（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離學(xué)案 新人教A版必修2

《（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離學(xué)案 新人教A版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專用）2018版高中數(shù)學(xué) 第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系 2.3 2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4 兩條平行直線間的距離學(xué)案 新人教A版必修2（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 2.3.3　直線與平面垂直的性質(zhì) 2.3.4　平面與平面垂直的性質(zhì) 目標(biāo)定位　1.證明并掌握直線與平面、平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并能用文字、符號(hào)和圖形語(yǔ)言描述定理.2.能運(yùn)用性質(zhì)定理證明一些空間位置關(guān)系的簡(jiǎn)單命題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉(zhuǎn)化. 自 主 預(yù) 習(xí) 1.直線與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行 符號(hào)語(yǔ)言 ?a∥b 圖形語(yǔ)言 作用 ①線面垂直?線線平行 ②作平行線 2.平面與平面垂直的性質(zhì)定理 文字語(yǔ)言 兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直 符號(hào)語(yǔ)言 ?a⊥β 圖形語(yǔ)言

2、 作用 ①面面垂直?線面垂直 ②作面的垂線 即 時(shí) 自 測(cè) 1.判斷題 (1)兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，另一條也垂直于這個(gè)平面.(√) (2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行.(×) (3)如果兩個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)且垂直于第二個(gè)平面的直 線在第一個(gè)平面內(nèi).即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β?b?α.(√) (4)如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)的所有直線都垂直于平面β.(×) 提示　(2)垂直于同一平面的兩個(gè)平面可以相交也可以平行. (4)直線與平面β位置關(guān)系不確定. 2.△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線

3、l，m的位置關(guān)系是(　　) A.相交 B.異面 C.平行 D.不確定 解析　因?yàn)閘⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m. 答案　C 3.在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB上任取一點(diǎn)E，作EF⊥A1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關(guān)系是(　　) A.平行 B.EF?平面A1B1C1D1 C.相交但不垂直 D.相交且垂直 解析　在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF?面A1ABB1，EF⊥A1B

4、1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正確. 答案　D 4.已知a、b為直線，α、β為平面.在下列四個(gè)命題中，正確的命題是________(填序號(hào)). ①若a⊥α，b⊥α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若α∥b，β∥b，則α∥β. 解析　由“垂直于同一平面的兩直線平行”知①真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知②假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知③真；易知④假. 答案　①③ 類型一　直線與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用 【例1】 如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交. 求

5、證：EF∥BD1. 證明　如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD， ∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1， 又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1. 同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C. 又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C， ∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1. 規(guī)律方法　證明線線平行常有如下方法： (1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)； (2)利用三線平行公理：證兩線同時(shí)平行于第三條直線；

6、 (3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行； (4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直； (5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行. 【訓(xùn)練1】 如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l. 證明　因?yàn)镋A⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA. 同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB. 因?yàn)镋B⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B， 所以a⊥平面EAB.因此，a∥l. 類型二　平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用 【例2】 已知：α、

7、β、γ是三個(gè)不同平面，l為直線，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求證：l⊥γ. 證明　法一　設(shè)α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P，過(guò)P在γ內(nèi)作直線m⊥a，n⊥b，如圖. ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β， 又∵α∩β＝l， ∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l(xiāng)⊥γ. 法二　如圖，α∩γ＝a， β∩γ＝b，在α內(nèi)作m⊥a， 在β內(nèi)作n⊥b. ∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n. 又∵n?β，m?β，∴m∥β， 又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ. 規(guī)律方法　1.證明或判定線面垂直的常用方法有： (1)線面垂直的判定定理； (2)面面垂直的性質(zhì)

8、定理； (3)若a∥b，a⊥α則b⊥α；(a，b為直線，α為平面). (4)若a⊥α，α∥β則a⊥β；(a為直線，α，β為平面). 2.兩平面垂直的性質(zhì)定理告訴我們要將面面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，方法是在其中一個(gè)面內(nèi)作(找)與交線垂直的直線. 【訓(xùn)練2】 設(shè)平面α⊥平面β，點(diǎn)P在平面α內(nèi)，過(guò)點(diǎn)P作平面β的垂線a，試判斷直線a與平面α的位置關(guān)系. 解　如圖，設(shè)α∩β＝c，過(guò)點(diǎn)P在平面α內(nèi)作直線b⊥c. 根據(jù)平面與平面垂直的性質(zhì)定理有b⊥β. 因?yàn)檫^(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與平面β垂直， 所以直線a與直線b重合，因此a?α. 類型三　線線、線面、面面垂直的綜合應(yīng)用(互動(dòng)探究)

