高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2
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1、高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明知能基礎(chǔ)測試 新人教B版選修2-2 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.) 1.k棱柱有f(k)個對角面,則k+1棱柱的對角面?zhèn)€數(shù)f(k+1)為( ) A.f(k)+k-1 B.f(k)+k+1 C.f(k)+k D.f(k)+k-2 [答案] A [解析] 增加的一條側(cè)棱與其不相鄰的k-2條側(cè)棱形成k-2個對角面,而過與其相鄰的兩條側(cè)棱的截面原來為側(cè)面,現(xiàn)在也成了一個對角面,故共增加了k-1個對角面,∴f(k+1)=f(k)+k-1.故選A. 2.已知a>0,b>0,a、b
2、的等差中項(xiàng)為,且α=a+,β=b+,則α+β的最小值為( ) A.3 B.4 C.5 D.6 [答案] C [解析] 由已知得a+b=1, ∴α+β=a++b+=1++=3++≥3+2=5.故選C. 3.已知f(x)=x3+x(x∈R),a、b、c∈R,且a+b>0,b+c>0,c+a>0,則f(a)+f(b)+f(c)的符號為( ) A.正 B.負(fù) C.等于0 D.無法確定 [答案] A [解析] ∵f′(x)=3x2+1>0, ∴f(x)在R上是增函數(shù). 又a+b>0,∴a>-b.∴f(a)>f(-b). 又f(x)=x3+x是奇函數(shù), ∴f(a)>-f(b
3、),即f(a)+f(b)>0. 同理:f(b)+f(c)>0,f(c)+f(a)>0, ∴f(a)+f(b)+f(c)>0,故選A. 4.(xx·東北三校模擬) 下列代數(shù)式(其中k∈N*)能被9整除的是( ) A.6+6·7k B.2+7k-1 C.2(2+7k+1) D.3(2+7k) [答案] D [解析] 特值法:當(dāng)k=1時,顯然只有3(2+7k)能被9整除,故選D. 證明如下: 當(dāng)k=1時,已驗(yàn)證結(jié)論成立, 假設(shè)當(dāng)k=n(n∈N*)時,命題成立,即3(2+7n)能被9整除,那么3(2+7n+1)=21(2+7n)-36. ∵3(2+7n)能被9整除,36能被9整
4、除, ∴21(2+7n)-36能被9整除, 這就是說,k=n+1時命題也成立. 故命題對任何k∈N*都成立. 5.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n×3n-1=3n(na-b)+c對一切n∈N*都成立,那么a,b,c的值為( ) A.a(chǎn)=,b=c= B.a(chǎn)=b=c= C.a(chǎn)=0,b=c= D.不存在這樣的a、b、c [答案] A [解析] 令n=1,得1=3(a-b)+c, 令n=2,得1+2×3=9(2a-b)+c, 令n=3,得1+2×3+3×32=27(3a-b)+c. 即, ∴a=,b=c=.故選A. 6.若m,n是正整數(shù),則m+n>mn成立的充要條
5、件是( ) A.m,n都等于1 B.m,n都不等于2 C.m,n都大于1 D.m,n至少有一個等于1 [答案] D [解析] ∵m+n>mn,∴(m-1)(n-1)<1. ∵m,n∈N*,∴(m-1)(n-1)∈Z, ∴(m-1)(n-1)=0. ∴m=1或n=1,故選D. 7.給出以下類比推廣,其中類比推廣符合類比推理要求的有( ) (1)在平面內(nèi):如果一條直線和兩條平行線中的一條相交,則必和另一條相交. 推廣到空間中:如果一個平面和兩個平行平面中的一個相交,則必和另一個相交. (2)在平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),則A、B兩點(diǎn)間的距離為
6、|AB|=. 類比上述結(jié)論在空間直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),則有A、B兩點(diǎn)間的距離為|AB| =. (3)建立了向量的坐標(biāo)表示后,平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)就與向量的坐標(biāo)建立了一一對應(yīng)關(guān)系,若a=(x1,y1),b=(x2,y2),則有a+b=(x1+x2,y1+y2). 類比上述結(jié)論,建立復(fù)數(shù)與平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系后,復(fù)數(shù)z1=x1+y1i,z2=x2+y2i,則應(yīng)有z1+z2=(x1+x2)+(y1+y2)i. A.1個 B.2個 C.3個 D.0個 [答案] C [解析]?、賹⑵矫骖惐戎本€正確; ②平面內(nèi)兩點(diǎn)間距離與空間中兩點(diǎn)
7、的距離類比正確; ③將復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示與向量的坐標(biāo)表示類比,復(fù)數(shù)的加法與向量的加法類比,正確.故選C. 8. (xx·濟(jì)寧梁山一中高二期中)已知函數(shù)f(x)滿足f(0)=0,導(dǎo)函數(shù)f ′(x)的圖象如圖所示,則f(x)的圖象與x軸圍成的封閉圖形的面積為( ) A. B. C.2 D. [答案] B [解析] 由f ′(x)的圖象知,f ′(x)=2x+2, 設(shè)f(x)=x2+2x+c,由f(0)=0知,c=0,∴f(x)=x2+2x, 由x2+2x=0得x=0或-2. 故所求面積S=- (x2+2x)dx==. 9.平面上有n個圓,其中每兩個都相交于兩點(diǎn),每三個都無公共
8、點(diǎn),它們將平面分成f(n)塊區(qū)域,有f(1)=2,f(2)=4,f(3)=8,則f(n)的表達(dá)式為( ) A.2n B.n2-n+2 C.2n-(n-1)(n-2)(n-3) D.n3-5n2+10n-4 [答案] B [解析] 四個選項(xiàng)的前三項(xiàng)是相同的,但第四項(xiàng)f(4)=14(如圖)就只有B符合,從而否定A,C,D,選B,一般地,可用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)=n2-n+2.故選B. 10.已知等比數(shù)列an=,其前n項(xiàng)和為Sn=k,則Sk+1與Sk的遞推關(guān)系不滿足( ) A.Sk+1=Sk+ B.Sk+1=1+Sk C.Sk+1=Sk+ak+1 D.Sk+1=3Sk-
9、3+ak+ak+1
[答案] A
[解析] Sk+1=a1+a2+…+ak+ak+1
=Sk+ak+1.C真.
