（江蘇專版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第五章 平面向量學(xué)案 文

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1、 第五章 平面向量 第一節(jié)　向量的概念及線性運(yùn)算 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.向量的有關(guān)概念； 2.向量的線性運(yùn)算. 突破點(diǎn)(一)　向量的有關(guān)概念 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 名稱 定義 備注 向量 既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模) 平面向量是自由向量，平面向量可自由平移 零向量 長(zhǎng)度為0的向量；其方向是任意的 記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 非零向量a的單位向量為± 平行向量 方向相同或相反的非零向量，又叫做共線向量 0與任一向量平行或共線 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 兩

2、向量只有相等或不等，不能比較大小 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 0的相反向量為0 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 向量的有關(guān)概念 [典例]　(1)設(shè)a，b都是非零向量，下列四個(gè)條件中，使＝成立的充分條件的序號(hào)為________． ①a＝－b；②a∥b；③a＝2b；④a∥b且|a|＝|b|. (2)設(shè)a0為單位向量，下列命題中：①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|·a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.假命題的個(gè)數(shù)是________． [解析]　(1)因?yàn)橄蛄康姆较蚺c向量a相同，向量的方向與向量b相同，且

3、＝，所以向量a與向量b方向相同，故可排除①②④.當(dāng)a＝2b時(shí)，＝＝，故a＝2b是＝成立的充分條件． (2)向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. [答案]　(1)③　(2)3 [易錯(cuò)提醒] (1)兩個(gè)向量不能比較大小，只可以判斷它們是否相等，但它們的?？梢员容^大小； (2)大小與方向是向量的兩個(gè)要素，分別是向量的代數(shù)特征與幾何特征； (3)向量可以自由平移，任意一組平行向量都可以移到同一直線上．　　 能

4、力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1．給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b. 其中正確命題的序號(hào)是________． 解析：①不正確．兩個(gè)向量的長(zhǎng)度相等，但它們的方向不一定相同．②正確．∵＝，∴||＝||且∥.又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝.③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同，又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方

5、向相同，∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c.④不正確．當(dāng)a∥b且方向相反時(shí)，即使|a|＝|b|，也不能得到a＝b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件．綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③. 答案：②③ 2．給出下列命題： ①兩個(gè)具有公共終點(diǎn)的向量，一定是共線向量； ②兩個(gè)向量不能比較大小，但它們的模能比較大??； ③λa＝0(λ為實(shí)數(shù))，則λ必為零； ④λ，μ為實(shí)數(shù)，若λa＝μb，則a與b共線． 其中錯(cuò)誤的命題的個(gè)數(shù)為________． 解析：①錯(cuò)誤，兩向量共線要看其方向而不是起點(diǎn)或終點(diǎn)．②正確，因?yàn)橄蛄考扔写笮?，又有方向，故它們不能比較大小，但它們的

6、模均為實(shí)數(shù)，故可以比較大小．③錯(cuò)誤，當(dāng)a＝0時(shí)，不論λ為何值，λa＝0.④錯(cuò)誤，當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＝μb＝0，此時(shí)，a與b可以是任意向量．錯(cuò)誤的命題有3個(gè)． 答案：3 3．如圖，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，則圖中與相等的向量有________． 答案：，， 4．如圖，△ABC和△A′B′C′是在各邊的處相交的兩個(gè)全等的等邊三角形，設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為a，圖中列出了長(zhǎng)度均為的若干個(gè)向量，則 (1)與向量相等的向量有________； (2)與向量共線，且模相等的向量有________； (3)與向量共線，且模相等的向量有________． 解析：向量相等?向量方向

7、相同且模相等． 向量共線?表示有向線段所在的直線平行或重合． 答案：(1) ， (2) ，，，， (3) ，，，， 突破點(diǎn)(二)　向量的線性運(yùn)算 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 交換律：a＋b＝b＋a；結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 |λa|＝|λ||a|， 當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λ

8、a＝0 λ(μ a) ＝(λ μ)a；(λ＋μ)a＝λa＋μa；λ(a＋b)＝λa＋λb 2.向量共線定理 向量b與a(a≠0)共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 向量的線性運(yùn)算 [例1]　(1)在△ABC中，＝c，＝b.若點(diǎn)D滿足＝2，則＝________.(用b，c表示) (2)在△ABC中，N是AC邊上一點(diǎn)且＝，P是BN上一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值是________． [解析]　(1)由題可知＝－＝b－c，∵＝2，∴＝＝(b－c)，則＝＋＝c＋(b－c)＝b＋c. (2)如圖，因?yàn)椋剑裕?，所以＝m＋

9、＝m＋.因?yàn)锽，P，N三點(diǎn)共線，所以m＋＝1，則m＝. [答案]　(1)b＋c　(2) [方法技巧] 1．向量的線性運(yùn)算技巧 (1)不含圖形的情況：可直接運(yùn)用相應(yīng)運(yùn)算法則求解． (2)含圖形的情況：將它們轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位線等性質(zhì)，把未知向量用已知向量表示出來(lái)求解． 2．利用向量的線性運(yùn)算求參數(shù)的一般思路 (1)沒有圖形的準(zhǔn)確作出圖形，確定每一個(gè)點(diǎn)的位置． (2)利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化為要求的向量形式． (3)比較，觀察可知所求．　　 向量共線定理的應(yīng)用 [例2]　設(shè)兩個(gè)非零向量a和b不共線．

10、(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)．求證：A，B，D三點(diǎn)共線． (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [解]　(1)證明：因?yàn)椋絘＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)， 所以＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5，所以，共線． 又與有公共點(diǎn)B，所以A，B，D三點(diǎn)共線． (2)因?yàn)閗a＋b與a＋kb共線， 所以存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即解得k＝±1. 即k＝1或－1時(shí)，ka＋b與a＋kb共線． [方法技巧] 向量共線定理的三個(gè)應(yīng)用 (1)證明向量共線：對(duì)于非零向量a，b，若存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb，則a與b共線． (2)證明三