9、 【例3】 如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，且∠DAB＝60°，側(cè)面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD. (1)若G為AD邊的中點(diǎn)，求證：BG⊥平面PAD； (2)求證：AD⊥PB. [思路探究] 探究點(diǎn)一　運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理的一般策略是什么？ 提示　運(yùn)用面面垂直的性質(zhì)定理時(shí)，一般要作輔助線：過(guò)其中一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)作交線的垂線.這樣就把面面垂直轉(zhuǎn)化成線面垂直或線線垂直了. 探究點(diǎn)二　線線、線面、面面垂直關(guān)系之間有怎樣的轉(zhuǎn)化關(guān)系？ 提示　 證明　(1)∵在菱形ABCD中，∠DAB＝60°， ∴△ABD為正三角形，又G

10、為AD的中點(diǎn)，∴BG⊥AD. 又平面PAD⊥平面ABCD，BG?平面ABCD， 平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD. (2)連接PG，如圖， ∵△PAD為正三角形，G為AD的中點(diǎn)，∴PG⊥AD. 由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB， ∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB. 規(guī)律方法　證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質(zhì)定理.本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質(zhì)定理.利用面面垂直的性質(zhì)定理.證明線面垂直的問(wèn)題時(shí)，要注意以下三點(diǎn)：(1)兩個(gè)平面垂直；(2)直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；(3)直線必須垂直于

11、它們的交線. 【訓(xùn)練3】 如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD.PA與BD是否相互垂直？請(qǐng)證明你的結(jié)論. 解　PA與BD相互垂直.證明如下： 如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接PO、AO. ∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又側(cè)面PBC⊥底面ABCD， 平面PBC∩平面ABCD＝BC，∴PO⊥底面ABCD， 又BD?平面ABCD.∴PO⊥BD， 在直角梯形ABCD中，易證△ABO ≌△BCD， ∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°， ∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，

12、 又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA與BD相互垂直. [課堂小結(jié)] 1.線面垂直的性質(zhì)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的依據(jù). 2.面面垂直的性質(zhì)定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內(nèi)在聯(lián)系，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)化與化歸思想，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下： 1.下列說(shuō)法正確的是(　　) A.垂直于同一條直線的兩直線平行 B.垂直于同一條直線的兩直線垂直 C.垂直于同一個(gè)平面的兩直線平行 D.垂直于同一條直線的一條直線和平面平行 解析　由線面垂直的性質(zhì)定理知C正確. 答案　C 2.設(shè)α－l－β是直

13、二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么(　　) A.a與b可能垂直，但不可能平行 B.a與b可能垂直，也可能平行 C.a與b不可能垂直，但可能平行 D.a與b不可能垂直，也不可能平行 解析　當(dāng)a，b都與l平行時(shí)，則a∥b，所以A、D錯(cuò)， 如圖，若a⊥b過(guò)a上一點(diǎn)P在α內(nèi)作a′⊥l， 因?yàn)棣痢挺?，所以a′⊥β， 又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α， 而l?α，∴b⊥l，與b和l不垂直矛盾，所以B錯(cuò). 答案　C 3.如圖，在三棱錐P－ABC內(nèi)，側(cè)面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________. 解析　∵側(cè)面PAC

14、⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC，又AB?平面ABC， ∴PA⊥AB，∴PB＝＝＝. 答案　 4.如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，求證：平面SCD⊥平面SBC. 證明　∵底面ABCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD， 平面SDC∩平面ABCD＝CD，BC?平面ABCD， ∴BC⊥平面SCD.又∵BC?平面SBC， ∴平面SCD⊥平面SBC 基 礎(chǔ) 過(guò) 關(guān) 1.下列命題中錯(cuò)誤的是(　　) A.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)一定存在直線平行

15、于平面β B.如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內(nèi)一定不存在直線垂直于平面β C.如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γ D.如果平面α⊥平面β，那么平面α內(nèi)所有直線都垂直于平面β 解析　由平面與平面垂直的有關(guān)性質(zhì)可以判斷出D項(xiàng)錯(cuò)誤. 答案　D 2.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構(gòu)成三棱錐A－BCD，則在三棱錐A－BCD中，下列命題正確的是(　　) A.平面ABD⊥平面ABC B.平面ADC⊥平面BDC C.平面ABC⊥平面BDC D.平面ADC

16、⊥平面ABC 解析　如圖，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍然滿足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，平面ABD∩平面BCD＝BD，CD?平面BCD，故CD⊥平面ABD，又AB?平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC， 又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC. 答案　D 3.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，下列命題中正確的是(　　) A.若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥n B.若α∥β，m?α，n?β，則m∥n C.若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥β D.若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β 解析　如圖，在長(zhǎng)方體

17、ABCD－A1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A錯(cuò)誤.平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B錯(cuò)誤.AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C錯(cuò)誤.故選D. 答案　D 4.a，b是兩條不同直線，α為平面，以下命題中正確的是________(填序號(hào)). ①?a∥α；②?b⊥α；③?a∥b； ④?b⊥α. 解析?、僦衋可能在α內(nèi)；②中b也可能與α平行，③④正

18、確 . 答案　③④ 5.若α⊥β，α∩β＝AB，a∥α，a⊥AB，則a與β的關(guān)系為________. 解析　如圖，過(guò)a作平面γ，設(shè)γ∩α＝b， ∵a∥α，∴a∥b.又∵a⊥AB，∴b⊥AB. 又∵α⊥β，α∩β＝AB，b?α，∴b⊥β，∴a⊥β. 答案　a⊥β 6.如圖三棱錐P－ABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC. 證明　∵平面PAC⊥平面ABC， 平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC， PA?平面PAC，∴PA⊥平面ABC.

