（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學 第三章 空間向量與立體幾何 3.1.5 空間向量運算的坐標表示學案 新人教A版選修2-1

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1、 3.1.5　空間向量運算的坐標表示 學習目標　1.了解空間向量坐標的概念，會確定一些簡單幾何體的頂點坐標.2.掌握空間向量的坐標運算.3.會判斷兩向量平行或垂直.4.掌握空間向量的模、夾角公式和兩點間的距離公式． 知識點一　空間向量的坐標運算 空間向量a，b，其坐標形式為a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3). 向量運算 向量表示 坐標表示 加法 a＋b a＋b＝(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3) 減法 a－b a－b＝(a1－b1，a2－b2，a3－b3) 數(shù)乘 λa λa＝(λa1，λa2，λa3) 數(shù)量積 a·b a·b＝a1b

2、1＋a2b2＋a3b3 知識點二　空間向量的平行、垂直及模、夾角 設a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則 名稱 滿足條件 向量表示形式 坐標表示形式 a∥b a＝λb(λ∈R) a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R) a⊥b a·b＝0 a·b＝a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos〈a，b〉＝ cos〈a，b〉＝ (1)空間直角坐標系中，向量的坐標與終點B的坐標相同．(×) (2)設a＝(x1，y1，z1)，b＝(x2，y2，z2)且b≠0，則a∥b?＝＝.(×) (3)四邊形

3、ABCD是平行四邊形，則向量與的坐標相同．(√) (4)設A(0,1，－1)，O為坐標原點，則＝(0,1，－1)．(√) 類型一　空間向量坐標的計算 例1　(1)已知向量a＝(4，－2，－4)，b＝(6，－3,2)，則(2a＋3b)·(a－2b)＝________. (2)已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，則cos〈a，b〉等于(　　) A.B.C.D. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　(1)－244　(2)C 解析　(1)(2a＋3b)·(a－2b)＝2a2＋3a·b－4a·b－6b2＝2×62－22－6×72＝－244.

4、(2)由已知得a＝(1，，)，b＝(1,0，)， 故cos〈a，b〉＝＝＝. 反思與感悟　關(guān)于空間向量坐標運算的兩類問題 (1)直接計算問題 首先將空間向量用坐標表示出來，然后準確運用空間向量坐標運算公式計算． (2)由條件求向量或點的坐標 首先把向量坐標形式設出來，然后通過建立方程組，解方程組求出其坐標． 跟蹤訓練1　若向量a＝(1,1，x)，b＝(1,2,1)，c＝(1,1,1)，且滿足條件(c－a)·(2b)＝－2，則 x＝________. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　2 解析　據(jù)題意，有c－a＝(0,0,1－x)，2b＝(2,

5、4,2)， 故(c－a)·2b＝2(1－x)＝－2，解得x＝2. 類型二　空間向量平行、垂直的坐標表示 例2　已知空間三點A(－2,0,2)，B(－1,1,2)，C(－3,0,4)，設a＝，b＝. (1)若|c|＝3，c∥，求c； (2)若ka＋b與ka－2b互相垂直，求k. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 解　(1)因為＝(－2，－1,2)，且c∥， 所以設c＝λ＝(－2λ，－λ，2λ)， 得|c|＝＝3|λ|＝3， 解得λ＝±1.即c＝(－2，－1,2)或c＝(2,1，－2)． (2)因為a＝＝(1,1,0)，b＝＝(－1,0,2)， 所以

6、ka＋b＝(k－1，k,2)，ka－2b＝(k＋2，k，－4)． 又因為(ka＋b)⊥(ka－2b)，所以(ka＋b)·(ka－2b)＝0. 即(k－1，k,2)·(k＋2，k，－4)＝2k2＋k－10＝0. 解得k＝2或k＝－. 引申探究 若將本例(2)中改為“若ka－b與ka＋2b互相垂直”，求k的值． 解　由題意知ka－b＝(k＋1，k，－2)，ka＋2b＝(k－2，k,4)， ∵(ka－b)⊥(ka＋2b)，∴(ka－b)·(ka＋2b)＝0， 即(k＋1)(k－2)＋k2－8＝0，解得k＝－2或k＝， 故所求k的值為－2或. 反思與感悟　(1)平行與垂直的判斷