11、點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線． (3)求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值． [提醒]　證明三點(diǎn)共線時(shí)，需說(shuō)明共線的兩向量有公共點(diǎn)．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.如圖所示，下列結(jié)論正確的是________．(填序號(hào)) ①＝a＋b；②＝a－b；③＝a－b；④＝a＋b. 解析：根據(jù)向量的加法法則，得＝a＋b，故①正確；根據(jù)向量的減法法則，得＝a－b，故②錯(cuò)誤；＝＋＝a＋b－2b＝a－b，故③正確；＝＋＝a＋b－b＝a＋b，故④錯(cuò)誤． 答案：①③ 2.已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝

12、a＋μb，λ，μ∈R，則A，B，C三點(diǎn)共線的充要條件為λμ＝________. 解析：∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴∥，設(shè)＝m(m≠0)，則λa＋b＝m(a＋μb)，∴ ∴λμ＝1. 答案：1 3.在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記，分別為a，b，則＝________.(用a，b表示) 解析：如圖，過(guò)點(diǎn)F作BC的平行線交DE于G， 則G是DE的中點(diǎn)，且＝＝，∴＝，則△AHD∽△FHG，從而HF―→＝，∴＝，＝＋＝b＋a，∴＝＝a＋b. 答案：a＋b 4.已知a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，且a與b起點(diǎn)相同．若a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一

13、直線上，則t＝________. 解析：∵a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，且a與b起點(diǎn)相同．∴a－tb與a－(a＋b)共線，即a－tb與a－b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使a－tb＝λ，∴解得λ＝，t＝，若a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在同一條直線上，則t＝. 答案： [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)——一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．設(shè)D，E，F(xiàn)分別為△ABC的三邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，則＋＝________.(用一個(gè)向量表示) 解析：＋＝(＋)＋(＋)＝(＋)＝. 答案： 2．設(shè)向量a，b不平行，向量λa＋b與a＋2

14、b平行，則實(shí)數(shù)λ＝________. 解析：∵λa＋b與a＋2b平行，∴λa＋b＝t(a＋2b)， 即λa＋b＝ta＋2tb，∴解得 答案： 3．在四邊形ABCD中，＝a＋2b，＝－4a－b，＝－5a－3b，則四邊形ABCD的形狀是________． 解析：由已知得，＝＋＋＝a＋2b－4a－b－5a－3b＝－8a－2b＝2(－4a－b)＝2，故∥.又因?yàn)榕c不平行，所以四邊形ABCD是梯形． 答案：梯形 4．已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析：由＋＋＝0知，點(diǎn)M為△ABC的重心，設(shè)點(diǎn)D為底邊BC的中點(diǎn)，則＝＝×(＋)＝(＋)

15、，所以＋＝3，故m＝3. 答案：3 [練常考題點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．設(shè)M是△ABC所在平面上的一點(diǎn)，且＋＋＝0，D是AC的中點(diǎn)，則的值為________． 解析：∵D是AC的中點(diǎn)，如圖，延長(zhǎng)MD至E，使得DE＝MD，∴四邊形MAEC為平行四邊形，∴＝＝(＋)，∴＋＝2.∵＋＋＝0，∴＝－(＋)＝－3，∴＝3，∴＝＝. 答案： 2．在△ABC中，＝3，若＝λ1＋λ2，則λ1λ2的值為________． 解析：由題意得，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，∴λ1＝，λ2＝，∴λ1λ2＝. 答案： 3．設(shè)O是△ABC內(nèi)部一點(diǎn)，且＋＝－2，則△AOB與△AOC的面積之比為___

16、_____． 解析：設(shè)D為AC的中點(diǎn)，連結(jié)OD，則＋＝2.又＋＝－2，所以＝－，即O為BD的中點(diǎn)，從而容易得△AOB與△AOC的面積之比為. 答案： 4．已知點(diǎn)O為△ABC外接圓的圓心，且＋＋＝0，則△ABC的內(nèi)角A等于________． 解析：由＋＋＝0，得＋＝，由O為△ABC外接圓 的圓心，可得||＝||＝||.設(shè)OC與AB交于點(diǎn)D，如圖，由＋＝可知D為AB的中點(diǎn)，所以＝2，D為OC的中點(diǎn)．又由||＝||可知OD⊥AB，即OC⊥AB，所以四邊形OACB為菱形，所以△OAC為等邊三角形，即∠CAO＝60°，故A＝30°. 答案：30° 5．已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)點(diǎn)G作

17、一條直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為________． 解析：由已知得M，G，N三點(diǎn)共線，所以＝λ＋(1－λ)＝λx＋(1－λ)y.∵點(diǎn)G是△ABC的重心，∴＝×(＋)＝(＋)，∴即得＋＝1，即＋＝3，通分得＝3，∴＝. 答案： 6．(2018·如皋中學(xué)期末)若點(diǎn)M是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足5＝＋3，則△ABM與△ABC的面積的比值為________． 解析：設(shè)AB的中點(diǎn)為D，如圖，連結(jié)MD，MC，由5＝＋3，得5＝2＋3 ①，即＝＋，即＋＝1，故C，M，D三點(diǎn)共線，又＝＋ ②，①②聯(lián)立，得5＝3，即在△ABM與△ABC中，邊AB上的高的比值為，所

18、以△ABM與△ABC的面積的比值為. 答案： 7．已知D，E，F(xiàn)分別為△ABC的邊BC，CA，AB的中點(diǎn)，且＝a，＝b，給出下列命題： ①＝a－b；②＝a＋b； ③＝－a＋b；④＋＋＝0. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為________． 解析：由＝a，＝b可得＝＋＝－a－b，＝＋＝a＋b，＝(＋)＝(－a＋b)＝－a＋b，＋＋＝－a－b＋a＋b－a＋b＝0，所以①錯(cuò)，②③④正確．所以正確命題的個(gè)數(shù)為3. 答案：3 8．若||＝||＝|－|＝2，則|＋|＝________. 解析：∵||＝||＝|－|＝2，∴△ABC是邊長(zhǎng)為2的正三角形，∴|＋|為△ABC的邊BC上的高的2倍，∴|＋|

