（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第二章 圓錐曲線與方程 2.2.1 橢圓及其標準方程學案 新人教A版選修2-1

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1、 2.2.1　橢圓及其標準方程 學習目標　1.理解橢圓的定義.2.掌握橢圓的標準方程及標準方程的推導過程． 知識點一　橢圓的定義 思考　給你兩個圖釘，一根無彈性的細繩，一張紙板，一支鉛筆，如何畫出一個橢圓？ 答案　在紙板上固定兩個圖釘，繩子的兩端固定在圖釘上，繩長大于兩圖釘間的距離，筆尖貼近繩子，將繩子拉緊，移動筆尖即可畫出橢圓． 梳理　(1)平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓．這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距． (2)橢圓的定義用集合語言敘述為： P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a,2a>|F1F2

2、|}． (3)2a與|F1F2|的大小關系所確定的點的軌跡如下表： 條件 結論 2a>|F1F2| 動點的軌跡是橢圓 2a＝|F1F2| 動點的軌跡是線段F1F2 2a<|F1F2| 動點不存在，因此軌跡不存在 知識點二　橢圓的標準方程 思考　在橢圓的標準方程中a>b>c一定成立嗎？ 答案　不一定，只需a>b，a>c即可，b，c的大小關系不確定． 梳理　(1)橢圓標準方程的兩種形式 焦點位置 標準方程 焦點 焦距 焦點在x軸上 ＋＝1(a>b>0) F1(－c,0)， F2(c,0) 2c 焦點在y軸上 ＋＝1(a>b>0) F1(0，－c

3、)， F2(0，c) 2c (2)橢圓的標準方程與其在坐標系中的位置的對應關系 橢圓在坐標系中的位置 標準方程 ＋＝1(a>b>0) ＋＝1(a>b>0) 焦點坐標 F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0) F1(0，－c)，F(xiàn)2(0，c) a，b，c的關系 b2＝a2－c2 (3)根據(jù)方程判斷橢圓的焦點位置及求焦點坐標 判斷橢圓焦點在哪個軸上就要判斷橢圓標準方程中x2項和y2項的分母哪個更大一些，即“誰大在誰上”．如方程為＋＝1的橢圓，焦點在y軸上，而且可求出焦點坐標F1(0，－1)，F(xiàn)2(0,1)，焦距|F1F2|＝2. (1)已知F1(－4,0)

4、，F(xiàn)2(4,0)，平面內到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于8的點的軌跡是橢圓．(×) (2)已知F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，平面內到F1，F(xiàn)2兩點的距離之和等于6的點的軌跡是橢圓．(×) (3)平面內到點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)兩點的距離之和等于點M(5,3)到F1，F(xiàn)2的距離之和的點的軌跡是橢圓．(√) (4)平面內到點F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)距離相等的點的軌跡是橢圓．(×) 類型一　橢圓定義的應用 例1　點P(－3,0)是圓C：x2＋y2－6x－55＝0內一定點，動圓M與已知圓相內切且過P點，判斷圓心M的軌跡． 考點　橢圓的定義 題點　橢圓定義的應用

5、解　方程x2＋y2－6x－55＝0化成標準形式為(x－3)2＋y2＝64，圓心為(3,0)，半徑r＝8.因為動圓M與已知圓相內切且過P點，所以|MC|＋|MP|＝r＝8，根據(jù)橢圓的定義，動點M到兩定點C，P的距離之和為定值8>6＝|CP|，所以動點M的軌跡是橢圓． 引申探究 若將本例中圓C的方程改為：x2＋y2－6x＝0且點P(－3,0)為其外一定點，動圓M與已知圓C相外切且過P點，求動圓圓心M的軌跡方程． 解　設M(x，y)，由題意可知，圓C：(x－3)2＋y2＝9， 圓心C(3,0)，半徑r＝3. 由|MC|＝|MP|＋r，故|MC|－|MP|＝r＝3， 即－＝3， 整理得－

