（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第6節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法學(xué)案 理

第6節(jié)數(shù)學(xué)歸納法最新考綱1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理；2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題知 識 梳 理1數(shù)學(xué)歸納法證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題，可按下列步驟進(jìn)行：(1)(歸納奠基)證明當(dāng)n取第一個值n0(n0N*)時(shí)命題成立；(2)(歸納遞推)假設(shè)nk(kn0，kN*)時(shí)命題成立，證明當(dāng)nk1時(shí)命題也成立只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立2數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1數(shù)學(xué)歸納法證題時(shí)初始值n0不一定是1.2推證nk1時(shí)一定要用上nk時(shí)的假設(shè)，否則不是數(shù)學(xué)歸納法診 斷 自 測1思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“×”)(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式“12222n22n31”，驗(yàn)證n1時(shí)，左邊式子應(yīng)為122223.()(2)所有與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題都必須用數(shù)學(xué)歸納法證明()(3)用數(shù)學(xué)歸納法證明問題時(shí)，歸納假設(shè)可以不用()(4)不論是等式還是不等式，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，由nk到nk1時(shí)，項(xiàng)數(shù)都增加了一項(xiàng)()解析對于(2)，有些命題也可以直接證明；對于(3)，數(shù)學(xué)歸納法必須用歸納假設(shè)；對于(4)，由nk到nk1，有可能增加不止一項(xiàng)答案(1)(2)×(3)×(4)×2(選修22P99B1改編)在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)n等于()A1 B2 C3 D4解析三角形是邊數(shù)最少的凸多邊形，故第一步應(yīng)檢驗(yàn)n3.答案C3已知f(n)，則()Af(n)中共有n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Bf(n)中共有n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Cf(n)中共有n2n項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)Df(n)中共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，f(2)解析f(n)共有n2n1項(xiàng)，當(dāng)n2時(shí)，故f(2).答案D4(2018·臺州月考)用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN，且n>1)，第一步要證的不等式是_解析當(dāng)n2時(shí)，式子為1<2.答案1<25用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，當(dāng)?shù)诙郊僭O(shè)n2k1(kN*)命題為真時(shí)，進(jìn)而需證n_時(shí)，命題亦真解析由于步長為2，所以2k1后一個奇數(shù)應(yīng)為2k1.答案2k16(2017·寧波調(diào)研)用數(shù)學(xué)歸納法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”第一步應(yīng)驗(yàn)證n_時(shí)，命題成立；第二步歸納假設(shè)成立應(yīng)寫成_解析因?yàn)閚為正偶數(shù)，故第一個值n2，第二步假設(shè)n取第k個正偶數(shù)成立，即n2k，故應(yīng)假設(shè)成x2ky2k能被xy整除答案2x2ky2k能被xy整除考點(diǎn)一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式【例1】 用數(shù)學(xué)歸納法證明：(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊，右邊，左邊右邊，所以等式成立(2)假設(shè)nk(kN*)時(shí)等式成立，即有，則當(dāng)nk1時(shí)，.