Sk+1=1++…+
=1+×=1+Sk.B真.
3Sk=3×
=3+1++…+
=3+-ak-ak+1
=3+Sk+1-ak-ak+1.D真.
事實(shí)上,Sk+1=Sk+ak+1=Sk+.A不真.故選A.
11.下列結(jié)論正確的是( )
A.當(dāng)x>0且x≠1時,lgx+≥2
B.當(dāng)x>0時,+≥2
C.當(dāng)x≥2時,x+的最小值為2
D.當(dāng)0 10、(x)=x-的單調(diào)性,當(dāng)x=2時,f(2)max=,故D錯.故選B.
12.有一個奇數(shù)列1,3,5,7,9…現(xiàn)在進(jìn)行如下分組:第一組含一個數(shù){1},第二組含兩個數(shù){3,5},第三組含三個數(shù){7,9,11},第四組含四個數(shù){13,15,17,19},…觀察每組內(nèi)各數(shù)之和與其組的編號數(shù)n的關(guān)系為( )
A.等于n2 B.等于n3
C.等于n4 D.等于(n+1)n
[答案] B
二、填空題(本大題共4個小題,每小題4分,共16分.將正確答案填在題中橫線上)
13.(xx·安陽中學(xué)高二期末)設(shè)函數(shù)f(x)=(x>0),觀察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=,f3( 11、x)=f(f2(x))=,f4(x)=f(f3(x))=,……根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:當(dāng)n∈N*且n≥2時,fn(x)=f(fn-1(x))=________.
[答案]
[解析] 觀察f1(x)、f2(x)、f3(x)、f4(x)的表達(dá)式可見,fn(x)的分子為x,分母中x的系數(shù)比常數(shù)項(xiàng)小1,常數(shù)項(xiàng)依次為2,4,8,16……2n.故fn(x)=.
14.(xx·廈門六中高二期中)在平面上,我們用一直線去截正方形的一個角,那么截下的一個直角三角形,按如圖所標(biāo)邊長,由勾股定理有c2=a2+b2.設(shè)想正方形換成正方體,把截線換成如圖截面,這時從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐O- 12、LMN,如果用S1、S2、S3表示三個側(cè)面面積,S表示截面面積,那么類比得到的結(jié)論是________.
[答案] S2=S+S+S
[解析] 類比如下:
正方形?正方體;截下直角三角形?截下三側(cè)面兩兩垂直的三棱錐;直角三角形斜邊平方?三棱錐底面面積的平方;直角三角形兩直角邊平方和?三棱錐三個側(cè)面面積的平方和,結(jié)論S2=S+S+S.
證明如下:如圖,作OE⊥平面LMN,垂足為E,連接LE并延長交MN于F,
∵LO⊥OM,LO⊥ON,
∴LO⊥平面MON,
∵M(jìn)N?平面MON,
∴LO⊥MN,
∵OE⊥MN,∴MN⊥平面OFL,∴S△OMN=MN·OF,S△MNE=MN· 13、FE,S△MNL=MN·LF,OF2=FE·FL,∴S=(MN·OF)2=(MN·FE)·(MN·FL)=S△MNE·S△MNL,同理S=S△MLE·S△MNL,S=S△NLE·S△MNL,∴S+S+S=(S△MNE+S△MLE+S△NLE)·S△MNL=S,即S+S+S=S2.
15.對于大于1的自然數(shù)m的n次冪可用奇數(shù)進(jìn)行如圖所示的“分裂”,仿此,記53的“分裂”中的最小數(shù)為a,而52的“分裂”中最大的數(shù)是b,則a+b=________.
[答案] 30
[解析] 類比規(guī)律
∴a=21,b=9故a+b=30.
16.(xx·洛陽部分重點(diǎn)中學(xué)教學(xué)檢測)觀察下列等式:×=1-,× 14、+×=1-,×+×+×=1-,……,由以上等式推測到一個一般的結(jié)論:對于n∈N*,×+×+…+×=________.
