2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.1 直線(xiàn)與圓 文

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1、2022屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 解析幾何 課后綜合提升練 1.5.1 直線(xiàn)與圓 文 (30分鐘　55分) 一、選擇題(每小題5分,共25分) 1.已知三條直線(xiàn)x=1,x-2y-3=0,mx+y+2=0交于一點(diǎn),則m的值為 (　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】選C.由方程組解得x=1,y=-1,代入mx+y+2=0中,得m-1+2=0,所以m=-1. 2.點(diǎn)P(-1,1)關(guān)于直線(xiàn)ax-y+b=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q(3,-1),則a,b的值分別是 (　　) A.-2,2 B.2,-2 C.,- D., 【解析】選B.因?yàn)辄c(diǎn)P

2、(-1,1)關(guān)于直線(xiàn)ax-y+b=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是Q(3,-1),所以a×=-1,a×-+b=0,所以a=2,b=-2. 3.已知過(guò)定點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=相交于A,B兩點(diǎn),O為坐標(biāo)原點(diǎn),當(dāng)△AOB的面積最大時(shí),直線(xiàn)l的傾斜角為 (　　) A.150° B.135° C.120° D.30° 【解析】選A.設(shè)∠AOB=α,則S△AOB=()2sin α=sin α ≤1,當(dāng)且僅當(dāng)α=90°時(shí),取等號(hào).此時(shí),△AOB為等腰直角三角形,如圖,斜邊為BA,斜邊上的高為1,又因?yàn)镺P=2,所以 ∠BPO=30°,所以直線(xiàn)l的傾斜角為150°. 4.設(shè)直線(xiàn)x-y+m=0(m

3、∈R)與圓(x-2)2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作x軸的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn).若線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度為,則m= (　　) A.1或3 B.1或-3 C.-1或3 D.-1或-3 【解析】選D.聯(lián)立得2x2+2(m-2)x+m2=0,則Δ=-4(m2+4m-4). 設(shè)C(x1,y1),D(x2,y2),則x1+x2=2-m,x1x2=, 所以|CD|=|x1-x2|===,解得m=-3或m=-1,此時(shí)Δ>0成立. 5.已知圓(x+3)2+y2=64的圓心為M,設(shè)A為圓上任一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),線(xiàn)段AN的垂直平分線(xiàn)交MA于點(diǎn)P,則的取值范圍是 (　　)

4、A. B. C. D. 【解析】選C.因?yàn)閳A(x+3)2+y2=64的圓心為M,A為圓上任一點(diǎn),點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3,0),線(xiàn)段AN的垂直平分線(xiàn)交MA于點(diǎn)P, 所以P是AN的垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn), 所以PA=PN, 又因?yàn)锳M=8, 所以點(diǎn)P滿(mǎn)足PM+PN=AM=8>MN=6, 即P點(diǎn)滿(mǎn)足橢圓的定義,焦點(diǎn)是(3,0),(-3,0),半長(zhǎng)軸a=4, 故P點(diǎn)軌跡方程為+=1, 因?yàn)镻M+PN=8,所以==-1, 因?yàn)?≤PN≤7, 所以∈, 所以∈. 二、填空題(每小題5分,共15分) 6.已知直線(xiàn)x+y+m=0與圓x2+y2=2交于不同的兩點(diǎn)A,B,O是坐標(biāo)原點(diǎn),|

5、+|≥||,那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是____________.? 【解析】因?yàn)橹本€(xiàn)x+y+m=0與圓x2+y2=2交于相異兩點(diǎn)A,B, 所以O(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)x+y+m=0的距離d<, 又因?yàn)閨+|≥||,由平行四邊形定理可知,夾角為鈍角的鄰邊所對(duì)的對(duì)角線(xiàn)比夾角為銳角的鄰邊所對(duì)的對(duì)角線(xiàn)短, 所以和的夾角為銳角. 又因?yàn)橹本€(xiàn)x+y+m=0的斜率為-1,即直線(xiàn)與x的負(fù)半軸的夾角為45度,當(dāng)和 的夾角為直角時(shí),直線(xiàn)與圓交于(-,0),(0,-)或(,0),(0,),此時(shí)原 點(diǎn)與直線(xiàn)的距離為1,故d≥1,綜合可知1≤d<,又d=,所以1≤<, 解得:-2

6、∪[,2) 7.若過(guò)點(diǎn)P(1,)作圓O:x2+y2=1的兩條切線(xiàn),切點(diǎn)分別為A,B兩點(diǎn),則|AB|=____________.? 【解析】由圓的方程x2+y2=1,得到圓心O(0,0),半徑r=1, 所以|OA|=|OB|=1, 因?yàn)镻A,PB分別為圓的切線(xiàn), 所以O(shè)A⊥AP,OB⊥PB,|PA|=|PB|,OP為∠APB的平分線(xiàn), 因?yàn)镻(1,),O(0,0), 所以|OP|=2, 在Rt△AOP中,根據(jù)勾股定理得:|AP|==, 因?yàn)閨OA|=|OP|,所以∠APO=30°, 所以∠APB=60°, 所以△PAB為等邊三角形, 則|AB|=|AP|=. 答案:

7、 8.若P(2,-1)為圓x2+y2-2x-24=0的弦AB的中點(diǎn),則直線(xiàn)AB的方程_______.? 【解析】圓x2+y2-2x-24=0即(x-1)2+y2=25,表示以C(1,0)為圓心,以5為半徑的圓.由于P(2,-1)為圓x2+y2-2x-24=0的弦AB的中點(diǎn),故有CP⊥AB,因?yàn)镃P的斜率為=-1,故AB的斜率為1,由點(diǎn)斜式求得直線(xiàn)AB的方程為y+1=x-2,即 x-y-3=0. 答案:x-y-3=0 三、解答題 9.(15分)已知過(guò)點(diǎn)A(1,0)且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點(diǎn). (1)求k的取值范圍. (2)·=12,其中O