19、＝2×2sin＝2. 答案：2 9．若點(diǎn)O是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，則△ABC的形狀為________． 解析：因?yàn)椋?＝－＋－＝＋，－＝＝－，所以|＋|＝|－|，即·＝0，故⊥，△ABC為直角三角形． 答案：直角三角形 10．在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝30°，AB＝2，BC＝2，點(diǎn)E在線段CD上，若＝＋μ，則μ的取值范圍是________． 解析：由題意可求得AD＝1，CD＝，所以＝2.∵點(diǎn)E 在線段CD上，∴＝λ (0≤λ≤1)．∵＝＋，又＝＋μ＝＋2μ＝＋，∴＝1，即μ＝.∵0≤λ≤1，∴0≤μ≤，即μ的取值范圍是. 答案：

20、二、解答題 11.如圖，以向量＝a，＝b為鄰邊作?OADB，＝，＝，用a，b表示，，. 解：∵＝－＝a－b，＝＝a－b， ∴＝＋＝b＋＝a＋b. 又∵＝a＋b， ∴＝＋＝＋＝＝a＋b， ∴＝－＝a＋b－a－b＝a－b. 綜上，＝a＋b，＝a＋b，＝a－b. 12.如圖所示，在△ABC中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點(diǎn)，＝，＝a，＝b. (1)用a，b表示向量，，，，； (2)求證：B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 解： (1)延長(zhǎng)AD到G，使＝， 連結(jié)BG，CG，得到?ABGC，如圖， 所以＝＋＝a＋b， ＝＝(a＋b)， ＝＝(a＋b)，＝＝b， ＝－＝(a＋b)－a

21、＝(b－2a)， ＝－＝b－a＝(b－2a)． (2)證明：由(1)可知＝， 又因?yàn)?，有公共點(diǎn)B，所以B，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線． 第二節(jié) 平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 本節(jié)主要包括2個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.平面向量基本定理； 2.平面向量的坐標(biāo)表示. 突破點(diǎn)(一)　平面向量基本定理　 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 基底

22、的概念 [例1]　如果e1，e2是平面內(nèi)一組不共線的向量，那么下列四組向量中，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的是________．(填序號(hào)) ①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e1＋2e2； ③e1＋e2與e1－e2；④e1＋3e2與6e2＋2e1. [解析]?、僦?，設(shè)e1＋e2＝λe1，則無(wú)解； ②中，設(shè)e1－2e2＝λ(e1＋2e2)，則無(wú)解； ③中，設(shè)e1＋e2＝λ(e1－e2)，則無(wú)解； ④中，e1＋3e2＝(6e2＋2e1)，所以兩向量是共線向量，不能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底． [答案]?、? [易錯(cuò)提醒] 某平面內(nèi)所有向量的一組基底必須是兩個(gè)不共線的向量，

23、不能含有零向量．　　 平面向量基本定理的應(yīng)用 [例2]　(2017·江蘇南通二模)如圖，在△ABC中，設(shè)＝a，＝b，AP的中點(diǎn)為Q，BQ的中點(diǎn)為R，CR的中點(diǎn)恰為P，則＝________.(用a，b表示) [解析]　如圖， 連結(jié)BP，則＝＋＝b＋，① ＝＋＝a＋－，② ①＋②，得2＝a＋b－，③ 又＝＝(－)＝，④ 將④代入③，得2＝a＋b－， 解得＝a＋b. [答案]　a＋b [方法技巧] 平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路 (1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算． (2)用向量基本定理解決問題的一

24、般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.(2018·宜興月考)在△ABC中，P，Q分別是AB，BC的三等分點(diǎn)，且AP＝AB，BQ＝BC，若＝a，＝b，則＝________.(用a，b表示) 解析：由題意知＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝a＋b. 答案：a＋b 2.(2018·泉州調(diào)研)若向量a，b不共線，則下列各組向量中，可以作為一組基底的是________．(填序號(hào)) ①a－2b與－a＋2b；②3a－5b與6a－10b； ③a－2b與5a＋7b；④2a－3b與a－b. 解析：不共線的兩

25、個(gè)向量可以作為一組基底．因?yàn)閍－2b與5a＋7b不共線，故a－2b與5a＋7b可以作為一組基底． 答案：③ 3.(2018·常州月考)如圖所示，在△ABC中，D為BC邊上的一點(diǎn)，且BD＝2DC，若＝m＋n (m，n∈R)，則m－n＝________. 解析：＝＋＝＋＝＋(－)＝－＋，則m＝－，n＝，所以m－n＝－2. 答案：－2 4.(2018·鎮(zhèn)江月考)在矩形ABCD中，O是對(duì)角線的交點(diǎn)，若＝5e1，＝3e2，則＝________.(用e1，e2表示) 解析：在矩形ABCD中，因?yàn)镺是對(duì)角線的交點(diǎn)，所以＝＝(＋)＝(＋)＝e1＋e2. 答案：e1＋e2 5.(2018·無(wú)錫診

26、斷)在△ABC中，＝，P是BN上一點(diǎn)，若＝m＋，則實(shí)數(shù)m的值為________． 解析：∵B，P，N三點(diǎn)共線，∴＝t＋(1－t)＝t＋(1－t)，又∵＝m＋，∴解得m＝t＝. 答案： 突破點(diǎn)(二)　平面向量的坐標(biāo)表示 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)向量加法、減法、數(shù)乘的坐標(biāo)運(yùn)算及向量的模 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. (2)向量坐標(biāo)的求法 ①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)． ②設(shè)A

