟 本題證明過(guò)程 證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： 第一步：取值，且 。 第二步：作差變形。通過(guò)因式分解、配方、有理化等手段將等式的右邊變形。 第三步：定號(hào)。判斷的符號(hào)。 第四步：下結(jié)論。 師：請(qǐng)根據(jù)如上步驟，完成上題。 生：解答，一名同學(xué)板演 師：糾正步驟中不規(guī)范之處，強(qiáng)調(diào)每一步的意義所在。使學(xué)生形成正確的解題步驟。 設(shè)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且， 則 由得 由得 又于是即 所以,是減函數(shù)，也就是說(shuō)當(dāng)體積V減少時(shí)壓強(qiáng)P增大。 點(diǎn)撥 師：上面解題步驟中，關(guān)鍵是式子的變形說(shuō)明，這一步必不可少，如果直接說(shuō)就缺乏嚴(yán)格的邏輯了。 六、【課堂練習(xí)】 思考與練習(xí) 先作出函

12、數(shù) 的圖象。并判斷它的單調(diào)性?證明你的結(jié)論. 證明：設(shè)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且 則 由,得 由,得 于是 即 函數(shù)在區(qū)間是減函數(shù) P36練習(xí)第4題 證明函數(shù)在R上是減函數(shù)。 證明：設(shè)上的任意兩個(gè)實(shí)數(shù),且 則 由,得 于是 即 所以，函數(shù)在R上是減函數(shù) 師生互動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 指出它的單調(diào)性；再用定義證明你的結(jié)論。 生：獨(dú)立解答。 師：巡視指導(dǎo)，糾正步驟，點(diǎn)撥思路，進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)不能簡(jiǎn)單說(shuō)， 當(dāng)時(shí)，符號(hào)怎樣，必須有充分理由。 使學(xué)生明確證明中每一步的依據(jù)是什么?應(yīng)不應(yīng)該少?它的意義是什么?這樣的步驟才規(guī)范. 七、【總結(jié)歸納】[學(xué)生總結(jié)，

13、教師點(diǎn)評(píng)] 教師提問(wèn)讓學(xué)生思考 ①增(減)函數(shù)的圖象有什么特點(diǎn)?如何根據(jù)圖象指出單調(diào)區(qū)間? ②怎樣用定義證明函數(shù)的單調(diào)性? (師生共同討論、交流、總結(jié)) ③單調(diào)性的證明及步驟中的“作差變形”這一步的目的是什么？要得到什么？ 要判斷兩個(gè)值的大小除了作差還有別的方法嗎？（有時(shí)作商與1比較） 本課學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容（多媒體投放） ①增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)函數(shù)的概念； ②對(duì)定義中關(guān)鍵詞的理解；(給定區(qū)間 任意 都有) ③利用圖象求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和判斷單調(diào)性； ④單調(diào)性的證明及步驟。(取值 作差變形 定號(hào) 下結(jié)論) 數(shù)學(xué)思想與方法 ①學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)概念進(jìn)行判斷推理的能力，培養(yǎng)數(shù)形結(jié)合辯證思維能力。 ②養(yǎng)成細(xì)心觀察、認(rèn)真分析、嚴(yán)謹(jǐn)論證的良好思維習(xí)慣。 布置作業(yè) 課內(nèi)：P43習(xí)題1.3 A組 1，2 課外：自己設(shè)計(jì)一個(gè)表格，歸納一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)的單調(diào)性。