（新課標）2020版高考數(shù)學二輪復習 第三部分 教材知識 重點再現(xiàn) 回顧8 解析幾何學案 文 新人教A版

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1、回顧8　解析幾何 [必記知識] 直線方程的五種形式 名稱 方程的形式 常數(shù)的幾何意義 適用范圍 點斜式 y－y0＝ k(x－x0) (x0，y0)是直線上一定點，k是斜率 不垂直于x軸 斜截式 y＝kx＋b k是斜率，b是直線在y軸上的截距 不垂直于x軸 兩點式 ＝ (x1，y1)，(x2，y2)是直線上兩定點 不垂直于x軸和y軸 截距式 ＋＝1 a是直線在x軸上的非零截距，b是直線在y軸上的非零截距 不垂直于x軸和y軸，且不過原點 一般式 Ax＋By＋C ＝0(A，B不同 時為零) A，B都不為零時，斜率為－，在x軸上的截距為－，在y

2、軸上的截距為－ 任何位置的直線 圓的四種方程 (1)圓的標準方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)． (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)． (3)圓的參數(shù)方程：(θ為參數(shù))． (4)圓的直徑式方程：(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0(圓的直徑的端點是A(x1，y1)，B(x2，y2))． 直線與圓的位置關(guān)系 直線l：Ax＋By＋C＝0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)有相交、相離、相切三種情況．可從代數(shù)和幾何兩個方面來判斷： (1)代數(shù)方法(判斷直線與圓的方程聯(lián)立所得方程組的解的情況)：

3、Δ>0?相交；Δ<0?相離；Δ＝0?相切． (2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則dr?相離；d＝r?相切． 圓與圓的位置關(guān)系 設圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)，則其位置關(guān)系的判斷方法如下表： 　　　　方法 位置關(guān)系　 幾何法 代數(shù)法 公切線的條數(shù) 圓心距d與r1，r2 的關(guān)系 聯(lián)立兩圓方程組成 方程組的解的情況 外離 d>r1＋r2 無解 4 外切 d＝r1＋r2 一組實數(shù)解 3 相交 |r1－r2|

4、r2 兩組不同的實數(shù)解 2 內(nèi)切 d＝|r1－r2|(r1≠r2) 一組實數(shù)解 1 內(nèi)含 0≤d<|r1－r2|(r1≠r2) 無解 0 橢圓的標準方程及幾何性質(zhì) 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 圖形 幾何 性質(zhì) 范圍 －a≤x≤a， －b≤y≤b －b≤x≤b， －a≤y≤a 對稱性 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點 焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 頂點 A1(－a，0)，A2(a，0)； B1(0，－b)，B2(0，b) A1(0，－a)，A2(0，

5、a)； B1(－b，0)，B2(b，0) 軸 線段A1A2，B1B2分別是橢圓的長軸和短軸；長軸長為2a，短軸長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 焦距與長軸長的比值：e∈(0，1) a，b，c 的關(guān)系 c2＝a2－b2 雙曲線的標準方程及幾何性質(zhì) 標準方程 －＝1 (a>0，b>0) －＝1 (a>0，b>0) 圖形 幾何性質(zhì) 范圍 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R 對稱性 對稱軸：x軸，y軸；對稱中心：原點 焦點 F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) 頂點 A1(

6、－a，0)，A2(a，0) A1(0，－a)，A2(0，a) 幾何性質(zhì) 軸 線段A1A2，B1B2分別是雙曲線的實軸和虛軸；實軸長為2a，虛軸長為2b 焦距 |F1F2|＝2c 離心率 焦距與實軸長的比值：e∈(1，＋∞) 漸近線 y＝±x y＝±x a，b，c的關(guān)系 a2＝c2－b2 拋物線的標準方程及幾何性質(zhì) 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 幾何性質(zhì) 對稱軸 x軸 y軸 頂點 O(0，0) 焦點 F F F

7、F 準線 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 離心率 e＝1 [必會結(jié)論] 常見的直線系方程 (1)過定點P(x0，y0)的直線系方程：A(x－x0)＋B(y－y0)＝0(A2＋B2≠0)，還可以表示為y－y0＝k(x－x0)(斜率不存在時可為x＝x0)． (2)平行于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Ax＋By＋λ＝0(λ≠C)． (3)垂直于直線Ax＋By＋C＝0的直線系方程：Bx－Ay＋λ＝0. (4)過兩條已知直線A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0的交點的直

8、線系方程：A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直線A2x＋B2y＋C2＝0)． 與圓的切線有關(guān)的結(jié)論 (1)過圓x2＋y2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為x0x＋y0y＝r2. (2)過圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點P(x0，y0)的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2. (3)過圓x2＋y2＝r2外一點P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點為A，B，則過A、B兩點的直線方程為x0x＋y0y＝r2. (4)若圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，則過圓外一點P(x0，y0)的切線長d＝. 雙曲線的