27、(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)． 2．向量平行的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [例1]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b， (1)求3a＋b－3c； (2)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (3)求M，N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． [解]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－

28、3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)， ∴解得 即所求實(shí)數(shù)m的值為－1，n的值為－1. (3)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)， ∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)， 即M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， 即N(9,2)． ∴＝(9，－18)． [方法技巧] 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． (

29、2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解．　　 向量平行的坐標(biāo)表示 [例2]　已知a＝(1,0)，b＝(2,1)． (1)當(dāng)k為何值時(shí)，ka－b與a＋2b共線； (2)若＝2a＋3b，＝a＋mb，且A，B，C三點(diǎn)共線，求m的值． [解]　(1)∵a＝(1,0)，b＝(2,1)， ∴ka－b＝k(1,0)－(2,1)＝(k－2，－1)， a＋2b＝(1,0)＋2(2,1)＝(5,2)， ∵ka－b與a＋2b共線，∴2(k－2)－(－1)×5＝0， ∴k＝－. (2)＝2a＋3b＝2(1,0)＋3(2,1)＝(8,3)， ＝a＋mb＝

30、(1,0)＋m(2,1)＝(2m＋1，m)． ∵A，B，C三點(diǎn)共線， ∴∥，∴8m－3(2m＋1)＝0， ∴m＝. [方法技巧] 向量平行的坐標(biāo)表示中的乘積式和比例式 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2－x2y1＝0，這是代數(shù)運(yùn)算，用它解決平面向量共線問題的優(yōu)點(diǎn)在于不需要引入?yún)?shù)“λ”，從而減少了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，而且它使問題的解決具有代數(shù)化的特點(diǎn)和程序化的特征． (2)當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b?＝，即兩個(gè)向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例，這種形式不易出現(xiàn)搭配錯(cuò)誤． (3)公式x1y2－x2y1＝0無(wú)條件x2y2≠0的限制，便于記憶；公式＝有條件x2y2≠0的限

31、制，但不易出錯(cuò)．所以我們可以記比例式，但在解題時(shí)改寫成乘積的形式．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.若向量a＝(2,1)，b＝(－1,2)，c＝，則c可用向量a，b表示為________． 解析：設(shè)c＝xa＋yb，則＝(2x－y，x＋2y)，所以解得則c＝a＋b. 答案：a＋b 2.已知點(diǎn)M(5，－6)和向量a＝(1，－2)，若＝－3a，則點(diǎn)N的坐標(biāo)為________． 解析：＝－3a＝－3(1，－2)＝(－3,6)， 設(shè)N(x，y)，則＝(x－5，y＋6)＝(－3,6)， 所以解得即N(2,0)． 答案：(2,0) 3.已知向量＝(k,12)，＝(4,5)

32、，＝(－k,10)，且A，B，C三點(diǎn)共線，則k的值是________． 解析：＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(－2k，－2)．∵A，B，C三點(diǎn)共線，∴，共線，∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，解得k＝－. 答案：－ 4.已知梯形ABCD，其中AB∥DC，且DC＝2AB，三個(gè)頂點(diǎn)A(1，2)，B(2,1)，C(4,2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為________． 解析：∵在梯形ABCD中，DC＝2AB，AB∥DC，∴＝2.設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則＝(4－x，2－y)，＝(1，－1)， ∴(4－x,2－y)＝2(1，－1)，即(4－x,2－y)＝(2，－2)， ∴解得故點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2,

33、4)． 答案：(2,4) 5.已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，那么t為何值時(shí)，C，D，E三點(diǎn)共線？ 解：由題設(shè)知，＝－＝d－c＝2b－3a， ＝－＝e－c＝t(a＋b)－3a＝(t－3)a＋tb. C，D，E三點(diǎn)共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)k， 使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. (1)若a，b共線，則t可為任意實(shí)數(shù)； (2)若a，b不共線，則有解得t＝. 綜上，可知a，b共線時(shí)，t可為任意實(shí)數(shù)；a，b不共線時(shí)，t＝. [課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)] 　　 重點(diǎn)保分課時(shí)—

34、—一練小題夯雙基，二練題點(diǎn)過(guò)高考 [練基礎(chǔ)小題——強(qiáng)化運(yùn)算能力] 1．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b) (ab≠0)共線，則＋的值為________． 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0，所以＋＝. 答案： 2．(2018·太湖高級(jí)中學(xué)模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B，C三點(diǎn)滿足＝＋，則＝________. 解析：∵＝＋，∴－＝－＋＝(－)，∴＝，∴＝. 答案： 3．已知向量a＝(5,2)，b＝(－4，－3)，c＝(x，y)，若3a－2b＋c＝0，則c＝________.

35、解析：由題意可得3a－2b＋c＝3(5,2)－2(－4，－3)＋(x，y)＝(23＋x,12＋y)＝(0,0)，所以解得所以c＝(－23，－12)． 答案：(－23，－12) 4．若AC為平行四邊形ABCD的一條對(duì)角線，＝(3,5)，＝(2,4)，則＝________. 解析：由題意可得＝＝－＝(2,4)－(3,5)＝(－1，－1)． 答案：(－1，－1) 5．若三點(diǎn)A(1，－5)，B(a，－2)，C(－2，－1)共線，則實(shí)數(shù)a的值為________． 解析：＝(a－1,3)，＝(－3,4)，據(jù)題意知∥，∴4(a－1)＝3×(－3)，即4a＝－5，∴a＝－. 答案：－ [練?？?/p>

36、題點(diǎn)——檢驗(yàn)高考能力] 一、填空題 1．已知向量a＝(m,4)，b＝(3，－2)，且a∥b，則m＝________. 解析：∵a＝(m,4)，b＝(3，－2)，a∥b，∴－2m－4×3＝0.∴m＝－6. 答案：－6 2．設(shè)向量a＝(x,1)，b＝(4，x)，且a，b方向相反，則x的值是________． 解析：因?yàn)閍與b方向相反，所以b＝ma，m＜0，則有(4，x)＝m(x,1)，∴解得m＝±2.又m＜0， ∴m＝－2，x＝m＝－2. 答案：－2 3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，則m－n的值為________． 解析：