所以當(dāng)nk1時(shí)，等式也成立，由(1)(2)可知，對于一切nN*等式都成立規(guī)律方法(1)用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題，要“先看項(xiàng)”，弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律，等式兩邊各有多少項(xiàng)，初始值n0是多少(2)由nk時(shí)等式成立，推出nk1時(shí)等式成立，一要找出等式兩邊的變化(差異)，明確變形目標(biāo)；二要充分利用歸納假設(shè)，進(jìn)行合理變形，正確寫出證明過程，不利用歸納假設(shè)的證明，就不是數(shù)學(xué)歸納法【訓(xùn)練1】 求證：(n1)(n2)··(nn)2n·1·3·5··(2n1)(nN*)證明(1)當(dāng)n1時(shí)，等式左邊2，右邊2，故等式成立；(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)等式成立，即(k1)(k2)··(kk)2k·1·3·5··(2k1)，那么當(dāng)nk1時(shí)，左邊(k11)(k12)··(k1k1)(k2)(k3)··(kk)(2k1)(2k2)2k·1·3·5··(2k1)(2k1)·22k1·1·3·5··(2k1)(2k1)，所以當(dāng)nk1時(shí)等式也成立由(1)(2)可知，對所有nN*等式成立考點(diǎn)二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式【例2】 (2017·浙江五校聯(lián)考)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.已知對任意的nN*，點(diǎn)(n，Sn)均在函數(shù)ybxr(b>0，且b1，b，r均為常數(shù))的圖象上(1)求r的值；(2)當(dāng)b2時(shí)，記bn2(log2an1)(nN*)證明：對任意的nN*，不等式···>成立(1)解由題意，Snbnr，當(dāng)n2時(shí)，Sn1bn1r，所以anSnSn1bn1(b1)，由于b>0，且b1，所以n2時(shí)，an是以b為公比的等比數(shù)列，又a1br，a2b(b1)，b，即b，解得r1.(2)證明由(1)知an2n1，因此bn2n(nN*)，所證不等式為···>.當(dāng)n1時(shí)，左式，右式，左式>右式，所以結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即···>，則當(dāng)nk1時(shí)，····>·，要證當(dāng)nk1時(shí)結(jié)論成立，只需證，即證，由基本不等式可得成立，故成立，所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由可知，nN*時(shí)，不等式···>成立規(guī)律方法應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式應(yīng)注意的問題(1)當(dāng)遇到與正整數(shù)n有關(guān)的不等式證明時(shí)，應(yīng)用其他辦法不容易證，則可考慮應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由nk成立，推證nk1時(shí)也成立，證明時(shí)用上歸納假設(shè)后，可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法、構(gòu)造函數(shù)法等證明方法【訓(xùn)練2】 (2018·寧波十校適應(yīng)性考試)已知數(shù)列an(nN*)，滿足a11，2an1an.(1)求證：<an1<an；(2)設(shè)數(shù)列an(nN*)的前n項(xiàng)和為Sn，證明：Sn<.證明(1)先證明an1>.n1時(shí)，2a2，a2>，結(jié)論成立，假設(shè)nk時(shí)，結(jié)論成立，即ak1>，則nk1時(shí)，2ak2ak1>1，ak2>，即nk1時(shí)，結(jié)論成立，an1>，an1anan<0.<an1<an；(2)問題等價(jià)于證明Sn<，即(ai)<，設(shè)bnan，則b1，2an1an可化為2bn1bn1，·<，bn·，Sn<<，Sn<.考點(diǎn)三歸納猜想證明【例3】 已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn1，且an>0，nN*.(1)求a1，a2，a3，并猜想an的通項(xiàng)公式；(2)證明(1)中的猜想(1)解當(dāng)n1時(shí)，由已知得a11，即a2a120.a11(a1>0)當(dāng)n2時(shí)，由已知得a1a21，將a11代入并整理得a2a220.a2(a2>0)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)證明由(1)知，當(dāng)n1，2，3時(shí)，通項(xiàng)公式成立假設(shè)當(dāng)nk(k3，kN*)時(shí)，通項(xiàng)公式成立，即ak.由于ak1Sk1Sk，將ak代入上式，整理得a2ak120，ak1，即nk1時(shí)通項(xiàng)公式成立由可知對所有nN*，an都成立規(guī)律方法(1)利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題，其基本模式是“歸納猜想證明”，即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，然后經(jīng)邏輯推理論證結(jié)論的正確性(2)“歸納猜想證明”的基本步驟是“試驗(yàn)歸納猜想證明”高中階段與數(shù)列結(jié)合的問題是最常見的問題【訓(xùn)練3】 設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x)，g(x)xf(x)，x0，其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)(1)令g1(x)g(x)，gn1(x)g(gn(x)，nN*，求gn(x)的表達(dá)式；(2)若f(x)ag(x)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(3)設(shè)nN*，猜想g(1)g(2)g(n)與nf(n)的大小，并加以證明解由題設(shè)得，g(x)(x0)(1)由已知，g1(x)，g2(x)g(g1(x)，g3(x)，可猜想gn(x).