9、方程與漸近線方程的關(guān)系 (1)若雙曲線的方程為－＝1，則漸近線的方程為－＝0，即y＝±x. (2)若漸近線的方程為y＝±x，即±＝0，則雙曲線的方程可設為－＝λ. (3)若所求雙曲線與雙曲線－＝1有公共漸近線，其方程可設為－＝λ(λ>0，焦點在x軸上；λ<0，焦點在y軸上)． (4)焦點到漸近線的距離總是b. 拋物線焦點弦的常用結(jié)論 設AB是過拋物線y2＝2px(p>0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，α為直線AB的傾斜角，則 (1)焦半徑|AF|＝x1＋＝，|BF|＝x2＋＝. (2)x1x2＝，y1y2＝－p2. (3)弦長|AB|＝x1＋x2＋p＝.

10、 (4)＋＝. (5)以弦AB為直徑的圓與準線相切． (6)S△OAB＝(O為拋物線的頂點)． [必練習題] 1．(一題多解)(2019·高考北京卷)已知雙曲線－y2＝1(a＞0)的離心率是，則a＝(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. 4 C. 2 D. 解析：選D.通解：由雙曲線方程可知b2＝1，所以c＝＝，所以e＝＝＝，解得a＝，故選D. 優(yōu)解：由e＝，e2＝1＋，b2＝1，得5＝1＋，得a＝，故選D. 2．(一題多解)(2019·石家莊市模擬(一))已知圓C截兩坐標軸所得弦長相等，且圓C過點(－1，0)和(2，3)，則圓C的半徑為(　　) A．8 B．

11、2 C．5 D. 解析：選D.通解：設圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，因為圓C經(jīng)過點(－1，0)和(2，3)，所以，所以a＋b－2＝0　①，又圓C截兩坐標軸所得弦長相等，所以|a|＝|b|　②，由①②得a＝b＝1，所以圓C的半徑為，故選D. 優(yōu)解：設圓C過點M(－1，0)和N(2，3)，所以圓心C在線段MN的垂直平分線y＝－x＋2上，又圓C截兩坐標軸所得弦長相等，所以圓心C到兩坐標的距離相等，所以圓心在直線y＝±x上，因為直線y＝－x和直線y＝－x＋2平行，所以圓心C為直線y＝x和直線y＝－x＋2的交點(1，1)，所以圓C的半徑為，故選D. 3．(2019

12、·合肥市第二次質(zhì)量檢測)已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的一條漸近線方程為y＝2x，且經(jīng)過點P(，4)，則雙曲線的方程是(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D．x2－＝1 解析：選C.因為雙曲線的一條漸近線方程為y＝2x，所以＝2?、?又雙曲線過點P(，4)，所以－＝1?、?①②聯(lián)立，解得a＝，b＝2，所以雙曲線的方程為－＝1，故選C. 4．(2019·成都市第二次診斷性檢測)已知a∈R且為常數(shù)，圓C：x2＋2x＋y2－2ay＝0，過圓C內(nèi)一點(1，2)的直線l與圓C相交于A，B兩點．當∠ACB最小時，直線l的方程為2x－y＝0，則a的值為(　　) A．2 B

13、．3 C．4 D．5 解析：選B.圓的方程配方，得(x＋1)2＋(y－a)2＝1＋a2，圓心為C(－1，a)，當弦AB長度最短時，∠ACB最小，此時圓心C與定點(1，2)的連線和直線2x－y＝0垂直，所以×2＝－1，a＝3. 5．(2019·武漢部分學校調(diào)研)如圖，拋物線E：x2＝4y與M：x2＋(y－1)2＝16交于A，B兩點，點P為劣弧上不同于A，B的一個動點，平行于y軸的直線PN交拋物線E于點N，則△PMN的周長的取值范圍是(　　) A．(6，12) B．(8，10) C．(6，10) D．(8，12) 解析：選B.由題意可得拋物線E的焦點為(0，1)，圓M的

14、圓心為(0，1)，半徑為4，所以圓心M(0，1)為拋物線的焦點，故|NM|等于點N到準線y＝－1的距離，又PN∥y軸，故|PN|＋|NM|等于點P到準線y＝－1的距離．由，得y＝3，又點P為劣弧上不同于A，B的一個動點，所以點P到準線y＝－1的距離的取值范圍是(4，6)，又|PM|＝4，所以△PMN的周長的取值范圍是(8，10)，故選B. 6．(一題多解)(2019·高考全國卷Ⅲ)設F1，F(xiàn)2為橢圓C：＋＝1的兩個焦點，M為C上一點且在第一象限．若△MF1F2為等腰三角形，則M的坐標為____________． 解析：通解：由橢圓C：＋＝1，得c＝＝4，不妨設F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則

