（浙江專用）2021版新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理與古典概率 7 第7講 n次獨立重復(fù)試驗與二項分布教學(xué)案

第7講n次獨立重復(fù)試驗與二項分布1事件的相互獨立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個事件，如果P(AB)P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨立(2)性質(zhì)：若事件A與B相互獨立，則P(B|A)P(B)，P(A|B)P(A)，P(AB)P(A)P(B)如果事件A與B相互獨立，那么A與，與B，與也相互獨立2獨立重復(fù)試驗與二項分布獨立重復(fù)試驗二項分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗稱為n次獨立重復(fù)試驗在n次獨立重復(fù)試驗中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗中事件A發(fā)生的概率是p，此時稱隨機變量X服從二項分布，記作XB(n，p)，并稱p為成功概率計算公式用Ai(i1，2，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3An)P(A1)P(A2)P(An)在n次獨立重復(fù)試驗中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(Xk)Cpk(1p)nk(k0，1，2，n)疑誤辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)相互獨立事件就是互斥事件()(2)對于任意兩個事件，公式P(AB)P(A)P(B)都成立()(3)二項分布是一個概率分布，其公式相當(dāng)于(ab)n二項展開式的通項公式，其中ap，b1p.()答案：(1)×(2)×(3)×教材衍化1(選修2­3P55練習(xí)T3改編)天氣預(yù)報，在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個地方降雨的概率為_解析：設(shè)甲地降雨為事件A，乙地降雨為事件B，則兩地恰有一地降雨為ABAB，所以P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P(B)P(A)P(B)0.2×0.70.8×0.30.38.答案：0.382(教材習(xí)題改編)國慶期間，甲去北京旅游的概率為，乙去北京旅游的概率為，假定二人的行動相互之間沒有影響，那么這段時間內(nèi)至少有1人去北京旅游的概率為_解析：記在國慶期間“甲去北京旅游”為事件A，“乙去北京旅游”為事件B，又P( )P()·P()1P(A)1P(B)，甲、乙二人至少有一人去北京旅游的對立事件為甲、乙二人都不去北京旅游，故所求概率為1P( )1.答案：易錯糾偏(1)相互獨立事件恰有一個發(fā)生的概率的理解有誤；(2)獨立重復(fù)試驗公式應(yīng)用錯誤1計算機畢業(yè)考試分為理論與操作兩部分，每部分考試成績只記“合格”與“不合格”，只有兩部分考試都“合格”者，才給頒發(fā)計算機“合格證書”甲、乙兩人在理論考試中“合格”的概率依次為，在操作考試中“合格”的概率依次為，所有考試是否合格相互之間沒有影響則甲、乙進行理論與操作兩項考試后，恰有一人獲得“合格證書”的概率為_解析：甲獲得“合格證書”的概率為×，乙獲得“合格證書”的概率是×，兩人中恰有一個人獲得“合格證書”的概率是××.答案：2設(shè)隨機變量XB，則P(X3)_解析：因為XB，所以P(X3)C×.答案：相互獨立事件的概率 (2020·麗水模擬)甲、乙兩個籃球運動員互不影響地在同一位置投球，命中率分別為與p，且乙投球2次均未命中的概率為.(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率【解】(1)設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件B.由題意得：P()P()，于是P()或P()(舍去)故p1P().(2)法一：由題設(shè)知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率為1P(·).法二：由題設(shè)知，P(A)，P().故甲投球2次，至少命中1次的概率為CP(A)P()P(A)P(A).利用相互獨立事件求復(fù)雜事件概率的解題思路(1)將待求復(fù)雜事件轉(zhuǎn)化為幾個彼此互斥簡單事件的和(2)將彼此互斥簡單事件中的簡單事件，轉(zhuǎn)化為幾個已知(易求)概率的相互獨立事件的積事件(3)代入概率的積、和公式求解 從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，.(1)設(shè)X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率解：(1)隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3.P(X0)××，P(X1)××××××，P(X2)××××××，P(X3)××.