6、＝1(x<0)． 反思與感悟　橢圓是在平面內定義的，所以“平面內”這一條件不能忽視． 定義中到兩定點的距離之和是常數(shù)，而不能是變量． 常數(shù)2a必須大于兩定點間的距離，否則軌跡不是橢圓，這是判斷一曲線是否為橢圓的限制條件． 跟蹤訓練1　(1)下列命題是真命題的是________．(將所有真命題的序號都填上) ①已知定點F1(－1,0)，F(xiàn)2(1,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝的點P的軌跡為橢圓； ②已知定點F1(－2,0)，F(xiàn)2(2,0)，則滿足|PF1|＋|PF2|＝4的點P的軌跡為線段； ③到定點F1(－3,0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡為橢圓． 考點　橢圓的

7、定義 題點　橢圓定義的應用 答案　② 解析?、?2，故點P的軌跡不存在；②因為2a＝|F1F2|＝4，所以點P的軌跡是線段F1F2；③到定點F1(－3，0)，F(xiàn)2(3,0)的距離相等的點的軌跡是線段F1F2的垂直平分線(y軸)． (2)已知一動圓M與圓C1：(x＋3)2＋y2＝1外切，與圓C2：(x－3)2＋y2＝81內切，試求動圓圓心M的軌跡方程． 考點　橢圓的定義 題點　橢圓定義的應用 解　由題意可知C1(－3,0)，r1＝1，C2(3,0)，r2＝9， 設M(x，y)，半徑為R， 則|MC1|＝1＋R，|MC2|＝9－R， 故|MC1|＋|MC2|＝10， 由橢圓定

8、義知，點M的軌跡是一個以C1，C2為焦點的橢圓，且a＝5，c＝3，故b2＝a2－c2＝16. 故所求動圓圓心M的軌跡方程為＋＝1. 類型二　橢圓的標準方程 例2　求中心在原點，焦點在坐標軸上，且經(jīng)過兩點P，Q的橢圓的標準方程． 考點　橢圓定義及標準方程的應用 題點　橢圓標準方程的應用 解　方法一　①當橢圓焦點在x軸上時，可設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)． 依題意，有 解得 由a>b>0，知不合題意，故舍去； ②當橢圓焦點在y軸上時，可設橢圓的標準方程為 ＋＝1(a>b>0)． 依題意，有解得 所以所求橢圓的標準方程為＋＝1. 方法二　設橢圓的方程為mx2＋n

9、y2＝1(m>0，n>0，m≠n)． 則解得 所以所求橢圓的方程為5x2＋4y2＝1， 故橢圓的標準方程為＋＝1. 引申探究 求與橢圓＋＝1有相同焦點，且過點(3，)的橢圓方程． 解　由題意可設其方程為＋＝1(λ>－9)， 又橢圓過點(3，)，將此點代入橢圓方程，得 λ＝11(λ＝－21舍去)， 故所求的橢圓方程為＋＝1. 反思與感悟　(1)若橢圓的焦點位置不確定，需要分焦點在x軸上和在y軸上兩種情況討論，也可設橢圓方程為mx2＋ny2＝1(m≠n，m>0，n>0)． (2)與橢圓＋＝1(a>b>0)有公共焦點的橢圓方程為＋＝1(a>b>0，b2>－λ)，與橢圓＋＝1(a

10、>b>0)有公共焦點的橢圓方程為＋＝1(a>b>0，b2>－λ)． 跟蹤訓練2　求適合下列條件的橢圓的標準方程． (1)橢圓的兩個焦點坐標分別為F1(－4,0)，F(xiàn)2(4,0)，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于10； (2)橢圓過點(3,2)，(5,1)； (3)橢圓的焦點在x軸上，且經(jīng)過點(2,0)和點(0,1)． 考點　橢圓標準方程的求法 題點　定義法求橢圓的標準方程 解　(1)設其標準方程為＋＝1(a>b>0)． 由題意可知2a＝10，c＝4，故b2＝a2－c2＝9， 故所求橢圓的標準方程為＋＝1. (2)設橢圓的一般方程為Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B

