2022-2023學年高中數(shù)學 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-1

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1、2022-2023學年高中數(shù)學 第1部分 第3章 空間向量與立體幾何 章末小結(jié) 知識整合與階段檢測（含解析）蘇教版選修2-1 一、空間向量的線性運算 空間向量的線性運算包括加、減及數(shù)乘運算，選定空間不共面的向量作為基向量，并用它們表示出目標向量，這是用向量法解決立體幾何問題的基本要求，解題時，可結(jié)合已知和所求，根據(jù)圖形，利用向量運算法則表示所需向量． 二、空間向量的數(shù)量積 由a·b＝|a||b|cos〈a，b〉可知，利用該公式可求夾角、距離．還可由a·b＝0來判定垂直問題，要注意數(shù)量積是一個數(shù)，其符號由〈a，b〉的大小確定． 三、空間向量與平行和垂直 空間圖形中的平行與垂直問題是立

2、體幾何中最重要的問題之一，主要是運用直線的方向向量和平面的法向量解決． 利用空間向量解決空間中的位置關(guān)系的常用方法有： (1)線線平行． 證明兩條直線平行，只需證明兩條直線的方向向量是共線向量． (2)線線垂直． 證明兩條直線垂直，只需證明兩直線的方向向量垂直，且a⊥b?a·b＝0. (3)線面平行． 用向量證明線面平行的方法主要有： ①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直； ②證明可在平面內(nèi)找到一個向量與直線的方向向量是共線向量； ③利用共面向量定理，即證明可在平面內(nèi)找到兩不共線向量把直線的方向向量線性表示出來． (4)線面垂直． 用向量證明線面垂直的方法主要有：

3、 ①證明直線的方向向量與平面的法向量平行； ②利用線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線線垂直問題． (5)面面平行． ①證明兩個平面的法向量平行(即是共線向量)； ②轉(zhuǎn)化為線面平行、線線平行問題． (6)面面垂直． ①證明兩個平面的法向量互相垂直； ②轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直問題． 四、空間向量與空間角 利用空間向量求空間角，一般有兩種方法：即幾何法和向量法，利用向量法只需求出直線的方向向量與平面的法向量即可． (1)求兩異面直線所成的角可利用公式cos〈a，b〉＝，但務(wù)必注意兩異面直線所成角θ的范圍是，而兩向量之間的夾角的范圍是[0，π]． 故實質(zhì)上應(yīng)有cos θ＝|cos〈a，

4、b〉|. (2)求線面角． 求直線與平面所成的角時，一種方法是先求出直線及此直線在平面內(nèi)的射影直線的方向向量，通過數(shù)量積求出直線與平面所成的角；另一種方法是借助平面的法向量，先求出直線的方向向量與平面法向量的夾角φ，即可求出直線與平面所成的角θ，其關(guān)系是sin θ＝|cos φ|. (3)求二面角． 基向量法：利用定義在棱上找到兩個能表示二面角的向量，將其用一組基底表示，再做向量運算； 坐標法：建立空間直角坐標系，求得兩個半平面的法向量n1，n2，利用cos〈n1，n2〉＝結(jié)合圖形求得． 　 (時間120分鐘，滿分160分) 一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70

5、分．將答案填在題中的橫線上) 1．已知a＝(－3,2,5)，b＝(1，x，－1)，且a·b＝2，則x的值是________． 解析：a·b＝－3＋2x－5＝2，∴x＝5. 答案：5 2．設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點，且滿足·＝0，·＝0，·＝0，則△BCD的形狀是________． 解析：△BCD中，·＝(－)·(－)＝2＞0，∴∠B為銳角，同理，∠C，∠D均為銳角， ∴△BCD為銳角三角形． 答案：銳角三角形 3．已知直線l與平面α垂直，直線的一個方向向量為u＝(1,3，z)，向量v＝(3，－2,1)與平面α平行，則z＝________. 解析：∵平面α的法向量u＝(