7、①應用向量的方法判定兩直線平行，只需判斷兩直線的方向向量是否共線． ②判斷兩直線是否垂直，關(guān)鍵是判斷兩直線的方向向量是否垂直，即判斷兩向量的數(shù)量積是否為0. (2)平行與垂直的應用 ①適當引入?yún)?shù)(比如向量a，b平行，可設a＝λb)，建立關(guān)于參數(shù)的方程． ②選擇坐標形式，以達到簡化運算的目的． 跟蹤訓練2　正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是棱D1D的中點，P，Q分別為線段B1D1，BD上的點，且3＝，若PQ⊥AE，＝λ，求λ的值． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 解　如圖所示，以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空

8、間直角坐標系Dxyz，設正方體棱長為1，則A(1,0,0)，E，B(1,1,0)，B1(1,1,1)，D1(0,0,1)， 由題意，可設點P的坐標為(a，a,1)， 因為3＝， 所以3(a－1，a－1,0)＝(－a，－a，0)， 所以3a－3＝－a，解得a＝， 所以點P的坐標為. 由題意可設點Q的坐標為(b，b,0)， 因為PQ⊥AE，所以·＝0， 所以·＝0， 即－－＝0， 解得b＝，所以點Q的坐標為. 因為＝λ，所以(－1，－1,0)＝λ， 所以＝－1，故λ＝－4. 類型三　空間向量的夾角與長度的計算 例3　棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，

9、G分別是DD1，BD，BB1的中點． (1)求證：EF⊥CF； (2)求異面直線EF與CG所成角的余弦值； (3)求CE的長． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量在立體幾何中的應用 (1)證明　以D為坐標原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Dxyz，則D(0,0,0)，E，C(0,1,0)， F，G. 所以＝，＝，＝，＝. 因為·＝×＋×＋×0＝0，所以⊥，即EF⊥CF. (2)解　因為·＝×1＋×0＋×＝， ||＝＝， ||＝＝， 所以cos〈，〉＝＝＝. 又因為異面直線所成角的范圍是(0°，90°]，

10、所以異面直線EF與CG所成角的余弦值為. (3)解　|CE|＝||＝＝. 反思與感悟　通過分析幾何體的結(jié)構(gòu)特征，建立適當?shù)淖鴺讼?，使盡可能多的點落在坐標軸上，以便寫點的坐標時便捷．建立坐標系后，寫出相關(guān)點的坐標，然后再寫出相應向量的坐標表示，把向量坐標化，然后再利用向量的坐標運算求解夾角和距離問題． 跟蹤訓練3　如圖，在直三棱柱(側(cè)棱垂直于底面的棱柱)ABC－A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，N為A1A的中點． (1)求BN的長； (2)求A1B與B1C所成角的余弦值． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量在立體幾何中的應用 解　如圖，以C

11、為坐標原點，CA，CB，CC1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系Cxyz. (1)依題意得B(0,1,0)，N(1,0,1)， ∴||＝＝， ∴線段BN的長為. (2)依題意得A1(1,0,2)，C(0,0,0)，B1(0,1,2)， ∴＝(－1,1，－2)，＝(0，－1，－2)， ∴·＝(－1)×0＋1×(－1)＋(－2)×(－2)＝3. 又||＝，||＝， ∴cos〈，〉＝＝. 又異面直線所成角為銳角或直角， 故A1B與B1C所成角的余弦值為. 1．已知M(5，－1,2)，A(4,2，－1)，O為坐標原點，若＝，則點B的坐標應為(　　) A．(－

12、1,3，－3) B．(9,1,1) C．(1，－3,3) D．(－9，－1，－1) 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　B 解析?。剑剑剑?9,1,1)． 2．若△ABC的三個頂點坐標分別為A(1，－2,1)，B(4,2,3)，C(6，－1,4)，則△ABC的形狀 是(　　) A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等邊三角形 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　A 解析?。?3,4,2)，＝(5,1,3)，＝(2，－3,1)． 由·＞0，得A為銳角；由·＞0，得C為銳角；由·＞0，得B為

