（江蘇專用）2019高考數學二輪復習 專題六 第3講 基本不等式及其應用學案 理

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1、第3講　基本不等式及其應用 高考定位　高考對本內容的考查主要有(1)基本不等式的證明過程，A級要求；(2)利用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題，C級要求. 真 題 感 悟 1.(2017·江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為4x萬元.要使一年的總運費與總存儲費用之和最小，則x的值是________. 解析　一年的總運費與總存儲費用之和為y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，當且僅當＝4x，即x＝30時，y有最小值240. 答案　30 2.(2018·江蘇卷)在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝12

2、0°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為________. 解析　因為∠ABC＝120°，∠ABC的平分線交AC于點D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面積公式可得acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化簡得ac＝a＋c，又a>0，c>0，所以＋＝1，則4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，當且僅當c＝2a時取等號，故4a＋c的最小值為9. 答案　9 3.(2016·江蘇卷)已知函數f(x)＝2x＋，若對于任意x∈R，不等式f(2x)≥mf(x)－6恒成立，則實數m的最大值為________. 解析　由條件知

3、f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. ∵f(2x)≥mf(x)－6對于x∈R恒成立，且f(x)>0， ∴m≤對于x∈R恒成立. 又＝f(x)＋≥2＝4，且＝4， ∴m≤4，故實數m的最大值為4. 答案　4 4.(2016·江蘇卷)在銳角三角形ABC中，若sin A＝2sin Bsin C，則tan Atan Btan C的最小值是________. 解析　因為sin A＝2sin Bsin C，所以sin(B＋C)＝2sin Bsin C， 所以sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C， 等式兩邊同時除以cos

4、Bcos C，得tan B＋tan C＝2tan Btan C. 又因為tan A＝－tan(B＋C)＝， 所以tan Atan Btan C－tan A＝2tan Btan C，即tan Btan C(tan A－2)＝tan A. 因為A，B，C為銳角，所以tan A，tan B，tan C>0，且tan A>2， 所以tan Btan C＝，所以原式＝. 令tan A－2＝t(t>0)，則＝＝＝t＋＋4≥8，當且僅當t＝2， 即tan A＝4時取等號.故tan Atan Btan C的最小值為8. 答案　8 考 點 整 合 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的條件

5、：a≥0，b≥0； (2)等號成立的條件：當且僅當a＝b時取等號； (3)其中稱為正數a，b的算術平均數，稱為正數a，b的幾何平均數. 2.幾個重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號； (2)ab≤(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號； (3)≥(a，b∈R)，當且僅當a＝b時取等號； (4)＋≥2(a，b同號)，當且僅當a＝b時取等號. 3.利用基本不等式求最值 已知x≥0，y≥0，則 (1)如果積xy是定值p，那么當且僅當x＝y時，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)； (2)如果和x＋y是定值s，那么當且僅當x＝y時，xy有

6、最大值是(簡記：和定積最大). 熱點一　配湊法求最值 【例1】 (1)一段長為30 m的籬笆圍成一個一邊靠墻的矩形菜園，墻長18 m，則這個矩形的長為________m，寬為________m時菜園面積最大. (2)(2018·南京、鹽城一模)若實數x，y滿足x＞y＞0，且log2x＋log2y＝1，則的最小值為________. 解析　(1)設矩形的長為x m，寬為y m，則x＋2y＝30.所以S＝xy＝x·(2y)≤ ＝，當且僅當x＝2y，即x＝15，y＝時取等號. (2)因為log2x＋log2y＝log2xy＝1，所以xy＝2.因為x＞y＞0，所以x－y＞0.所以＝＝x

7、－y＋≥2＝4，當且僅當x－y＝2時取等號. 答案　(1)15　　(2)4 探究提高　(1)應用基本不等式解題一定要注意應用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所謂“一正”是指正數，“二定”是指應用基本不等式求最值時，和或積為定值，“三相等”是指滿足等號成立的條件. (2)在利用基本不等式求最值時，要根據式子的特征靈活變形，配湊出積、和為常數的形式，然后再利用基本不等式. 【訓練1】 (1)(2017·宿遷期末)若函數f(x)＝x＋(x＞2)在x＝a處取最小值，則a＝________. (2)若對x≥1，不等式x＋－1≥a恒成立，則實數a的取值范圍是________. 解析　(1

8、)當x＞2時，x－2＞0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，當且僅當x－2＝(x＞2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，即a＝3. (2)因為函數f(x)＝x＋－1在[1，＋∞)上單調遞增，所以函數g(x)＝x＋1＋－2在[0，＋∞)上單調遞增，所以函數g(x)在[1，＋∞)的最小值為g(1)＝，因此對x≥1不等式x＋－1≥a恒成立，所以a≤g(x)min＝. 答案　(1)3　(2) 熱點二　常數代換或消元法求最值 【例2】 (1)(2018·蘇州期末)已知正實數a，b，c，滿足＋＝1，＋＝1，則c的取值范圍是________. (2)若正數x，y滿足x＋3y＝5