6、1,3，z)，v與平面α平行，∴u⊥v， ∴u·v＝1×3＋3×(－2)＋z×1＝0， ∴z＝3. 答案：3 4．已知空間三點A(0,2,3)，B(－2,1,6)，C(1，－1,5)．若|a|＝，且a分別與，垂直，則向量a為__________． 解析：設(shè)a＝(x，y，z)，＝(－2，－1,3)，＝(1，－3,2)． 則解得a＝(1,1,1)或(－1，－1，－1)． 答案：(1,1,1)或(－1，－1，－1) 5．已知A(1,5，－2)，B(2,4,1)，C(x,3，y＋2)，且A、B、C三點共線，則實數(shù)x，y的值分別為________、________. 解析：若A、B、C

7、三點共線，則，也共線． ＝(1，－1,3)，＝(x－2，－1，y＋1)， ∴＝1＝.∴x＝3，y＝2. 答案：3　2 6．已知向量p關(guān)于基底{a，b，c}的坐標為(3,2，－1)，則p關(guān)于基底{2a，－b，c}的坐標是________． 解析：由已知得p＝3a＋2b－c， 則p＝(2a)＋(－2)(－b)＋(－2). 故p關(guān)于基底的坐標為. 答案： 7．已知直線l1，l2的方向向量分別為a，b，且a＝(1,2，－2)，b＝(－2,3，m)，若l1⊥l2，則實數(shù)m的值為________． 解析：∵l1⊥l2，∴a⊥b. ∴a·b＝1×(－2)＋2×3＋(－2)×m＝4－2m

8、＝0. ∴m＝2. 答案：2 8．已知a＝(cos α，1，sin α)，b＝(sin α，1，cos α)，則向量a＋b與a－b的夾角是________． 解析：(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝(cos2α＋sin2α＋1)－(sin2α＋1＋cos2α)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)． 答案：90° 9．已知向量a＝(cos θ，sin θ，1)，b＝(，－1,2)，則|2a－b|的最大值是________． 解析：因為2a－b＝(2cos θ－，2sin θ＋1,0)， 所以|2a－b|＝ ＝≤4. 答案：4 10．平面α的法向量為u＝(－1，－2，－1)，平面

9、β的法向量為v＝(2,4,2)，則不重合的平面α與平面β的位置關(guān)系為________． 解析：∵v＝－2(－1，－2，－1)＝－2u， ∴v∥u，∴α∥β. 答案：平行 11．已知直角△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AB＝4，D為AB的中點，沿中線將△ACD折起使得AB＝ ，則二面角A－CD－B的大小為________． 解析：如圖，取CD中點E，在平面BCD內(nèi)過B點作BF⊥CD，交CD延長線于F. 據(jù)題意知AE⊥CD， AE＝BF＝，EF＝2，AB＝. 且〈，〉為二面角的平面角， 由2＝(＋＋)2得 13＝3＋3＋4＋2×3×cos〈，〉， ∴cos〈，〉＝

10、－， ∴〈，〉＝120°. 即所求的二面角為120°. 答案：120° 12.如圖，在空間四邊形ABCD中，AC和BD為對角線，G為△ABC的重心，E是BD上一點，BE＝3ED，若以{，，}為基底，則＝________. 解析：＝－ ＝＋－ ＝＋－(＋) ＝＋－－－ ＝－－＋. 答案：－－＋ 13．正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1與平面ACD1所成角的余弦值為________． 解析：以D為原點，建立空間直角坐標系如圖，設(shè)正方體棱長為1，D(0,0,0)，B1(1,1,1)，B(1,1,0)，則＝(0,0,1)． ∵B1D⊥平面ACD1， ∴＝(1,1,

11、1)為平面ACD1的法向量． 設(shè)BB1與平面ACD1所成的角為θ， 則sin θ＝＝＝， ∴cos θ＝. 答案： 14．已知＝(1,2,3)，＝(2,1,2)，＝(1,1,2)，點Q在直線OP上運動，則當·取得最小值時，點Q的坐標為________． 解析：∵Q在OP上，∴可設(shè)Q(x，x,2x)， 則＝(1－x,2－x,3－2x)， ＝(2－x,1－x,2－2x)． ∴·＝6x2－16x＋10， ∴x＝時，·最小，這時Q. 答案： 二、解答題(本大題共6小題，共90分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟) 15．(本小題滿分14分)如圖，已知ABCD－A′B′C