13、銳角．所以△ABC為銳角三角形． 3．已知a＝(2，－3,1)，則下列向量中與a平行的是(　　) A．(1,1,1) B．(－4,6，－2) C．(2，－3,5) D．(－2，－3,5) 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　B 解析　若b＝(－4,6，－2)，則b＝－2(2，－3,1)＝－2a，所以a∥b. 4．已知向量a＝(1,1,0)，b＝(－1,0,2)，且ka＋b與2a－b互相垂直，則k的值是(　　) A．1B.C.D. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　D 解析　依題意得(ka＋b)·(2a－

14、b)＝0， 所以2k|a|2－ka·b＋2a·b－|b|2＝0， 而|a|2＝2，|b|2＝5，a·b＝－1， 所以4k＋k－2－5＝0，解得k＝. 5．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，則向量與的夾角為________． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　 解析　∵＝(0,3,3)，＝(－1,1,0)， ∴||＝3，||＝， ·＝0×(－1)＋3×1＋3×0＝3， ∴cos〈，〉＝＝， 又∵〈，〉∈[0，π]， ∴〈，〉＝. 1．在空間直角坐標系中，已知點A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，

15、則＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．一個向量在空間直角坐標系中的坐標等于表示這個向量的有向線段的終點坐標減去它的起點坐標． 2．兩點間的距離公式：若A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則|AB|＝||＝＝. 3．空間向量的數(shù)量積和夾角有關(guān)，經(jīng)常以空間向量數(shù)量積為工具，解決立體幾何中與夾角相關(guān)的問題，把空間兩條直線所成的角問題轉(zhuǎn)化為兩條直線對應向量的夾角問題，但要注意空間兩條直線所成的角與對應向量的夾角的取值范圍． 一、選擇題 1．已知a＝(1，－2,1)，a＋b＝(－1,2，－1)，則b等于(　　) A．(2，－4,2) B．(－2,4，－

16、2) C．(－2,0，－2) D．(2,1，－3) 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　B 2．已知直線l的方向向量為a，平面α內(nèi)兩共點向量，，下列關(guān)系中能表示l∥α的 是(　　) A．a(chǎn)＝ B．a(chǎn)＝k C．a(chǎn)＝p＋λ D．以上均不能 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　D 3．已知a＝(1,5，－2)，b＝(m,2，m＋2)，若a⊥b，則m的值為(　　) A．0B．6C．－6D．±6 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　B 解析　∵a⊥b，∴1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解

17、得m＝6. 4．已知a＝(1,0,1)，b＝(－2，－1,1)，c＝(3,1,0)，則|a－b＋2c|等于(　　) A．3B．2C.D．5 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　A 解析　a－b＋2c＝(9,3,0)，|a－b＋2c|＝3. 5．已知向量a＝(3，－2,1)，b＝(－2,4,0)，則4a＋2b等于(　　) A．(16,0,4) B．(8，－16,4) C．(8,16,4) D．(8,0,4) 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　D 解析　4a＋2b＝4(3，－2,1)＋2(－2,4,0)＝(

18、12，－8,4)＋(－4,8,0)＝(8,0,4)． 6．已知向量a＝(2x,1,3)，b＝(1，－2y,9)，若a與b為共線向量，則(　　) A．x＝1，y＝1 B．x＝，y＝－ C．x＝，y＝－ D．x＝－，y＝ 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　C 解析　∵a＝(2x,1,3)與b＝(1，－2y,9)共線， ∴＝＝(y≠0)， ∴x＝，y＝－. 7．若A(m＋1，n－1,3)，B(2m，n，m－2n)，C(m＋3，n－3,9)三點共線，則m＋n的值為(　　) A．0 B．－1 C．1 D．－2 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空

19、間向量的坐標運算 答案　A 解析　因為＝(m－1,1，m－2n－3)，＝(2，－2,6)，由題意得∥，所以＝＝， 所以m＝0，n＝0，所以m＋n＝0. 二、填空題 8．已知a＝(2，－3,0)，b＝(k,0,3)，〈a，b〉＝120°，則k＝________. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　－ 解析　∵a·b＝2k，|a|＝，|b|＝，且k＜0，∴cos120°＝，∴k＝－. 9．已知向量a＝(1,2,3)，b＝(x，x2＋y－2，y)，并且a，b同向，則x＋y的值為________． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運