9、xy，則3x＋4y的最小值為________. 解析　(1)因為a＋b＝(a＋b)＝2＋＋∈[4，＋∞)， 所以∈，從而＝1－∈，得c∈. (2)法一　由x＋3y＝5xy及x，y均為正數可得＋＝1， ∴3x＋4y＝(3x＋4y)＝＋＋＋≥＋＝5.(當且僅當＝，即x＝1，y＝時，等號成立)， ∴3x＋4y的最小值是5. 法二　由x＋3y＝5xy，得x＝，∵x>0，y>0，∴y>， ∴3x＋4y＝＋4y＝＋4y＝＋·＋4 ≥＋2＝5，當且僅當y＝時等號成立， ∴(3x＋4y)min＝5. 答案　(1)　(2)5 探究提高　條件最值的求解通常有三種方法：一是消元法，即根據條件建

10、立兩個量之間的函數關系，然后代入代數式轉化為函數的最值求解；二是將條件靈活變形，利用常數代換的方法構造和或積為常數的式子，然后利用基本不等式求解最值；三是對條件使用基本不等式，建立所求目標函數的不等式求解. 【訓練2】 (1)設a＞0，b＞0.若a＋b＝1，則＋的最小值是________. (2)(2018·南京模擬)已知x＞0，y＞0，x＋3y＋xy＝9，則x＋3y的最小值為________. 解析　(1)由題意＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，當且僅當＝， 即a＝b＝時，取等號，所以最小值為4. (2)法一　(消元法) 由已知得x＝.因為x＞0，y＞0，所以0＜y＜3， 所以x＋3

11、y＝＋3y＝＋3(y＋1)－6≥2－6＝6， 當且僅當＝3(y＋1)，即y＝1，x＝3時，(x＋3y)min＝6. 法二　∵x＞0，y＞0，9－(x＋3y)＝xy＝x·(3y)≤·， 當且僅當x＝3y時等號成立.設x＋3y＝t＞0，則t2＋12t－108≥0， ∴(t－6)(t＋18)≥0，又∵t＞0，∴t≥6.故當x＝3，y＝1時，(x＋3y)min＝6. 答案　(1)4　(2)6 熱點三　基本不等式的綜合應用 【例3】 (1)設x，y，z均為大于1的實數，且z為x和y的等比中項，則＋的最小值為________. (2)(2016·蘇州暑假測試)設正四面體ABCD的棱長為，P

12、是棱AB上的任意一點(不與點A，B重合)，且點P到平面ACD，平面BCD的距離分別為x，y，則＋的最小值是________. 解析　(1)由題意得z2＝xy，lg x>0，lg y>0， ∴＋＝＋＝＋＋＋ ＝＋＋≥＋2＝， 當且僅當＝，即lg y＝2lg x，即y＝x2時取等號. (2)過點A作AO⊥平面BCD于點O，則O為△BCD的重心， 所以OB＝××＝，所以AO＝＝2. 又VP－BCD＋VP－ACD＝VA－BCD，所以S△BCD·y＋S△ACD·x＝S△BCD·2，即x＋y＝2. 所以＋＝(x＋y)＝≥2＋，當且僅當x＝3－，y＝－1時取等號. 答案　(1)　(2)2＋

13、 探究提高　基本不等式在涉及求最值的問題中常常與數列、幾何、函數性質等知識點綜合命題，體現了基本不等式的工具作用，在涉及求含參的問題中常常與恒成立問題、存在性問題綜合考查，但要注意等號的條件. 【訓練3】 (1)函數y＝1－2x－(x＜0)的值域為________. (2)若不等式x＋2≤a(x＋y)對任意的實數x，y∈(0，＋∞)恒成立，則實數a的最小值為________. 解析　(1)∵x＜0，∴y＝1－2x－＝1＋(－2x)＋≥1＋2＝1＋2，當且僅當x＝－時取等號，故函數y＝1－2x－(x＜0)的值域為[1＋2，＋∞). (2)由題意得a≥＝恒成立.令t＝(t>0)，則a≥，