所以，隨機變量X的分布列為X0123P(2)設(shè)Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示第二輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事件的概率為P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0)××.所以，這2輛車共遇到1個紅燈的概率為.獨立重復(fù)試驗與二項分布 (1)(2020·浙江省名校協(xié)作體高三聯(lián)考)箱中裝有標(biāo)號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個球，從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎現(xiàn)有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是_(2)一款擊鼓小游戲的規(guī)則如下：每盤游戲都需擊鼓三次，每次擊鼓要么出現(xiàn)一次音樂，要么不出現(xiàn)音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現(xiàn)一次音樂獲得10分，出現(xiàn)兩次音樂獲得20分，出現(xiàn)三次音樂獲得100分，沒有出現(xiàn)音樂則扣除200分(即獲得200分)設(shè)每次擊鼓出現(xiàn)音樂的概率為，且各次擊鼓出現(xiàn)音樂相互獨立設(shè)每盤游戲獲得的分數(shù)為X，求X的分布列玩三盤游戲，至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是多少？【解】(1)由題意知，首先求出摸一次中獎的概率，從6個球中摸出2個，共有C15種結(jié)果，兩個球的號碼之積是4的倍數(shù)，共有(1，4)，(3，4)，(2，4)，(2，6)，(4，5)，(4，6)，所以摸一次中獎的概率是，4個人摸獎，相當(dāng)于發(fā)生4次試驗，且每一次獲獎的概率是，所以有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是C××.故填.(2)X可能的取值為10，20，100，200.根據(jù)題意，有P(X10)C××，P(X20)C××，P(X100)C××，P(X200)C××.所以X的分布列為X1020100200P設(shè)“第i盤游戲沒有出現(xiàn)音樂”為事件Ai(i1，2，3)，則P(A1)P(A2)P(A3)P(X200).所以“三盤游戲中至少有一次出現(xiàn)音樂”的概率為1P(A1A2A3)11.因此，玩三盤游戲至少有一盤出現(xiàn)音樂的概率是.(1)獨立重復(fù)試驗滿足的條件獨立重復(fù)試驗是在同樣的條件下重復(fù)地、各次之間相互獨立地進行的一種試驗在這種試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中發(fā)生的概率都是一樣的(2)二項分布滿足的條件每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的各次試驗中的事件是相互獨立的每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生隨機變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù) 1設(shè)隨機變量X服從二項分布XB，則函數(shù)f(x)x24xX存在零點的概率是()A.B.C. D.解析：選C.因為函數(shù)f(x)x24xX存在零點，所以164X0，所以X4.因為X服從XB，所以P(X4)1P(X5)1.2在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎已知教師甲每次投進的概率都是.(1)記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列；(2)求教師甲在一場比賽中獲獎的概率解：(1)X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6.依條件可知，XB(6，)，P(Xk)C·()k·()6k(k0，1，2，3，4，5，6)所以X的分布列為X0123456P(2)設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A，則P(A)C·()2·()4C··()5()6，即教師甲在一場比賽中獲獎的概率為.基礎(chǔ)題組練1(2020·東北四市高考模擬)將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲n次，事件“至少有一次正面向上”的概率為P，則n的最小值為()A4B5C6 D7解析：選A.由題意得P1，則，所以n4，故n的最小值為4.2投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為事件A，“骰子向上的點數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率是()A. B.C. D.