下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，g1(x)，結(jié)論成立假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立，即gk(x).那么，當(dāng)nk1時(shí)，gk1(x)g(gk(x)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對nN*成立(2)已知f(x)ag(x)恒成立，即ln(1x)恒成立設(shè)(x)ln(1x)(x0)，則(x)，當(dāng)a1時(shí)，(x)0(僅當(dāng)x0，a1時(shí)等號成立)，(x)在0，)上單調(diào)遞增又(0)0，(x)0在0，)上恒成立，a1時(shí)，ln(1x)恒成立(僅當(dāng)x0時(shí)等號成立)當(dāng)a>1時(shí)，對x(0，a1有(x)0，(x)在(0，a1上單調(diào)遞減，(a1)<(0)0.即a>1時(shí)，存在x>0，使(x)<0，ln(1x)不恒成立，綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1(3)由題設(shè)知g(1)g(2)g(n)，nf(n)nln(n1)，猜想結(jié)果為g(1)g(2)g(n)>nln(n1)證明如下：上述不等式等價(jià)于<ln(n1)，在(2)中取a1，可得ln(1x)>，x>0.令x，nN*，則<ln.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當(dāng)n1時(shí)，<ln 2，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立，即<ln(k1)那么，當(dāng)nk1時(shí)，<ln(k1)<ln(k1)lnln(k2)，即結(jié)論成立由可知，結(jié)論對nN*成立基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1已知等式1222n2，以下說法正確的是()A僅當(dāng)n1時(shí)等式成立B僅當(dāng)n1，2，3時(shí)等式成立C僅當(dāng)n1，2時(shí)等式成立Dn為任意自然數(shù)時(shí)等式成立解析當(dāng)n1，2，3時(shí)均成立，當(dāng)n4時(shí)不成立答案B2用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n2n1對于nn0的正整數(shù)n都成立”時(shí)，第一步證明中的起始值n0應(yīng)取()A2 B3 C5 D6解析n1時(shí)，212，2×113，2n2n1不成立；n2時(shí)，224，2×215，2n2n1不成立；n3時(shí)，238，2×317，2n2n1成立n的第一個取值n03.答案B3某個命題與正整數(shù)有關(guān)，如果當(dāng)nk(kN*)時(shí)該命題成立，那么可以推出nk1時(shí)該命題也成立現(xiàn)已知n5時(shí)該命題成立，那么()An4時(shí)該命題成立Bn4時(shí)該命題不成立Cn5，nN*時(shí)該命題都成立D可能n取某個大于5的整數(shù)時(shí)該命題不成立解析顯然A，B錯誤，由數(shù)學(xué)歸納法原理知C正確，D錯答案C4利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“1>(n2，nN*)”的過程中，由“nk”變到“nk1”時(shí)，左邊增加了()A1項(xiàng) Bk項(xiàng)C2k1項(xiàng) D2k項(xiàng)解析左邊增加的項(xiàng)為共2k項(xiàng)，故選D.答案D5對于不等式<n1(nN*)，某同學(xué)用數(shù)學(xué)歸納法證明的過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，<11，不等式成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)，不等式<k1成立，當(dāng)nk1時(shí)，<(k1)1.當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，則上述證法()A過程全部正確Bn1驗(yàn)得不正確C歸納假設(shè)不正確D從nk到nk1的推理不正確解析在nk1時(shí)，沒有應(yīng)用nk時(shí)的假設(shè)，不是數(shù)學(xué)歸納法答案D6用數(shù)學(xué)歸納法證明123n2，則當(dāng)nk1時(shí)左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上()Ak21B(k1)2C.D(k21)(k22)(k1)2解析當(dāng)nk時(shí)，左端123k2.當(dāng)nk1時(shí)，左端123k2(k21)(k22)(k1)2，故當(dāng)nk1時(shí)，左端應(yīng)在nk的基礎(chǔ)上加上(k21)(k22)(k1)2.故選D.答案D二、填空題7設(shè)Sn1，則Sn1Sn_解析Sn11，Sn1.Sn1Sn.答案8(2018·杭州月考)設(shè)f(n)62n11，則f(k1)用含有f(k)的式子表示為_解析f(k)62k11，f(k1)62(k1)1136·62k1136(62k11)3536f(k)35.答案36f(k)359凸n多邊形有f(n)條對角線則凸(n1)邊形的對角線的條數(shù)f(n1)與f(n)的遞推關(guān)系式為_解析f(n1)f(n)(n2)1f(n)n1.答案f(n1)f(n)n110(2017·紹興調(diào)研)數(shù)列an中，已知a12，an1(nN*)，依次計(jì)算出a2，a3，a4的值分別為_；猜想an_解析a12，a2，a3，a4.