15、由題意知|MF1|＝|F1F2|＝2c＝8，于是由橢圓的定義得|MF1|＋|MF2|＝12，所以|MF2|＝12－|MF1|＝4，易知△MF1F2的底邊MF2上的高h＝＝＝2，所以|MF2|·h＝|F1F2|·yM，即×4×2＝×8×yM，解得yM＝，代入橢圓方程得xM＝－3(舍去)或xM＝3，故點M的坐標為(3，)． 優(yōu)解：不妨設F1，F(xiàn)2分別為左、右焦點，則由題意，得|MF1|＝|F1F2|＝8，由橢圓的焦半徑公式得|MF1|＝exM＋6＝xM＋6＝8，解得xM＝3，代入橢圓方程得yM＝，故點M的坐標為(3，)． 答案：(3，) 7．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線為正方形OA

16、BC的邊OA，OC所在的直線，點B為該雙曲線的焦點．若正方形OABC的邊長為2，則a＝________. 解析：雙曲線－＝1的漸近線方程為y＝±x，由已知可得兩條漸近線方程互相垂直，由雙曲線的對稱性可得＝1.又正方形OABC的邊長為2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2. 答案：2 8．(2019·成都市第二次診斷性檢測)在平面直角坐標系xOy中，定義兩點A(x1，y1)，B(x2，y2)間的折線距離為d(A，B)＝|x1－x2|＋|y1－y2|.已知點O(0，0)，C(x，y)，d(O，C)＝1，則的取值范圍是________． 解析： 根據(jù)定義有：d(O，

17、C)＝|0－x|＋|0－y|＝1， 即|x|＋|y|＝1，該方程等價于或或或，畫出圖形如圖所示，＝表示點(x，y)與點(0，0)的距離，所以∈. 答案： 9．(2019·高考天津卷)設橢圓＋＝1(a>b>0)的左焦點為F，上頂點為B.已知橢圓的短軸長為4，離心率為. (1)求橢圓的方程； (2)設點P在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點M為直線PB與x軸的交點，點N在y軸的負半軸上．若|ON|＝|OF|(O為原點)，且OP⊥MN，求直線PB的斜率． 解：(1)設橢圓的半焦距為c，依題意，2b＝4，＝，又a2＝b2＋c2，可得a＝，b＝2，c＝1. 所以橢圓的方程為＋＝1. (2

18、)由題意，設P(xP，yP)(xP≠0)，M(xM，0)．設直線PB的斜率為k(k≠0)，又B(0，2)，則直線PB的方程為y＝kx＋2，與橢圓方程聯(lián)立得整理得(4＋5k2)x2＋20kx＝0，可得xP＝－，代入y＝kx＋2得yP＝，進而直線OP的斜率＝.在y＝kx＋2中，令y＝0，得xM＝－.由題意得N(0，－1)，所以直線MN的斜率為－.由OP⊥MN，得·＝－1，化簡得k2＝，從而k＝±. 所以，直線PB的斜率為或－. 10．(2019·武漢市調(diào)研測試)已知橢圓Γ：＋＝1(a>b>0)經(jīng)過點M(－2，1)，且右焦點F(，0)． (1)求橢圓Γ的標準方程； (2)過N(1，0)且斜率

19、存在的直線AB交橢圓Γ于A，B兩點，記t＝·，若t的最大值和最小值分別為t1，t2，求t1＋t2的值． 解：(1)由橢圓＋＝1的右焦點為(，0)，知a2－b2＝3，即b2＝a2－3，則＋＝1，a2>3. 又橢圓過點M(－2，1)，所以＋＝1，又a2>3，所以a2＝6. 所以橢圓Γ的標準方程為＋＝1. (2)設直線AB的方程為y＝k(x－1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由得x2＋2k2(x－1)2＝6，即(1＋2k2)x2－4k2x＋2k2－6＝0， 因為點N(1，0)在橢圓內(nèi)部，所以Δ>0， 所以， 則t＝·＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－1)(y2－1) ＝x1x2＋2(x1＋x2)＋4＋(kx1－k－1)(kx2－k－1) ＝(1＋k2)x1x2＋(2－k2－k)(x1＋x2)＋k2＋2k＋5③， 將①②代入③得， t＝(1＋k2)·＋(2－k2－k)·＋k2＋2k＋5， 所以t＝， 所以(15－2t)k2＋2k－1－t＝0，k∈R， 則Δ1＝22＋4(15－2t)(1＋t)≥0， 所以(2t－15)(t＋1)－1≤0，即2t2－13t－16≤0， 由題意知t1，t2是2t2－13t－16＝0的兩根，所以t1＋t2＝. - 10 -