解析：選C.依題意，得P(A)，P(B)，且事件A，B相互獨立，則事件A，B中至少有一個發(fā)生的概率為1P(·)1P()·P()1×，故選C.3(2020·紹興調(diào)研)設(shè)隨機變量XB(2，p)，YB(4，p)，若P(X1)，則P(Y2)的值為()A. B.C. D.解析：選B.因為隨機變量XB(2，p)，YB(4，p)，又P(X1)1P(X0)1(1p)2，解得p，所以YB，則P(Y2)1P(Y0)P(Y1).4(2020·杭州七校聯(lián)考)如果XB，則使P(Xk)取最大值的k值為()A3 B4C5 D3或4解析：選D.觀察選項，采用特殊值法因為P(X3)C，P(X4)C，P(X5)C，經(jīng)比較，P(X3)P(X4)P(X5)，故使P(Xk)取最大值時k3或4.5某單位為綠化環(huán)境，移栽了甲、乙兩種大樹各2棵設(shè)甲、乙兩種大樹移栽的成活率分別為和，且每棵大樹是否成活互不影響，則移栽的4棵大樹中至少有1棵成活的概率是()A. B.C. D.解析：選D.設(shè)Ak表示第k棵甲種大樹成活，k1，2；Bl表示第l棵乙種大樹成活，l1，2，則A1，A2，B1，B2相互獨立，且P(A1)P(A2)，P(B1)P(B2)，則至少有1棵大樹成活的概率為1P(A1·A2·B1·B2)1P(A1)·P(A2)·P(B1)·P(B2)1×.6.如圖所示的電路有a，b，c三個開關(guān)，每個開關(guān)開和關(guān)的概率都是，且是相互獨立的，則燈泡甲亮的概率為_解析：設(shè)“a閉合”為事件A，“b閉合”為事件B，“c閉合”為事件C，則甲燈亮應(yīng)為事件AC，且A，C之間彼此獨立，P(A)P()P(C).所以P(AC)P(A)P()P(C).答案：7某機械研究所對新研發(fā)的某批次機械元件進行壽命追蹤調(diào)查，隨機抽查的200個機械元件情況如下：使用時間/天10202130314041505160個數(shù)1040805020若以頻率為概率，現(xiàn)從該批次機械元件中隨機抽取3個，則至少有2個元件的使用壽命在30天以上的概率為_解析：由表可知元件使用壽命在30天以上的頻率為，則所求概率為C×.答案：8某大廈的一部電梯從底層出發(fā)后只能在第18，19，20層停靠，若該電梯在底層有5個乘客，且每位乘客在這三層的每一層下電梯的概率都為，用X表示5位乘客在第20層下電梯的人數(shù)，則P(X4)_解析：考察一位乘客是否在第20層下電梯為一次試驗，這是5次獨立重復(fù)試驗，故XB，即有P(Xk)C×，k0，1，2，3，4，5.故P(X4)C×.答案：9小王在某社交網(wǎng)絡(luò)的朋友圈中，向在線的甲、乙、丙隨機發(fā)放紅包，每次發(fā)放1個(1)若小王發(fā)放5元的紅包2個，求甲恰得1個的概率；(2)若小王發(fā)放3個紅包，其中5元的2個，10元的1個記乙所得紅包的總錢數(shù)為X，求X的分布列解：(1)設(shè)“甲恰得1個紅包”為事件A，則P(A)C××.(2)X的所有可能取值為0，5，10，15，20.P(X0)，P(X5)C××，P(X10)××，P(X15)C××，P(X20).X的分布列為X05101520P10.已知某種動物服用某種藥物一次后當(dāng)天出現(xiàn)A癥狀的概率為.某小組為了研究連續(xù)服用該藥物后出現(xiàn)A癥狀的情況，進行了藥物試驗試驗設(shè)計為每天用藥一次，連續(xù)用藥四天為一個用藥周期假設(shè)每次用藥后當(dāng)天是否出現(xiàn)A癥狀與上次用藥無關(guān)(1)若出現(xiàn)A癥狀，則立即停止試驗，求試驗至多持續(xù)一個用藥周期的概率；(2)若在一個用藥周期內(nèi)出現(xiàn)3次或4次A癥狀，則在這個用藥周期結(jié)束后終止試驗若試驗至多持續(xù)兩個周期，設(shè)藥物試驗持續(xù)的用藥周期為，求的分布列解：(1)法一：記試驗持續(xù)i天為事件Ai，i1，2，3，4，試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，易知P(A1)，P(A2)×，P(A3)×，P(A4)×，則P(B)P(A1)P(A2)P(A3)P(A4).法二：記試驗至多持續(xù)一個周期為事件B，則為試驗持續(xù)超過一個周期，易知P()，所以P(B)1.(2)隨機變量的所有可能取值為1，2，P(1)C·，P(2)1，所以的分布列為12P綜合題組練1某商場舉行有獎促銷活動，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎，每次抽獎都是從裝有4個紅球、6個白球的甲箱和裝有5個紅球、5個白球的乙箱中，各隨機摸出1個球，在摸出的2個球中，若都是紅球，則獲一等獎；若只有1個紅球，則獲二等獎；若沒有紅球，則不獲獎(1)求顧客抽獎1次能獲獎的概率；(2)若某顧客有3次抽獎機會，記該顧客在3次抽獎中獲一等獎的次數(shù)為X，求X的分布列解：(1)記事件A1從甲箱中摸出的1個球是紅球，A2從乙箱中摸出的1個球是紅球，B1顧客抽獎1次獲一等獎，B2顧客抽獎1次獲二等獎，C顧客抽獎1次能獲獎由題意知A1與A2相互獨立，A1A2與A1A2互斥，B1與B2互斥，且B1A1A2，B2A1A2A1A2，CB1B2.