12、′D′是平行六面體． (1)化簡＋＋，并在圖中標出其結(jié)果； (2)設(shè)M是BD的中點，N是側(cè)面BCC′B′對角線BC′上的分點，設(shè)＝α＋β＋γ，試求α、β、γ的值． 解：(1)取DD′的中點G，過點G作DC的平行線GH， 使GH＝DC，連接AH， 則＝＋＋. 如圖所示． (2)＝＋ ＝＋ ＝(－)＋(＋) ＝＋＋. ∴α＝，β＝，γ＝. 16．(本小題滿分14分)已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1，1,2)，C(－3,0,4)，設(shè)a＝，b＝. (1)求a和b的夾角θ的余弦值； (2)若向量ka＋b與ka－2b互相垂直，求k的值． 解：a＝＝(－1,1,2)

13、－(－2,0,2)＝(1,1,0)， b＝＝(－3,0,4)－(－2,0,2)＝(－1,0,2)． (1)cos θ＝＝＝－， ∴a與b的夾角θ的余弦值為－. (2)ka＋b＝(k，k,0)＋(－1,0,2)＝(k－1，k,2)， ka－2b＝(k，k,0)－(－2,0,4)＝(k＋2，k，－4)， ∴(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4) ＝(k－1)(k＋2)＋k2－8＝0. 即2k2＋k－10＝0， ∴k＝－或k＝2. 17．(本小題滿分14分)如圖所示，已知直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的三棱柱)ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，D是AB的中點，AC＝BC＝BB1.

14、 (1)求證：BC1⊥AB1； (2)求證：BC1∥平面CA1D. 證明：如圖所示，以C1點為原點，建立空間直角坐標系，設(shè)AC＝BC＝BB1＝2，則A(2,0,2)，B(0,2,2)，C(0,0,2)，A1(2,0,0)，B1(0,2,0)，C1(0,0,0)， D(1,1,2)． (1)由于＝(0，－2，－2)，＝(－2,2，－2)， ∴·＝0－4＋4＝0， 即⊥，故BC1⊥AB1. (2)取A1C的中點E，連結(jié)DE. 由于E(1,0,1)， ∴＝(0,1,1)，又＝(0，－2，－2)， ∴＝－，且ED與BC1不共線， ∴ED∥BC1，又ED?平面CA1D，BC1?

15、平面CA1D， ∴BC1∥平面CA1D. 18．(本小題滿分16分)正△ABC的邊長為4，CD是AB邊上的高，E，F(xiàn)分別是AC和BC邊的中點，現(xiàn)將△ABC沿CD翻折成直二面角A－DC－B. (1)試判斷直線AB與平面DEF的位置關(guān)系，并說明理由； (2)求二面角E－DF－C的余弦值； (3)在線段BC上是否存在一點P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由． 解：(1)在△ABC中，由E，F(xiàn)分別是AC，BC中點， 得EF∥AB， 又AB?平面DEF，EF?平面DEF， ∴AB∥平面DEF. (2)以點D為坐標原點，以直線DB、DC、DA分別為x軸、y軸、z

16、軸，建立空間直角坐標系，則A(0,0,2)，B(2,0,0)，C(0,2，0)，E(0，，1)，F(xiàn)(1，，0)，＝(1，，0)，＝(0，，1)，＝(0,0,2)． 平面CDF的法向量為＝(0,0,2)， 設(shè)平面EDF的法向量為n＝(x，y，z)， 則即 取n＝(3，－，3)， cos〈，n〉＝＝， 所以二面角E－DF－C的余弦值為. (3)存在．設(shè)P(s，t,0)，則·＝t－2＝0， ∴t＝， 又＝(s－2，t,0)，＝(－s,2－t,0)， ∵∥，∴(s－2)(2－t)＝－st， ∴s＋t＝2. 把t＝代入上式得s＝，∴＝·， ∴在線段BC上存在點P，使AP⊥D