11、)， 則解得 故所求橢圓的標準方程為＋＝1. (3)設橢圓的標準方程為＋＝1(a>b>0)． 由解得 故所求橢圓的標準方程為＋y2＝1. 類型三　求與橢圓有關的軌跡方程 例3　已知B，C是兩個定點，|BC|＝8，且△ABC的周長等于18.求這個三角形的頂點A的軌跡方程． 考點　橢圓標準方程的求法 題點　定義法求橢圓的標準方程 解　以過B，C兩點的直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy，如圖所示． 由|BC|＝8可知點B(－4,0)， C(4,0)． 由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18， 得|AB|＋|AC|＝10>8＝|BC|， 因

12、此，點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓，這個橢圓上的點與兩焦點的距離之和2a＝10，但點A不在x軸上． 由a＝5，c＝4， 得b2＝a2－c2＝25－16＝9. 所以點A的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 反思與感悟　求與橢圓有關的軌跡方程常用的方法： (1)定義法：若動點的軌跡特點符合某一基本軌跡(如橢圓、圓等)的定義，則可用定義直接求解． (2)直接法：將動點滿足的幾何條件或者等量關系直接坐標化，列出等式后化簡，得出動點的軌跡方程． (3)相關點法：根據(jù)相關點所滿足的方程，通過轉換求出動點軌跡的方程． 跟蹤訓練3　如圖，設定點A(6,2)，P是橢圓＋＝1上的動點，求線段AP的中點

13、M的軌跡方程． 考點　橢圓標準方程的求法 題點　定義法求橢圓的標準方程 解　設M(x，y)，P(x1，y1)． ∵M為線段AP的中點， ∴ 又∵＋＝1， ∴點M的軌跡方程為＋＝. 1．橢圓＋y2＝1上一點P到一個焦點的距離為2，則點P到另一個焦點的距離為(　　) A．5B．6C．7D．8 考點　橢圓的標準方程 題點　由橢圓的標準方程求焦點、焦距 答案　D 解析　設橢圓的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，|PF1|＝2， 結合橢圓定義|PF2|＋|PF1|＝10，可得|PF2|＝8. 2．已知橢圓的焦點為(－1,0)和(1,0)，點P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為

14、(　　) A.＋＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋x2＝1 考點　橢圓標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 答案　A 解析　c＝1，a＝×(＋)＝2，∴b2＝a2－c2＝3， ∴橢圓的方程為＋＝1. 3．設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△F1PF2的面積＝________. 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓定義及其標準方程的綜合應用 答案　4 解析　由橢圓方程，得a＝3，b＝2，c＝. ∵|PF1|＋|PF2|＝2a＝6且|PF1|∶|PF2|＝2∶1， ∴|PF1|＝4，|PF2

15、|＝2， ∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2， ∴△PF1F2是直角三角形， 故△F1PF2的面積為|PF1|·|PF2|＝×2×4＝4. 4．在橢圓＋y2＝1中，有一沿直線運動的粒子從一個焦點F2出發(fā)經(jīng)橢圓反射后經(jīng)過另一個焦點F1，再次被橢圓反射后又回到F2，則該粒子在整個運動過程中經(jīng)過的路程為________． 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓定義及其標準方程的綜合應用 答案　4 解析　把粒子運動軌跡表示出來，可知整個路程為4a，即4. 5．若△ABC的三邊長a，b，c成等差數(shù)列，且b＝6，求頂點B的軌跡方程． 考點　橢圓標準方程的求法 題點　定

16、義法求橢圓的標準方程 解　以直線AC為x軸，AC的中點為原點，建立平面直角坐標系，設A(－3,0)，C(3,0)，B(x，y)， 則|BC|＋|AB|＝a＋c＝2b＝2|AC|＝12， ∴B點的軌跡是以A，C為焦點的橢圓， 且a′＝6，c′＝3，b′2＝27. 故所求的軌跡方程為＋＝1(y≠0)． 1．平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之和為常數(shù)，即|MF1|＋|MF2|＝2a， 當2a＞|F1F2|時，軌跡是橢圓； 當2a＝|F1F2|時，軌跡是一條線段F1F2； 當2a＜|F1F2|時，軌跡不存在． 2．所謂橢圓的標準方程，指的是焦點在坐標軸上，且兩焦點的中點為坐標原點