由此，猜想an是以分子為2，分母是以首項(xiàng)為1，公差為6的等差數(shù)列an.答案，三、解答題11用數(shù)學(xué)歸納法證明：1<2(nN*，n2)證明(1)當(dāng)n2時(shí)，1<2，命題成立(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即1<2.當(dāng)nk1時(shí)，1<2<222，命題成立由(1)(2)知原不等式在nN*，n2時(shí)均成立12數(shù)列an滿足Sn2nan(nN*)(1)計(jì)算a1，a2，a3，a4，并由此猜想通項(xiàng)公式an；(2)證明(1)中的猜想(1)解當(dāng)n1時(shí)，a1S12a1，a11；當(dāng)n2時(shí)，a1a2S22×2a2，a2；當(dāng)n3時(shí)，a1a2a3S32×3a3，a3；當(dāng)n4時(shí)，a1a2a3a4S42×4a4，a4.由此猜想an(nN*)(2)證明當(dāng)n1時(shí)，a11，結(jié)論成立假設(shè)nk(k1且kN*)時(shí)，結(jié)論成立，即ak，那么nk1時(shí)，ak1Sk1Sk2(k1)ak12kak2akak1，2ak12ak.ak1.所以當(dāng)nk1時(shí)，結(jié)論成立由知猜想an(nN*)成立能力提升題組13設(shè)n為正整數(shù)，f(n)1，經(jīng)計(jì)算得f(2)，f(4)2，f(8)，f(16)3，f(32)，觀察上述結(jié)果，可推測出一般結(jié)論()Af(2n) Bf(n2)Cf(2n) D以上都不對解析因?yàn)閒(22)，f(23)，f(24)，f(25)，所以當(dāng)n1時(shí)，有f(2n).答案C14設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當(dāng)f(k)k2成立時(shí)，總可推出f(k1)(k1)2成立”那么，下列命題總成立的是()A若f(1)<1成立，則f(10)<100成立B若f(2)<4成立，則f(1)1成立C若f(3)9成立，則當(dāng)k1時(shí)，均有f(k)k2成立D若f(4)16成立，則當(dāng)k4時(shí)，均有f(k)k2成立解析選項(xiàng)A，B的答案與題設(shè)中不等號方向不同，故A，B錯；選項(xiàng)C中，應(yīng)該是k3時(shí)，均有f(k)k2成立；對于選項(xiàng)D，滿足數(shù)學(xué)歸納法原理，該命題成立答案D15(2017·金華調(diào)研)設(shè)平面上n個圓周最多把平面分成f(n)片(平面區(qū)域)，則f(2)_，f(n)_(n1，nN*)解析易知2個圓周最多把平面分成4片；n個圓周最多把平面分成f(n)片，再放入第n1個圓周，為使得到盡可能多的平面區(qū)域，第n1個應(yīng)與前面n個都相交且交點(diǎn)均不同，有n條公共弦，其端點(diǎn)把第n1個圓周分成2n段，每段都把已知的某一片劃分成2片，即f(n1)f(n)2n(n1)，所以f(n)f(1)n(n1)，而f(1)2，從而f(n)n2n2.答案4n2n216數(shù)列xn滿足x10，xn1xxnc(nN*)(1)證明：xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0；(2)若0c，證明數(shù)列xn是遞增數(shù)列證明(1)充分性：若c0，由于xn1xxncxncxn，數(shù)列xn是遞減數(shù)列必要性：若xn是遞減數(shù)列，則x2x1，且x10.又x2xx1cc，c0.故xn是遞減數(shù)列的充要條件是c0.(2)若0c，要證xn是遞增數(shù)列即xn1xnxc0，即證xn對任意n1成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)0c時(shí)，xn對任意n1成立當(dāng)n1時(shí)，x10，結(jié)論成立假設(shè)當(dāng)nk(k1，kN*)時(shí)結(jié)論成立，即xk.因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2xc在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk1f(xk)f()，當(dāng)nk1時(shí)，xk1成立由，知，xn對任意n1，nN*成立因此，xn1xnxcxn，即xn是遞增數(shù)列17(2018·浙江五校聯(lián)考)已知數(shù)列an滿足a1，an1，記Sn為an的前n項(xiàng)和(1)證明：an1>an；(2)證明：ancos；(3)證明：Sn>n.證明(1)因?yàn)閍n>0，且2a2aan12a(1an)(12an)，故要證an1>an，只需要證明an<1即可下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n1時(shí)，a1<1成立；假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，ak<1成立，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1<1，綜上所述，對任意n，有an<1.所以an1>an.(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明ancos.當(dāng)n1時(shí)，a1coscos成立；假設(shè)nk(k1，kN*)時(shí)，akcos，那么當(dāng)nk1時(shí)，ak1cos.所以綜上所述，對任意n，ancos.(3)由11asin2<(n2)，得an1>1(n2)故當(dāng)n1時(shí)，S1>1；當(dāng)n2時(shí)，Sn>n××>n.綜上所述，Sn>n.15