37、∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴∴∴m－n＝2－5＝－3. 答案：－3 4．設(shè)向量a＝(1，－3)，b＝(－2,4)，c＝(－1，－2)，若表示向量4a,4b－2c,2(a－c)，d的有向線段首尾相連能構(gòu)成四邊形，則向量d＝________. 解析：設(shè)d＝(x，y)，由題意知4a＝4(1，－3)＝(4，－12)，4b－2c＝4(－2,4)－2(－1，－2)＝(－6，20)，2(a－c)＝2[(1，－3)－(－1，－2)]＝(4，－2)，又4a＋(4b－2c)＋2(a－c)＋d＝0，所以(4，－12)＋(－6,20)＋(4，－2)＋(x，y)＝(0,0)，解得x＝

38、－2，y＝－6，所以d＝(－2，－6)． 答案：(－2，－6) 5．△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若p＝(a＋c，b)，q＝(b－a，c－a)，且p∥q，則角C＝________. 解析：因?yàn)閜∥q，則(a＋c)(c－a)－b(b－a)＝0，所以a2＋b2－c2＝ab，由余弦定理得，cos C＝＝＝，又0°＜C＜180°，∴C＝60°. 答案：60° 6．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，C為坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限內(nèi)一點(diǎn)且∠AOC＝，||＝2，若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 解析：因?yàn)閨|＝2，∠AOC＝，所以C(，)，又＝λ＋μ

39、，所以(，)＝λ(1,0)＋μ(0,1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝，λ＋μ＝2. 答案：2 7．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若 ＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. 解析：＝－＝(1,5)－(4,3)＝(－3,2)，∴＝2＝2(－3,2)＝(－6,4)．＝＋＝(4,3)＋(－6,4)＝(－2,7)，∴＝3＝3(－2,7)＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 8．設(shè)＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若A，B，C三點(diǎn)共線，則＋的最小值是________． 解析：由題意得∥，∵＝(a－1,1)，＝(－

40、b－1,2)，∴2(a－1)－(－b－1)＝0，∴2a＋b＝1，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝，b＝時(shí)取等號(hào)，∴＋的最小值是8. 答案：8 9．(2018·金陵中學(xué)模擬)P＝{a|a＝(－1,1)＋m(1,2)，m∈R}，Q＝{b|b＝(1，－2)＋n(2,3)，n∈R}是兩個(gè)向量集合，則P∩Q＝________. 解析：P中，a＝(－1＋m,1＋2m)，Q中，b＝(1＋2n，－2＋3n)．則得此時(shí)a＝b＝(－13，－23)． 答案：{(－13，－23)} 10．(2018·常熟中學(xué)月考)在梯形ABCD中，已知AB∥CD，AB＝2CD，M，N分別為CD，B

41、C的中點(diǎn)．若＝λ＋μ，則λ＋μ＝________. 解析：由＝λ＋μ，得＝λ·(＋)＋μ·(＋)，則＋＋＋ ＝0，得＋＋＝0，得＋＝0.又因?yàn)椋还簿€，所以由平面向量基本定理得解得所以λ＋μ＝. 答案： 二、解答題 11.給定兩個(gè)長(zhǎng)度為1的平面向量和，它們的夾角為.如圖所示，點(diǎn)C在以O(shè)為圓心的圓弧上運(yùn)動(dòng)．若＝x＋y，其中x，y∈R，求x＋y的最大值． 解：以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A(1，0)，B－，，設(shè)∠AOC＝αα∈0，，則C(cos α，sin α)， 由＝x＋y，得 所以x＝cos α＋sin α，y＝sin α， 所以x＋y＝co

42、s α＋sin α＝2sin， 又α∈，則α＋∈. 所以當(dāng)α＋＝，即α＝時(shí)，x＋y取得最大值2. 12．已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(0,2)，B(4,6)，＝t1＋t2. (1)求點(diǎn)M在第二或第三象限的充要條件； (2)求證：當(dāng)t1＝1時(shí)，不論t2為何實(shí)數(shù)，A，B，M三點(diǎn)都共線； (3)若t1＝a2，求當(dāng)⊥且△ABM的面積為12時(shí)a的值． 解：(1)＝t1＋t2＝t1(0,2)＋t2(4,4)＝(4t2,2t1＋4t2)． 當(dāng)點(diǎn)M在第二或第三象限時(shí)，有 故所求的充要條件為t2＜0且t1＋2t2≠0. (2)證明：當(dāng)t1＝1時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2)． ∵＝－＝(4

43、,4)，＝－＝(4t2,4t2)＝t2(4，4)＝t2，∴A，B，M三點(diǎn)共線． (3)當(dāng)t1＝a2時(shí)，由(1)知＝(4t2,4t2＋2a2)． 又＝(4,4)，⊥， ∴·＝0，即4t2×4＋(4t2＋2a2)×4＝0， ∴t2＝－a2， 故＝(－a2，a2)． 又||＝4，點(diǎn)M到直線AB：x－y＋2＝0的距離d＝＝|a2－1|. ∵S△ABM＝12， ∴|AB|·d＝×4×|a2－1|＝12， 解得a＝±2，故所求a的值為±2. 第三節(jié) 向量的數(shù)量積及其應(yīng)用 本節(jié)主要包括3個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 1.向量的數(shù)量積； 2.向量數(shù)量積的應(yīng)用； 3.平面向量與其他知識(shí)的綜合問題.