17、；在＋＝1與＋＝1這兩個標準方程中，都有a>b>0的要求，如方程＋＝1(m>0，n>0，m≠n)就不能確定焦點在哪個軸上；分清兩種形式的標準方程，可與直線截距式＋＝1類比，如＋＝1中，由于a>b，所以在x軸上的“截距”更大，因而焦點在x軸上(即看x2，y2分母的大小)． 3．對于求解橢圓的標準方程一般有兩種方法：一是通過待定系數(shù)法求解，二是通過橢圓的定義進行求解． 一、選擇題 1．平面內，F(xiàn)1，F(xiàn)2是兩個定點，“動點M滿足||＋||為常數(shù)”是“M的軌跡是橢圓”的(　　) A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 考點　橢圓的定義 題點　橢

18、圓定義的應用 答案　B 解析　當||＋||＞||時，M的軌跡才是橢圓． 2．已知方程＋＝1表示橢圓，則k的取值范圍為(　　) A．k>－3且k≠－ B．－32 D．k<－3 答案　B 解析　由題意，知需滿足 解得－3

19、點B(0，－4)，C(0,4)，則頂點A的軌跡方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1(x≠0) 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓定義及其標準方程的綜合應用 答案　B 解析　由|AB|＋|AC|＝12＞|BC|＝8，得點A的軌跡是以B，C為焦點的橢圓(x≠0)． 5．P是橢圓＋＝1上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點，若|PF1|·|PF2|＝12，則∠F1PF2的大小為(　　) A．30° B．60° C．120° D．150° 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓定義及其標準方程的綜合應用

20、 答案　B 解析　因為|PF1|＋|PF2|＝8， cos∠F1PF2＝ ＝＝. 又因為∠F1PF2∈[0，π)， 所以∠F1PF2＝. 6．已知橢圓＋＝1上有一點P，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若△F1PF2為直角三角形，則這樣的點P有(　　) A．3個 B．4個 C．6個 D．8個 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓標準方程的應用 答案　C 解析　當∠PF1F2為直角時，根據(jù)橢圓的對稱性知，這樣的點P有2個；同理當∠PF2F1為直角時，這樣的點P有2個；當P點為橢圓的短軸端點時，∠F1PF2最大，且為直角，此時這樣的點P有2個．故符合要求的點P有6個．

21、 7．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，M為橢圓上一動點，F(xiàn)1為橢圓的左焦點，則線段MF1的中點P的軌跡是(　　) A．圓 B．橢圓 C．線段 D．直線 考點　橢圓的定義 題點　橢圓定義的應用 答案　B 解析　由題意，知|PO|＝|MF2|，|PF1|＝|MF1|， 又|MF1|＋|MF2|＝2a，所以|PO|＋|PF1|＝a>|F1O|＝c，故由橢圓的定義，知P點的軌跡是橢圓． 二、填空題 8．已知橢圓的焦點在y軸上，其上任意一點到兩焦點的距離和為8，焦距為2，則此橢圓的標準方程為_______________． 考點　橢圓的標準方程 題點　由定義求標準方程 答案　＋x

22、2＝1 解析　由已知2a＝8,2c＝2， 所以a＝4，c＝， 所以b2＝a2－c2＝16－15＝1. 又橢圓的焦點在y軸上， 所以橢圓的標準方程為＋x2＝1. 9．已知中心在原點，長軸在x軸上，一焦點與短軸兩端點連線互相垂直，焦點與長軸上較近頂點的距離為4(－1)，則此橢圓方程是____________． 答案?。? 解析　由題意，得解得 所以橢圓方程為＋＝1. 10．設F1，F(xiàn)2分別為橢圓＋y2＝1的左、右焦點，點A，B在橢圓上，若＝5，則點A的坐標是________． 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓標準方程的應用 答案　(0，±1) 解析　根據(jù)題