8、為坐標(biāo)原點(diǎn),求|MN|. 【解析】(1)設(shè)過(guò)A(1,0)的直線(xiàn)與圓C相切, 顯然當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí),直線(xiàn)x=1與圓C相切, 當(dāng)直線(xiàn)斜率存在時(shí),設(shè)切線(xiàn)方程為k0x-y-k0=0,圓C的半徑r=1. 則圓心C(2,3)到直線(xiàn)的距離為=1, 解得k0=. 因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線(xiàn)l與圓C有兩個(gè)交點(diǎn), 所以k>. (2)直線(xiàn)l的方程為y=k(x-1), 代入圓C的方程得:(1+k2)x2-(2k2+6k+4)x+k2+6k+12=0, 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2), 則x1x2=, x1+x2=, 所以y1y2=k2(x1-1)(x2-1) =k2(x1x2-x1

9、-x2+1)=, 所以·=x1x2+y1y2==12,解得k=3或k=0(舍), 所以l的方程為3x-y-3=0. 故圓心(2,3)在直線(xiàn)l上, 所以|MN|=2r=2. 【提分備選】 已知直線(xiàn)l:y=k(x+1)+與圓x2+y2=4交于A,B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別做l的垂線(xiàn)與x軸交于C,D兩點(diǎn),若|AB|=4,則|CD|=____________.? 【解析】由圓的方程x2+y2=4可知:圓心為(0,0),半徑r=2. 因?yàn)橄议L(zhǎng)為|AB|=4=2r, 所以可以得知直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓心O. 所以0=k(0+1)+,解得k=-, 所以直線(xiàn)AB的方程為:y=-x, 設(shè)直線(xiàn)AB的傾斜角

10、為θ,則tan θ=-,所以θ=120°, 所以在Rt△AOC中,|CO|==4, 那么|CD|=2|OC|=8. 答案:8 (20分鐘　20分) 1.(10分)已知點(diǎn)P(2,0)及圓C:x2+y2-6x+4y+4=0. (1)若直線(xiàn)l過(guò)點(diǎn)P且與圓心C的距離為1,求直線(xiàn)l的方程. (2)設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)l1與圓C交于M,N兩點(diǎn),當(dāng)|MN|=4時(shí),求以線(xiàn)段MN為直徑的圓Q的方程. (3)設(shè)直線(xiàn)ax-y+1=0與圓C交于A,B兩點(diǎn),是否存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)l2垂直平分弦AB?若存在,求出實(shí)數(shù)a的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由. 【解析】(1)設(shè)直線(xiàn)l的斜率為k(k存在)

11、, 則方程y-0=k(x-2),即kx-y-2k=0, 又圓C的圓心為(3,-2),半徑r=3, 由=1,解得k=-. 所以直線(xiàn)方程為y=-(x-2),即3x+4y-6=0. 當(dāng)l的斜率不存在時(shí),l的方程為x=2,經(jīng)驗(yàn)證x=2也滿(mǎn)足條件. 綜上所述,直線(xiàn)l的方程為x=2或3x+4y-6=0. (2)由于|CP|=,而弦心距d==, 所以d=|CP|=. 所以P恰為MN的中點(diǎn). 故以MN為直徑的圓Q的方程為(x-2)2+y2=4. (3)把直線(xiàn)y=ax+1,代入圓C的方程, 消去y,整理得(a2+1)x2+6(a-1)x+9=0. 由于直線(xiàn)ax-y-1=0交圓C于A,B兩

12、點(diǎn), 故Δ=36(a-1)2-36(a2+1)>0, 即-2a>0,解得a<0. 則實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞,0). 設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)a存在,由于l2垂直平分弦AB,故圓心C(3,-2)必在l2上. 所以l2的斜率kPC=-2,而kAB=a=-,所以a=. 由于?(-∞,0),故不存在實(shí)數(shù)a,使得過(guò)點(diǎn)P(2,0)的直線(xiàn)l2垂直平分弦AB. 2.(10分)已知圓A:x2+y2+2x-15=0,過(guò)點(diǎn)B(1,0)作直線(xiàn)l(與x軸不重合)交圓A于C,D兩點(diǎn),過(guò)點(diǎn)B作AC的平行線(xiàn)交AD于點(diǎn)E. (1) 求點(diǎn)E的軌跡方程. (2)動(dòng)點(diǎn)M在曲線(xiàn)E上,動(dòng)點(diǎn)N在直線(xiàn)l:y=2上,若OM⊥ON,

13、求證:原點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離是定值. 【解析】(1)如圖,因?yàn)閨AD|=|AC|,EB∥AC,故∠EBD=∠ACD=∠ADC,所以|EB|=|ED|, 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圓A的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+1)2+y2=16,從而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4, 由題設(shè)得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由橢圓的定義可得點(diǎn)E的軌跡方程為+=1. (2)①若直線(xiàn)ON的斜率不存在, 則|ON|=2,|OM|=2,|MN|=4, 原點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離d==. ②若直線(xiàn)ON的斜率存在,設(shè)直線(xiàn)OM的方程為y=kx,代入+=1,得x2=,y2=, 直線(xiàn)ON的方程為y=-x,代入y=2,得 N(-2k,2). 由題意知|MN|2=|ON|2+|OM|2 =(-2k)2+(2)2+=. 設(shè)原點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離為d,由題意知 |MN|·d=|OM|·|ON|, 得d2==3,則d=. 綜上所述,原點(diǎn)O到直線(xiàn)MN的距離為定值.