14、 再令1＋2t＝u(u>1)，則t＝，故a≥＝. 因為u＋≥2(當且僅當u＝時等號成立)，故u＋－2≥2－2， 從而0<≤＝，故a≥，即amin＝. 答案　(1)[1＋2，＋∞)　(2) 1.多次使用基本不等式的注意事項 當多次使用基本不等式時，一定要注意每次是否能保證等號成立，并且要注意取等號的條件的一致性，否則就會出錯，因此在利用基本不等式處理問題時，列出等號成立的條件不僅是解題的必要步驟，也是檢驗轉換是否有誤的一種方法. 2.基本不等式除了在客觀題考查外，在解答題的關鍵步驟中也往往起到“巧解”的作用，但往往需先變換形式才能應用. 3.基本不等式作為求最值的一個有力工具

15、常與其他知識點綜合命題，注意含參數問題在恒成立、存在性問題中的合理轉化. 一、填空題 1.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)四市調研)已知a＞0，b＞0，且＋＝，則ab的最小值是________. 解析　因為＝＋≥2，所以ab≥2，當且僅當＝＝時，取等號. 答案　2 2.若0

16、時，y取到最小值2. 答案　2 4.(2018·天津卷)已知a，b∈R，且a－3b＋6＝0，則2a＋的最小值為________. 解析　由題知a－3b＝－6，因為2a>0，8b>0，所以2a＋≥2×＝2×＝2＝，當且僅當2a＝，即a＝－3，b＝1時取等號. 答案　 5.(2017·北京卷)已知x≥0，y≥0，且x＋y＝1，則x2＋y2的取值范圍是________. 解析　法一　∵x≥0，y≥0且x＋y＝1.∴2≤x＋y＝1，從而0≤xy≤，因此x2＋y2＝(x＋y)2－2xy＝1－2xy，所以≤x2＋y2≤1. 法二　可轉化為線段AB上的點到原點距離平方的范圍，AB上的點到原

17、點距離的范圍為，則x2＋y2的取值范圍為. 答案　 6.若對于任意x＞0，≤a恒成立，則實數a的取值范圍是________. 解析?。?，因為x＞0，所以x＋≥2(當且僅當x＝1時取等號)， 則≤＝，即的最大值為，故a≥. 答案　 7.(2018·鹽城中學月考)設a是1＋2b與1－2b的等比中項，則的最大值為________. 解析　依題意，a2＝1－4b2，故a2＋4b2＝1≥4ab，故ab≤，≤≤，當且僅當或時，等號成立. 答案　 8.(2018·蘇北四市調研)已知a，b∈R，a＋b＝4，則＋的最大值為________. 解析　法一(ab作為一個變元)　ab≤＝4，＋＝＝

18、＝.設t＝9－ab≥5，則＝≤＝，當且僅當t2＝80時等號成立，所以，＋的最大值為. 法二(均值換元)　因為a＋b＝4，所以，令a＝2＋t，b＝2－t，則f(t)＝＋＝＋＝，令u＝t2＋5≥5，則g(u)＝＝≤＝，當且僅當u＝4時等號成立.所以＋的最大值為. 答案　 二、解答題 9.(2017·南京、鹽城調研)設函數f(x)＝ax2＋(b－2)x＋3(a≠0). (1)若不等式f(x)>0的解集為(－1，3)，求a，b的值； (2)若f(1)＝2，a>0，b>0，求＋的最小值. 解　(1)由題意得即解得 (2)因為f(1)＝2，所以a＋b＝1，所以＋＝(a＋b)＝5＋＋≥9，

19、 當且僅當b＝2a＝時取等號.所以，＋的最小值為9. 10.(1)當點(x，y)在直線x＋3y－4＝0上移動時，求3x＋27y＋2的最小值； (2)已知x，y都是正實數，且x＋y－3xy＋5＝0，求xy的最小值. 解　(1)由x＋3y－4＝0，得x＋3y＝4， 所以3x＋27y＋2＝3x＋33y＋2≥2＋2＝2＋2＝2＋2＝20， 當且僅當3x＝33y且x＋3y－4＝0， 即x＝2，y＝時取等號，此時所求的最小值為20. (2)由x＋y－3xy＋5＝0，得x＋y＋5＝3xy， 所以2＋5≤x＋y＋5＝3xy，所以3xy－2－5≥0， 所以(＋1)(3－5)≥0，所以≥，即xy≥， 當且僅當x＝y＝時取等號，故xy的最小值是. 11.已知函數f(x)＝(x≠a，a為非零常數). (1)解不等式f(x)a時，f(x)有最小值為6，求a的值. 解　(1)f(x)0時，(x－a)<0，∴解集為； 當a<0時，(x－a)>0，解集為. (2)設t＝x－a，則x＝t＋a(t>0). ∴f(t)＝＝t＋＋2a≥2＋2a＝2＋2a. 當且僅當t＝，即t＝時，等號成立，即f(x)有最小值2＋2a. 依題意有2＋2a＝6，解得a＝1. 10