44、 突破點(diǎn)(一)　向量的數(shù)量積 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 1．向量的夾角 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB就是向量a與b的夾角． (2)范圍：設(shè)θ是向量a與b的夾角，則0°≤θ≤180°. (3)共線與垂直：若θ＝0°，則a與b同向；若θ＝180°，則a與b反向；若θ＝90°，則a與b垂直． 2．向量的數(shù)量積 (1)定義：已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為θ，則數(shù)量|a||b|cos θ叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0. (2)幾何意義：數(shù)量積

45、a·b等于a的長(zhǎng)度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積． (3)坐標(biāo)表示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2. 3．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝b·a(交換律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(結(jié)合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 向量數(shù)量積的運(yùn)算 1.利用坐標(biāo)計(jì)算數(shù)量積的步驟 第一步，根據(jù)共線、垂直等條件計(jì)算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程要注意方程思想的應(yīng)用； 第二步，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)公式進(jìn)行運(yùn)算即可． 2．根據(jù)定義計(jì)算數(shù)量積的兩種

46、思路 (1)若兩個(gè)向量共起點(diǎn)，則兩向量的夾角直接可得，根據(jù)定義即可求得數(shù)量積；若兩向量的起點(diǎn)不同，需要通過(guò)平移使它們的起點(diǎn)重合，然后再計(jì)算． (2)根據(jù)圖形之間的關(guān)系，用長(zhǎng)度和相互之間的夾角都已知的向量分別表示出要求數(shù)量積的兩個(gè)向量，然后再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算求解． [典例]　(1)設(shè)向量a＝(－1,2)，b＝(m,1)，如果向量a＋2b與2a－b平行，那么a與b的數(shù)量積等于________． (2)在等腰梯形ABCD中，已知AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°.點(diǎn)E和F分別在線段BC和DC上，且＝，＝，則·的值為________． (3)(2017·浙

47、江高考改編)如圖，已知平面四邊形ABCD，AB⊥BC，AB＝BC＝AD＝2，CD＝3，AC與BD交于點(diǎn)O.記I1＝·，I2＝·，I3＝·，則I1、I2、I3的大小關(guān)系是________．(用“＜”連結(jié)) [解析]　(1)a＋2b＝(－1,2)＋2(m,1)＝(－1＋2m,4)，2a－b＝2(－1,2)－(m,1)＝(－2－m,3)，由題意得3(－1＋2m)－4(－2－m)＝0，則m＝－，所以b＝，所以a·b＝－1×＋2×1＝. (2)取，為一組基底，則＝－＝－，＝＋＋＝－＋＋＝－＋，∴·＝·＝||2－·＋||2＝×4－×2×1×＋＝. (3)如圖所示，四邊形ABCE是正方形，F(xiàn)為正方形的

48、對(duì)角線的交點(diǎn)，易得AO＜AF，而∠AFB＝90°，∴∠AOB與∠COD為鈍角，∠AOD與∠BOC為銳角．根據(jù)題意，I1－I2＝·－·＝·(－)＝·＝||·||cos∠AOB＜0，∴I1＜I2， 同理得，I2＞I3，作AG⊥BD于G，又AB＝AD， ∴OB＜BG＝GD＜OD，而OA＜AF＝FC＜OC， ∴||·||＜||·||， 而cos∠AOB＝cos∠COD＜0， ∴·＞·，即I1＞I3， ∴I3＜I1＜I2. [答案]　(1)　(2)　(3)I3＜I1＜I2 [易錯(cuò)提醒] (1)解決涉及幾何圖形的向量數(shù)量積運(yùn)算問題時(shí)，一定要注意向量的夾角與已知平面角的關(guān)系是相等還是互補(bǔ)．

49、 (2)兩向量a，b的數(shù)量積a·b與代數(shù)中a，b的乘積寫法不同，不能漏掉其中的“·”．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1．已知＝(2,1)，點(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，則向量在方向上的投影為________． 解析：因?yàn)辄c(diǎn)C(－1,0)，D(4,5)，所以＝(5,5)，又＝(2,1)，所以向量在方向上的投影為 ||cos〈，〉＝＝＝. 答案： 2．在邊長(zhǎng)為1的等邊△ABC中，設(shè)＝a，＝b，＝c，則a·b＋b·c＋c·a＝________. 解析：依題意有a·b＋b·c＋c·a＝1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＋1×1×cos 120°＝＋

50、＋＝－. 答案：－ 3．(2017·全國(guó)卷Ⅱ)已知△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，P為平面ABC內(nèi)一點(diǎn)，則·(＋)的最小值是________． 解析：如圖，以等邊三角形ABC的底邊BC所在直線為x軸，以BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則A(0，)，B(－1,0)，C(1,0)，設(shè)P(x，y)，則＝(－x, －y)，＝(－1－x，－y)，＝(1－x，－y)，所以·(＋)＝(－x，－y)·(－2x，－2y)＝2x2＋22－，當(dāng)x＝0，y＝時(shí)，·(＋)取得最小值，為－. 答案：－ 4．(2017·江蘇高考)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12,0)，B(0,6)，點(diǎn)P在圓O：x2

51、＋y2＝50上．若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________． 解析：設(shè)P(x，y)，則·＝(－12－x，－y)·(－x,6－y)＝x(x＋12)＋y(y－6)≤20. 又x2＋y2＝50，所以2x－y＋5≤0， 所以點(diǎn)P在直線2x－y＋5＝0的上方(包括直線上)． 又點(diǎn)P在圓x2＋y2＝50上， 由解得x＝－5或x＝1， 結(jié)合圖象，可得－5≤x≤1， 故點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是[－5，1]． 答案：[－5，1] 5.如圖所示，在等腰直角三角形AOB中，OA＝OB＝1，＝4，則·(－)＝________. 解析：由已知得||＝，||＝，則·(－)＝(＋)·