[答案] 1-
[解析] 由已知中的等式:×=1-
×+×=1-,
×+×+×=1-,…,
所以對于n∈N*,×+×+…+×=1-.
三、解答題(本大題共6個小題,共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17.(本題滿分12分)(xx·濟(jì)南市高二下學(xué)期期末測試)已知a、b、c是互不相等的非零實(shí)數(shù).用反證法證明三個方程ax2+2bx+c=0,bx2+2cx+a=0,cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實(shí)根.
[證明] 假設(shè)三個方程中都沒有兩個 15、相異實(shí)根,
則Δ1=4b2-4ac≤0,Δ2=4c2-4ab≤0,
Δ3=4a2-4bc≤0.
相加有a2-2ab+b2+b2-2bc+c2+c2-2ac+a2≤0,
即(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0.
由題意a、b、c互不相等,∴①式不能成立.
∴假設(shè)不成立,即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實(shí)根.
18.(本題滿分12分)(xx·華池一中高二期中)在圓x2+y2=r2(r>0)中,AB為直徑,C為圓上異于A、B的任意一點(diǎn),則有kAC·kBC=-1.你能用類比的方法得出橢圓+=1(a>b>0)中有什么樣的結(jié)論?并加以證明.
[解析] 類比得到的結(jié)論是:在橢圓+ 16、=1(a>b>0)中,A、B分別是橢圓長軸的左右端點(diǎn),點(diǎn)C(x,y)是橢圓上不同于A、B的任意一點(diǎn),則kAC·kBC=-
證明如下:設(shè)A(x0,y0)為橢圓上的任意一點(diǎn),則A關(guān)于中心的對稱點(diǎn)B的坐標(biāo)為B(-x0,-y0),點(diǎn)P(x,y)為橢圓上異于A,B兩點(diǎn)的任意一點(diǎn),則kAP·kBP=·=.
由于A、B、P三點(diǎn)在橢圓上,∴
兩式相減得,+=0,
∴=-,即kAP·kBP=-.
故在橢圓+=1(a>b>0)中,長軸兩個端點(diǎn)為A、B、P為異于A、B的橢圓上的任意一點(diǎn),則有kAB·kBP=-.
19.(本題滿分12分)已知a、b∈R,求證:≥.
[證明] 設(shè)f(x)=,x∈[0,+∞ 17、).設(shè)x1、x2是[0,+∞)上的任意兩個實(shí)數(shù),且0≤x1 18、a2-2ab+b2>0成立.
即需證(a-b)2>0成立.
而依題設(shè)a≠b,則(a-b)2>0顯然成立.
由此命題得證.
證法2:用綜合法.
a≠b?a-b≠0?(a-b)2>0
?a2-2ab+b2>0?a2-ab+b2>ab.
注意到a,b∈R+,a+b>0,由上式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b).
∴a3+b3>a2b+ab2.
21.(本題滿分12分)(1)已知x,y∈R,求證下列不等式:
①x2+y2≥2;
②x2+y2≥2;
③x2+y2≥2.
(2)根據(jù)上述不等式,請你推出更一般的結(jié)論,并證明你的結(jié)論.
[解析] (1)證明:①x2+ 19、y2-2
=x2+y2-x2-xy-y2
=x2-xy+y2=2≥0,
∴x2+y2≥2.
②x2+y2-2=x2+y2-xy=(x2-2xy+y2)=(x-y)2≥0,
∴x2+y2≥2.
③x2+y2-2
=x2+y2-=(x-y)2≥0,
∴x2+y2≥2.
(2)一般的結(jié)論是:已知x,y∈R,a,b都是正數(shù),且a+b=1,則(ax2+by2)≥(ax+by)2.
證明:∵a+b=1,∴a=1-b>0,b=1-a>0.
∵(ax2+by2)-(ax+by)2=(a-a2)x2-2abxy+(b-b2)y2=a(1-a)x2-2a(1-a)xy+a(1-a)y2=a( 20、1-a)(x2-2xy+y2)=a(1-a)(x-y)2,
又∵a>0,1-a>0,(x-y)2≥0,
∴(ax2+by2)-(ax+by)2≥0,
即ax2+by2≥(ax+by)2.
22.(本題滿分14分)在各項(xiàng)為正的數(shù)列{an}中,數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn=.
(1)求a1,a2,a3;
(2)由(1)猜想數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.
[解析] (1)由S1=a1=得a=1,
∵an>0,∴a1=1.
由S2=a1+a2=得a+2a2-1=0.
∴a2=-1.
由S3=a1+a2+a3=得a+2a3-1=0.∴a3=-.
(2)猜想an=-(n∈N*).
證明如下:①n=1時,a1=-命題成立.
②假設(shè)n=k時,ak=-成立,
則n=k+1時,
ak+1=Sk+1-Sk=-,
即ak+1=-
=-,
∴a+2ak+1-1=0.∴ak+1=-.
即n=k+1時,命題成立,
由①②知,n∈N*,an=-.
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