因為P(A1)，P(A2)，所以P(B1)P(A1A2)P(A1)P(A2)×，P(B2)P(A1A2A1A2)P(A1A2)P(A1A2)P(A1)P(A2)P(A1)P(A2)P(A1)(1P(A2)(1P(A1)P(A2)××.故所求概率為P(C)P(B1B2)P(B1)P(B2).(2)顧客抽獎3次可視為3次獨立重復(fù)試驗，由(1)知，顧客抽獎1次獲一等獎的概率為，所以XB.于是P(X0)C，P(X1)C，P(X2)C，P(X3)C.故X的分布列為X0123P2.(2020·杭州學(xué)軍中學(xué)高三月考)某校課改實行選修走班制，現(xiàn)有甲，乙，丙，丁四位學(xué)生準(zhǔn)備選修物理，化學(xué)，生物三個科目每位學(xué)生只選修一個科目，且選修其中任何一個科目是等可能的(1)求恰有2人選修物理的概率；(2)求學(xué)生選修科目個數(shù)的分布列解：(1)這是等可能性事件的概率計算問題法一：所有可能的選修方式有34種，恰有2人選修物理的方式C·22種，從而恰有2人選修物理的概率為.法二：設(shè)每位學(xué)生選修為一次試驗，這是4次獨立重復(fù)試驗記“選修物理”為事件A，則P(A)，從而，由獨立重復(fù)試驗中事件A恰發(fā)生k次的概率計算公式知，恰有2人選修物理的概率為PC.(2)的所有可能值為1，2，3，P(1)；P(2)；P(3)；綜上知，的分布列為123P3.現(xiàn)有4個人去參加春節(jié)聯(lián)歡活動，該活動有甲、乙兩個項目可供參加者選擇，為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲項目聯(lián)歡，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙項目聯(lián)歡(1)求這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率；(2)求這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參加甲、乙項目聯(lián)歡的人數(shù)，記|XY|，求隨機變量的分布列解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲項目聯(lián)歡的概率為，去參加乙項目聯(lián)歡的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲項目聯(lián)歡”為事件Ai(i0，1，2，3，4)，則P(Ai)C·.(1)這4個人中恰好有2人去參加甲項目聯(lián)歡的概率P(A2)C.(2)設(shè)“這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.故P(B)P(A3)P(A4)CC.所以，這4個人中去參加甲項目聯(lián)歡的人數(shù)大于去參加乙項目聯(lián)歡的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0，2，4.P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列為024P4.某次飛鏢比賽中，規(guī)定每人至多發(fā)射三鏢在M處每射中一鏢得3分，在N處每射中一鏢得2分，如果前兩次得分之和超過3分即停止發(fā)射，否則發(fā)射第三鏢某選手在M處的命中率q10.25，在N處的命中率為q2.該選手選擇先在M處發(fā)射一鏢，以后都在N處發(fā)射，用X表示該選手比賽結(jié)束后所得的總分，其分布列為X02345P0.03P1P2P3P4(1)求隨機變量X的分布列；(2)試比較該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率與選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率的大小解：(1)設(shè)該選手在M處射中為事件A，在N處射中為事件B，則事件A，B相互獨立，且P(A)0.25，P()0.75，P(B)q2，P()1q2.根據(jù)分布列知：當(dāng)X0時，P( )P()P()P()0.75(1q2)20.03，所以1q20.2，q20.8.當(dāng)X2時，P1P( B B)P()P(B)P()P()P()P(B)0.75q2(1q2)×20.24，當(dāng)X3時，P2P(A)P(A)P()P()0.25(1q2)20.01，當(dāng)X4時，P3P(BB)P()P(B)P(B)0.75q0.48，當(dāng)X5時，P4P(ABAB)P(AB)P(AB)P(A)P()P(B)P(A)P(B)0.25q2(1q2)0.25q20.24.所以隨機變量X的分布列為X02345P0.030.240.010.480.24(2)該選手選擇上述方式發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為0.480.240.72.該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率為P(BBBBBB)P(BB)P(BB)P(BB)2(1q2)qq0.896.所以該選手選擇都在N處發(fā)射飛鏢得分超過3分的概率大14