52、＝·＋·＝1×cos ＋×＝－. 答案：－ 突破點(diǎn)(二)　向量數(shù)量積的應(yīng)用 基礎(chǔ)聯(lián)通 抓主干知識(shí)的“源”與“流” 向量數(shù)量積的性質(zhì)及其坐標(biāo)表示 設(shè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ＝〈a，b〉. 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤· 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 平面向量的垂直問題 1.利用坐標(biāo)運(yùn)算證明或判斷兩個(gè)向量的垂直問題 第一，計(jì)

53、算出這兩個(gè)向量的坐標(biāo)； 第二，根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式，計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積為0即可． 2．已知兩個(gè)向量的垂直關(guān)系，求解相關(guān)參數(shù)的值 根據(jù)兩個(gè)向量垂直的充要條件，列出相應(yīng)的關(guān)系式，進(jìn)而求解參數(shù)． [例1]　(1)△ABC是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，已知向量a，b滿足＝2a，＝2a＋b，則下列結(jié)論正確的序號(hào)是________． ①|(zhì)b|＝1；②a⊥b；③a·b＝1；④(4a＋b)⊥. (2)已知向量a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，且(2a－3b)⊥c，則實(shí)數(shù)k＝________. [解析]　(1)在△ABC中，由＝－＝2a＋b－2a＝b，得|b|＝2，①錯(cuò)誤．又＝2

54、a且||＝2，所以|a|＝1，所以a·b＝|a||b|cos 120°＝－1，②③錯(cuò)誤．所以(4a＋b)·＝(4a＋b)·b＝4a·b＋|b|2＝4×(－1)＋4＝0，所以(4a＋b)⊥，④正確． (2)∵(2a－3b)⊥c，∴(2a－3b)·c＝0.∵a＝(k,3)，b＝(1,4)，c＝(2,1)，∴2a－3b＝(2k－3，－6)．∴(2k－3，－6)·(2,1)＝0，即(2k－3)×2－6＝0.∴k＝3. [答案]　(1)④　(2)3 [易錯(cuò)提醒] x1y2－x2y1＝0與x1x2＋y1y2＝0不同，前者是兩向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)共線的充要條件，后者是它們垂直的

55、充要條件．　　 平面向量模的相關(guān)問題 利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問題是數(shù)量積的重要應(yīng)用，要掌握此類問題的處理方法： (1)a2＝a·a＝|a|2； (2)|a±b|＝＝. [例2]　(1)(2018·揚(yáng)州模擬)已知|a|＝1，|b|＝2，a與b的夾角為，那么|4a－b|＝________. (2)已知e1，e2是平面單位向量，且e1·e2＝.若平面向量b滿足b·e1＝b·e2＝1，則|b|＝________. (3)(2017·浙江高考)已知向量a，b滿足|a|＝1，|b|＝2，則|a＋b|＋|a－b|的最小值是________，最大值是________． [解析]　(1)|4a－

56、b|2＝16a2＋b2－8a·b＝16×1＋4－8×1×2×cos＝12.∴|4a－b|＝2. (2)∵e1·e2＝， ∴|e1||e2|cose1，e2＝，∴e1，e2＝60°. 又∵b·e1＝b·e2＝1＞0，∴b，e1＝b，e2＝30°. 由b·e1＝1，得|b||e1|cos 30°＝1，∴|b|＝＝. (3)法一：由向量三角不等式得，|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)－(a－b)|＝|2b|＝4. 又≤ ＝＝，∴|a＋b|＋|a－b|的最大值為2. 法二：設(shè)a，b的夾角為θ. ∵|a|＝1，|b|＝2， ∴|a＋b|＋|a－b|＝＋ ＝＋. 令

57、y＝＋， 則y2＝10＋2. ∵θ∈[0，π]，∴cos2θ∈[0,1]，∴y2∈[16,20]， ∴y∈[4,2 ]，即|a＋b|＋|a－b|的最小值為4，最大值為2. [答案]　(1)2　(2)　(3)4　2 [方法技巧] 求向量模的常用方法 (1)若向量a是以坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？芍苯永霉絴a|＝. (2)若向量a，b是以非坐標(biāo)形式出現(xiàn)的，求向量a的?？蓱?yīng)用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通過(guò)向量數(shù)量積的運(yùn)算求解．　　 平面向量的夾角問題 求解兩個(gè)非零向量之間的夾角的步驟 第一步

58、由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積 第二步 分別求出這兩個(gè)向量的模 第三步 根據(jù)公式cos〈a，b〉＝＝求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值 第四步 根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是[0，π]及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角 [例3]　(1)若非零向量a，b滿足|a|＝|b|，且(a－b)⊥(3a＋2b)，則a與b的夾角為________． (2)已知單位向量e1與e2的夾角為α，且cos α＝，向量a＝3e1－2e2與b＝3e1－e2的夾角為β，則cos β＝________. (3)(2017·山東高考)已知e1，e2是互相垂直的單位向量．若e1－e2與e1＋λe2的夾角為6

59、0°，則實(shí)數(shù)λ的值是________． [解析]　(1)由(a－b)⊥(3a＋2b)， 得(a－b)·(3a＋2b)＝0，即3a2－a·b－2b2＝0. 又∵|a|＝|b|，設(shè)〈a，b〉＝θ， 即3|a|2－|a||b|cos θ－2|b|2＝0， ∴|b|2－|b|2·cos θ－2|b|2＝0. ∴cos θ＝. 又∵0≤θ≤π，∴θ＝. (2)∵a2＝(3e1－2e2)2＝9＋4－2×3×2×＝9， b2＝(3e1－e2)2＝9＋1－2×3×1×＝8， a·b＝(3e1－2e2)·(3e1－e2)＝9＋2－9×1×1×＝8，∴cos β＝＝＝. (3)因?yàn)椋剑? 故

60、＝，解得λ＝. [答案]　(1)　(2)　(3) [易錯(cuò)提醒] (1)向量a，b的夾角為銳角?a·b＞0且向量a，b不共線． (2)向量a，b的夾角為鈍角?a·b＜0且向量a，b不共線．　　 能力練通 抓應(yīng)用體驗(yàn)的“得”與“失” 1.(2018·泰州期初測(cè)試)在平面內(nèi)，若A(1,7)，B(5,1)，M(2,1)，點(diǎn)P是直線OM上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且·＝－8，則cos∠APB＝________. 解析：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(2m，m)，則·＝－8?(1－2m,7－m)·(5－2m,1－m)＝－8?m2－4m＋4＝0. ∴m＝2.因此＝(－3,5)，＝(1，－1)，cos∠APB＝＝＝－.