23、意，設A點坐標為(m，n)，B點坐標為(c，d)． F1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點， 其坐標分別為(－，0)，(，0)， 可得＝(m＋，n)，＝(c－，d)． ∵＝5，∴c＝，d＝. ∵點A，B都在橢圓上， ∴＋n2＝1，＋2＝1. 解得m＝0，n＝±1，故點A坐標為(0，±1)． 11．若點O和點F分別為橢圓＋y2＝1的中心和右焦點，點P為橢圓上的任意一點，則|OP|2＋|PF|2的最小值為________． 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓標準方程的應用 答案　2 解析　由題意可知，O(0,0)，F(xiàn)(1,0)， 設P(cosα，sinα)， 則|O

24、P|2＋|PF|2＝2cos2α＋sin2α＋(cosα－1)2＋sin2α＝2cos2α－2cosα＋3＝22＋2， 所以當cosα＝時，|OP|2＋|PF|2取得最小值2. 三、解答題 12．已知F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)為橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P在橢圓上，且△PF1F2的面積為b2，求cos∠F1PF2的值． 考點　橢圓定義及其標準方程的應用 題點　橢圓定義及其標準方程的綜合應用 解　依題意可得 整理得|PF1|·|PF2|＝. ∵△PF1F2的面積為b2， ∴××sin∠F1PF2＝b2， ∴1＋cos∠F1PF2＝sin∠F1PF2， 又

25、∵sin2∠F1PF2＋cos2∠F1PF2＝1， ∴cos∠F1PF2＝(cos∠F1PF2＝－1舍去)． 13．已知橢圓＋＝1上一點M的縱坐標為2. (1)求M的橫坐標； (2)求過M且與＋＝1共焦點的橢圓的方程． 考點　橢圓標準方程的求法 題點　待定系數(shù)法求橢圓的標準方程 解　(1)把M的縱坐標代入＋＝1， 得＋＝1，即x2＝9，解得x＝±3，即M的橫坐標為3或－3. (2)橢圓＋＝1的焦點在x軸上且c2＝9－4＝5. 設所求橢圓的方程為＋＝1(a2＞5)， 把M點坐標代入橢圓方程，得＋＝1， 解得a2＝15(a2＝3舍去)．故所求橢圓的方程為＋＝1. 四、探究

26、與拓展 14．已知橢圓＋＝1的兩個焦點為F1，F(xiàn)2，M是橢圓上一點，且|MF1|－|MF2|＝1，則△MF1F2是(　　) A．鈍角三角形 B．直角三角形 C．銳角三角形 D．等邊三角形 考點　橢圓的定義 題點　橢圓定義的應用 答案　B 解析　由橢圓定義，知|MF1|＋|MF2|＝2a＝4， 且已知|MF1|－|MF2|＝1， 所以|MF1|＝，|MF2|＝. 又|F1F2|＝2c＝2， 所以有|MF1|2＝|MF2|2＋|F1F2|2， 因此∠MF2F1＝90°， 即△MF1F2為直角三角形． 15．如圖所示，△ABC的底邊BC＝12，其他兩邊AB和AC上中線的和

27、為30，求此三角形重心G的軌跡方程，并求頂點A的軌跡方程． 考點　橢圓標準方程的求法 題點　定義法求橢圓的標準方程 解　以BC邊所在直線為x軸，BC邊中點為原點，建立如圖所示的平面直角坐標系， 則B(6,0)，C(－6,0)，CE，BD為AB，AC邊上的中線， 則|BD|＋|CE|＝30. 由重心性質可知，|GB|＋|GC|＝(|BD|＋|CE|)＝20＞12. ∵B，C是兩個定點，G點到B，C的距離和等于定值20，且20＞12＝|BC|， ∴G點的軌跡是橢圓，B，C是橢圓焦點， ∴2c＝|BC|＝12，c＝6,2a＝20， a＝10，b2＝a2－c2＝102－62＝64， 故G點的軌跡方程為＋＝1(x≠±10)． 設G(x′，y′)，A(x，y)，則有＋＝1. 由重心坐標公式知 故A點軌跡方程為＋＝1， 即＋＝1(x≠±30). 17