17、E. 此時＝. 19．(北京高考)(本小題滿分16分)如圖1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AC＝6，D、E分別為AC、AB上的點，且DE∥BC，DE＝2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD，如圖2. (1)求證：A1C⊥平面BCDE； (2)若M是A1D的中點，求CM與平面A1BE所成角的大?。? (3)線段BC上是否存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由． 解：(1)證明：因為AC⊥BC，DE∥BC， 所以DE⊥AC. 所以ED⊥A1D，DE⊥CD，所以DE⊥平面A1DC. 所以DE⊥A1C. 又因為A1C⊥CD，且CD∩

18、DE＝D， 所以A1C⊥平面BCDE. (2)如圖，以C為坐標原點， CB、CD、CA1為x、y、z軸， 建立空間直角坐標系C－xyz， 則A1(0,0,2)，D(0,2,0)， M(0,1，)，B(3,0,0)， E(2,2,0)．設(shè)平面A1BE的法向量為n＝(x，y，z)， 則n·＝0，n·＝0. 又＝(3，0，－2)，BE＝(－1,2,0)， 所以 令y＝1，則x＝2，z＝.所以n＝(2,1，)． 設(shè)CM與平面A1BE所成的角為θ. 因為＝(0,1，) 所以sin θ＝|cos〈n，〉| ＝||＝＝. 所以CM與平面A1BE所成角的大小為. (3)線段

19、BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直，理由如下：假設(shè)這樣的點P存在， 設(shè)其坐標為(p,0,0)，其中p∈[0,3]． 設(shè)平面A1DP的法向量為m＝(x，y，z)，則 m·＝0，m·＝0. 又＝(0，2，－2)，＝(p，－2,0)， 所以 令x＝2，則y＝p，z＝.所以m＝. 平面A1DP⊥平面A1BE，當且僅當m·n＝0， 即4＋p＋p＝0. 解得p＝－2，與p∈[0,3]矛盾． 所以線段BC上不存在點P，使平面A1DP與平面A1BE垂直． 20．(山東高考)(本小題滿分16分) 如圖所示，在三棱錐P－ABQ中，PB⊥平面ABQ，BA＝BP＝BQ，D，C，E

20、，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，AQ＝2BD，PD與EQ交于點G，PC與FQ交于點H，連接GH. (1)求證：AB∥GH； (2)求二面角D－GH－E的余弦值． 解：(1)證明：因為D，C，E，F(xiàn)分別是AQ，BQ，AP，BP的中點，所以EF∥AB，DC∥AB.所以EF∥DC. 又EF?平面PCD，DC?平面PCD， 所以EF∥平面PCD. 又EF?平面EFQ，平面EFQ∩平面PCD＝GH， 所以EF∥GH. 又EF∥AB，所以AB∥GH. (2)在△ABQ中，AQ＝2BD，AD＝DQ， 所以∠ABQ＝90°. 又PB⊥平面ABQ， 所以BA，BQ，BP兩兩垂直．

21、 以B為坐標原點，分別以BA，BQ，BP所在直線為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系． 設(shè)BA＝BQ＝BP＝2， 則E(1,0,1)，F(xiàn)(0,0,1)，Q(0,2,0)，D(1,1,0)，C(0,1,0)，P(0,0,2)． 所以＝(－1,2，－1)，＝(0,2，－1)， ＝(－1，－1，2)，＝(0，－1,2)． 設(shè)平面EFQ的一個法向量為m＝(x1，y1，z1)， 由m·＝0，m·＝0，得 取y1＝1，得m＝(0,1,2)． 設(shè)平面PDC的一個法向量為n＝(x2，y2，z2)， 由n·＝0，n·＝0，得 取z2＝1，得n＝(0,2,1)， 所以cos〈m，n〉＝＝. 因為二面角D－GH－E為鈍角， 所以二面角D－GH－E的余弦值為－.