61、答案：－ 2.(2017·全國(guó)卷Ⅰ)已知向量a，b的夾角為60°，|a|＝2，|b|＝1，則|a＋2b|＝________. 解析：法一：易知|a＋2b|＝＝＝2. 法二(數(shù)形結(jié)合法)：由|a|＝|2b|＝2，知以a與2b為鄰邊可作出邊長(zhǎng)為2的菱形OACB，如圖，則|a＋2b|＝||.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2. 答案：2 3.(2017·蘭州一模)設(shè)x∈R，向量a＝(x,1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，則|a＋b|＝________. 解析：∵a⊥b，∴a·b＝0，即x－2＝0，解得x＝2，∴a＋b＝(3，－1)，于是|a＋b|＝. 答案： 4.(2018

62、·泰興八校聯(lián)考)已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k，－2)，若(a－c)∥b，則向量a與向量c的夾角的余弦值是________． 解析：由已知得a－c＝(3－k,3)，∵(a－c)∥b，∴3(3－k)－3＝0，∴k＝2，即c＝(2，－2)，∴cos〈a，c〉＝＝＝. 答案： 5.已知a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，k為實(shí)數(shù)，若向量a＋b與向量ka－b垂直，則k＝________. 解析：∵a與b為兩個(gè)不共線的單位向量，∴|a|＝|b|＝1，又a＋b與ka－b垂直，∴(a＋b)·(ka－b)＝0，即ka2＋ka·b－a·b－b2＝0，∴k－1＋ka·b－a·b＝0，即k－1＋

63、kcos θ－cos θ＝0(θ為a與b的夾角)，∴(k－1)(1＋cos θ)＝0.又a與b不共線，∴cos θ≠－1，∴k＝1. 答案：1 6.(2018·淮安模擬)已知平面向量a，b滿足|b|＝1，且a與b－a的夾角為120°，則a的模的取值范圍為________． 解析：在△ABC中，設(shè)＝a，＝b，則b－a＝－＝，∵a與b－a的夾角為120°，∴B＝60°，由正弦定理得＝，∴|a|＝＝sin C，∵C∈，∴sin C∈(0,1]，∴|a|∈. 答案： 突破點(diǎn)(三)　平面向量與其他知識(shí)的綜合問題　 平面向量集數(shù)與形于一體，是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種非常重要的工具.常將

64、它與三角函數(shù)問題、解三角形問題、幾何問題等結(jié)合起來(lái)考查. 考點(diǎn)貫通 抓高考命題的“形”與“神” 平面向量與三角函數(shù)的綜合問題 [例1]　(2017·江蘇高考)已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，x∈[0，π]． (1)若a∥b，求x的值； (2)記f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值． [解]　(1)因?yàn)閍＝(cos x，sin x)，b＝(3，－)，a∥b， 所以－cos x＝3sin x. 則tan x＝－. 又x∈[0，π]，所以x＝. (2)f(x)＝a·b＝(cos x，sin x)·(3，－)＝3cos

65、x－sin x＝2cos. 因?yàn)閤∈[0，π]，所以x＋∈， 從而－1≤cos≤. 于是，當(dāng)x＋＝，即x＝0時(shí)，f(x)取到最大值3； 當(dāng)x＋＝π，即x＝時(shí)，f(x)取到最小值－2. [方法技巧] 平面向量與三角函數(shù)綜合問題的類型及求解思路 (1)向量平行、垂直與三角函數(shù)綜合 此類題型的解答一般是利用向量平行(共線)、垂直關(guān)系得到三角函數(shù)式，再利用三角恒等變換對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，結(jié)合三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)進(jìn)行求解． (2)向量的模與三角函數(shù)綜合 此類題型主要是利用向量模的性質(zhì)|a|2＝a2，如果涉及向量的坐標(biāo)，解答時(shí)可利用兩種方法：一是先進(jìn)行向量的運(yùn)算，再代入向量的坐標(biāo)進(jìn)行

66、求解；二是先將向量的坐標(biāo)代入，再利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解．此類題型主要表現(xiàn)為兩種形式：①利用三角函數(shù)與向量的數(shù)量積直接聯(lián)系；②利用三角函數(shù)與向量的夾角交匯，達(dá)到與數(shù)量積的綜合．　　 平面向量與幾何的綜合問題 [例2]　(1)在平行四邊形ABCD中， AD＝1，∠BAD＝60°，E為CD的中點(diǎn)．若·＝1, 則AB的長(zhǎng)為________． (2)已知菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∠BAD＝120°，點(diǎn)E，F(xiàn) 分別在邊BC，DC上，BC＝3BE，DC＝λDF.若·＝1，則 λ的值為________． [解析]　(1)設(shè)||＝x，x＞0，則·＝x.又·＝(＋)·(－)＝1－x2＋x＝1，解得x＝，即AB的長(zhǎng)為. (2)由題意可得·＝||·||cos 120°＝2×2×＝－2， 在菱形ABCD中，易知＝，＝， 所以＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ·＝·＝＋－2＝1，解得λ＝2. [答案]　(1)　(2)2 [方法技巧] 平面向量與幾何綜合問題的求解方法 (1)坐標(biāo)法：把幾何圖形放在適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系中，則有關(guān)點(diǎn)與向量就可以用坐標(biāo)表示，這樣就能進(jìn)行相應(yīng)的代數(shù)運(yùn)算和向量運(yùn)算，從而使問題得