19、又BC?平面ABC，∴PA⊥BC. 又∵AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB. 又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC. 7.如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn).求證： (1)PA⊥底面ABCD； (2)BE∥平面PAD； (3)平面BEF⊥平面PCD. 證明　(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD， 且PA垂直于這兩個(gè)平面的交線AD，PA?平面PAD， 所以PA⊥底面ABCD. (2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)， 所以AB∥DE，且AB＝

20、DE. 所以四邊形ABED為平行四邊形.所以BE∥AD. 又因?yàn)锽E?平面PAD，AD?平面PAD， 所以BE∥平面PAD. (3)因?yàn)锳B⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形， 所以BE⊥CD，AD⊥CD. 由(1)知PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD， 所以PA⊥CD. 又PA∩AD＝A，所以CD⊥平面PAD. 又PD?平面PAD，所以CD⊥PD. 因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)， 所以PD∥EF.所以CD⊥EF. 又因?yàn)镃D⊥BE，EF∩BE＝E， 所以CD⊥平面BEF.又CD?平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD. 能 力 提 升 8.如圖所示，

21、在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點(diǎn)C1在底面ABC上的射影H必在(　　) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 解析　連接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線，因此，點(diǎn)C1在平面ABC上的射影必在直線AB上，故選A. 答案　A 9.如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點(diǎn)，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點(diǎn)記為G.給

22、出下列關(guān)系： ①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE； ④EF⊥平面SEG.其中成立的有(　　) A.①與② B.①與③ C.②與③ D.③與④ 解析　由SG⊥GE，SG⊥GF，GE∩GF＝G，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，排除A，故選B. 答案　B 10.如圖所示，已知兩個(gè)正方形ABCD和DCEF不在同一平面內(nèi)，M，N分別為AB，DF的中點(diǎn).若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長(zhǎng)等于________. 解析　取CD的中點(diǎn)G，連接MG，NG. 因?yàn)锳BCD，DCEF為正方

23、形，且邊長(zhǎng)為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝. 因?yàn)槠矫鍭BCD⊥平面DCEF， 平面ABCD∩平面DCEF＝CD， 所以MG⊥平面DCEF，由于GN?平面CDEF，可得MG⊥NG， 所以MN＝＝. 答案　 11.如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝a，AC∩BD＝E，將其沿對(duì)角線BD折成直二面角. 求證：(1)AB⊥平面BCD； (2)平面ACD⊥平面ABD. 證明　(1)在△ABD中，AB＝a，AD＝2a，BD＝a， ∴AB2＋BD2＝AD2，∴∠ABD＝90°，AB⊥BD. 又∵平面ABD⊥平面BCD， 平面ABD∩平面BCD＝

24、BD，AB?平面ABD， ∴AB⊥平面BCD. (2)∵折疊前四邊形ABCD是平行四邊形， 且AB⊥BD，∴CD⊥BD. ∵AB⊥平面BCD，CD?平面BCD.∴AB⊥CD. ∵AB∩BD＝B，∴CD⊥平面ABD. 又∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABD. 探 究 創(chuàng) 新 12.在如圖所示的多面體中，四邊形ABB1A1和ACC1A1都為矩形. (1)若AC⊥BC，證明：直線BC⊥平面ACC1A1； (2)設(shè)D，E分別是線段BC，CC1的中點(diǎn)，在線段AB上是否存在一點(diǎn)M，使直線DE∥平面A1MC？請(qǐng)證明你的結(jié)論. (1)證明　因?yàn)樗倪呅蜛BB1A1和ACC1A1

25、都是矩形， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC. 因?yàn)锳B，AC為平面ABC內(nèi)兩條相交的直線， 所以AA1⊥平面ABC. 因?yàn)橹本€BC?平面ABC，所以AA1⊥BC. 又由已知，AC⊥BC，AA1，AC為平面ACC1A1內(nèi)兩條的相交直線，所以BC⊥平面ACC1A1. (2)解　取線段AB的中點(diǎn)M，連接A1M，MC，A1C，AC1，設(shè)O為A1C，AC1的交點(diǎn). 由已知，O為AC1的中點(diǎn). 連接MD，OE，則MD，OE分別為△ABC，△ACC1的中位線，所以MD綉AC，OE綉AC， 因此MD綉OE. 連接OM，從而四邊形MDEO為平行四邊形， 則DE∥MO. 因?yàn)橹本€DE?平面A1MC，MO?平面A1MC， 所以直線DE∥平面A1MC. 即線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn))， 使直線DE∥平面A1MC. 13