20、算 答案　4 解析　由題意知a∥b， 所以＝＝， 即 把①代入②得x2＋x－2＝0，即(x＋2)(x－1)＝0， 解得x＝－2或x＝1. 當x＝－2時，y＝－6； 當x＝1時，y＝3. 當時，b＝(－2，－4，－6)＝－2a， 向量a，b反向，不符合題意，所以舍去． 當時，b＝(1,2,3)＝a， a與b同向，所以此時x＋y＝4. 10．已知A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，則在上的投影為________． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　－4 解析　∵＝(5，－6,2)－(1，－1,2)＝(4，－5,0

21、)， ＝(1,3，－1)－(1，－1,2)＝(0,4，－3)， ∴cos〈，〉＝ ＝－， 在上的投影為||cos〈，〉 ＝×＝－4. 11．已知向量a＝(5,3,1)，b＝，若a與b的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為_____________． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　∪ 解析　由已知得a·b＝5×(－2)＋3t＋1×＝3t－，因為a與b的夾角為鈍角，所以a·b<0， 即3t－<0，所以t<. 若a與b的夾角為180°，則存在λ<0，使a＝λb(λ<0)， 即(5,3,1)＝λ， 所以所以t＝－， 故t的取值范圍是∪. 三、

22、解答題 12．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面是邊長為2的菱形，∠DAB＝60°，對角線AC與BD相交于點O，PO⊥平面ABCD，PB與平面ABCD所成角為60°. (1)求四棱錐P-ABCD的體積； (2)若E是PB的中點，求異面直線DE與PA所成角的余弦值． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 解　(1)∵四邊形ABCD是邊長為2的菱形，且∠DAB＝60°， ∴OA＝OC＝，BO＝OD＝1，S菱形ABCD＝×2×2＝2. 在Rt△POB中，∠PBO＝60°， ∴PO＝OB·tan60°＝. ∴VP－ABCD＝S菱形ABCD·PO＝×2×＝2.

23、 (2)如圖，以O為坐標原點，OB，OC，OP所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系Oxyz， 則B(1,0,0)，C(0，，0)，D(－1,0,0)， A(0，－，0)，P(0,0，)． ∴E， ∴＝，＝. ∴·＝0＋0＋×(－)＝－， ||＝，||＝. ∴cos〈，〉＝＝＝－. ∵異面直線所成的角為銳角或直角， ∴異面直線DE與PA所成角的余弦值為. 13．已知a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)． (1)當(λa＋b)∥(a－3b)時，求實數(shù)λ的值； (2)當(a－3b)⊥(λa＋b)時，求實數(shù)λ的值． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　

24、空間向量的坐標運算 解　∵a＝(1,5，－1)，b＝(－2,3,5)， ∴a－3b＝(1,5，－1)－3(－2,3,5)＝(1,5，－1)－(－6,9,15)＝(7，－4，－16)，λa＋b＝λ(1,5，－1)＋(－2,3,5)＝(λ，5λ，－λ)＋(－2,3,5)＝(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)． (1)∵(λa＋b)∥(a－3b)， ∴＝＝，解得λ＝－. (2)∵(a－3b)⊥(λa＋b)， ∴(7，－4，－16)·(λ－2,5λ＋3，－λ＋5)＝0， 即7(λ－2)－4(5λ＋3)－16(－λ＋5)＝0，解得λ＝. 四、探究與拓展 14．已知三角形的頂點是A(1，－1,

25、1)，B(2,1，－1)，C(－1，－1，－2)．則這個三角形的面積為________． 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 答案　 解析　由題意得＝(1,2，－2)，＝(－2,0，－3)， ∴||＝＝3， ∴||＝＝， ∴·＝(1,2，－2)·(－2,0，－3)＝－2＋6＝4， ∴cos A＝cos〈，〉＝＝＝， ∴sin A＝＝， S△ABC＝||||·sin A＝. 15．已知a，b，c為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，求證＋＋≤4. 考點　空間向量運算的坐標表示 題點　空間向量的坐標運算 證明　設m＝(，，)， n＝(1,1,1)，則|m|＝4，|n|＝， 由題意知m·n≤|m||n|， 即＋＋≤4. 當且僅當＝＝， 即a＝b＝c＝時，取“＝”號． 15