（浙江專版）2018-2019高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程 2.4.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)學(xué)案 新人教A版選修2-1

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1、 2.4.2　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 學(xué)習(xí)目標　1.了解拋物線的范圍、對稱性、頂點、焦點、準線等幾何性質(zhì).2.會利用拋物線的性質(zhì)解決一些簡單的拋物線問題． 知識點一　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 思考　觀察下列圖形，思考以下問題： (1)觀察焦點在x軸的拋物線與雙曲線及橢圓的圖形，分析其幾何圖形存在哪些區(qū)別？ (2)根據(jù)圖形及拋物線方程y2＝2px(p>0)如何確定橫坐標x的范圍？ 答案　(1)拋物線與另兩種曲線相比較，有明顯的不同，橢圓是封閉曲線，有四個頂點，有兩個焦點，有中心；雙曲線雖然不是封閉曲線，但是有兩支，有兩個頂點，兩個焦點，有中心；拋物線只有一條曲線，一個頂點，一個焦

2、點，無中心． (2)由拋物線y2＝2px(p>0)有所以x≥0. 梳理　四種形式的拋物線的幾何性質(zhì) 標準方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 圖形 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 對稱軸 x軸 x軸 y軸 y軸 焦點坐標 F F F F 準線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 頂點坐標 O(0,0) 離心率 e＝1 通徑長 2p 知識點二　直線與拋物線的位置關(guān)系 直線y＝kx＋b與拋物線y

3、2＝2px(p>0)的交點個數(shù)決定于關(guān)于x的方程組解的個數(shù)，即二次方程k2x2＋2(kb－p)x＋b2＝0解的個數(shù)． 當k≠0時，若Δ>0，則直線與拋物線有兩個不同的公共點；若Δ＝0，直線與拋物線有一個公共點；若Δ<0，直線與拋物線沒有公共點． 當k＝0時，直線與拋物線的軸平行或重合，此時直線與拋物線有1個公共點． 知識點三　焦點弦的性質(zhì) 已知過拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點F的直線交拋物線于A，B兩點，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)|AB|＝x1＋x2＋p，|AF|＝x1＋； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準線相

4、切． (1)拋物線沒有漸近線．(√) (2)過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是p.(×) (3)若一條直線與拋物線只有一個公共點，則二者一定相切．(×) (4)“直線與拋物線有一個交點”是“直線與拋物線相切”的必要不充分條件．(√) 類型一　拋物線方程及其幾何性質(zhì) 例1　(1)頂點在原點，對稱軸為y軸，頂點到準線的距離為4的拋物線方程是(　　) A．x2＝16y B．x2＝8y C．x2＝±8y D．x2＝±16y 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性簡單應(yīng)用 答案　D 解析　頂點在原點，對稱軸為y軸的拋物線方程有兩個：x2＝－2py，x2＝2

5、py(p＞0)．由頂點到準線的距離為4，知p＝8，故所求拋物線方程為x2＝16y或x2＝－16y. (2)頂點在原點，經(jīng)過點(，－6)，且以坐標軸為對稱軸的拋物線方程是________________． 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　焦點、準線、對稱性簡單應(yīng)用 答案　y2＝12x或x2＝－y 解析　若x軸是拋物線的對稱軸，則設(shè)拋物線的標準方程為y2＝2px(p＞0)， 因為點(，－6)在拋物線上，所以(－6)2＝2p·，解得2p＝12，故所求拋物線的標準方程為y2＝12x.若y軸是拋物線的對稱軸，則同理可得拋物線的標準方程為x2＝－y. 反思與感悟　求拋物線的標準方程的關(guān)鍵與

6、方法 (1)關(guān)鍵：確定焦點在哪條坐標軸上，進而求方程的有關(guān)參數(shù)． (2)方法：①定義法：根據(jù)定義求p，最后寫標準方程． ②待定系數(shù)法：設(shè)標準方程，列有關(guān)的方程組求系數(shù)． ③直接法：建立恰當坐標系，利用拋物線的定義列出動點滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程． 跟蹤訓(xùn)練1　已知拋物線的焦點F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點，O為坐標原點，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標準方程． 考點　由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程 解　由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2ax(a≠0)， 則焦點F，準線l：x＝－， ∴A，B兩點坐標

7、分別為，， ∴|AB|＝2|a|. ∵△OAB的面積為4，∴··2|a|＝4， ∴a＝±2，∴拋物線方程為y2＝±4x. 類型二　焦點弦問題 例2　已知直線l經(jīng)過拋物線y2＝6x的焦點F，且與拋物線相交于A，B兩點． (1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值； (2)若|AB|＝9，求線段AB的中點M到準線的距離． 考點　直線與拋物線位置關(guān)系 題點　直線與拋物線相交弦長及弦中點問題 解　(1)因為直線l的傾斜角為60°， 所以其斜率k＝tan 60°＝， 又F，所以直線l的方程為 y＝. 聯(lián)立 消去y得4x2－20x＋9＝0， 解得x1＝，x2＝， 故|

8、AB|＝×＝2×4＝8. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由拋物線定義，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9， 所以x1＋x2＝6， 于是線段AB的中點M的橫坐標是3， 又準線方程是x＝－， 所以M到準線的距離等于3＋＝. 反思與感悟　拋物線定義的兩種應(yīng)用 (1)實現(xiàn)距離轉(zhuǎn)化．根據(jù)拋物線的定義，拋物線上任意一點到焦點的距離等于它到準線的距離，因此，由拋物線定義可以實現(xiàn)點點距與點線距的相互轉(zhuǎn)化，從而簡化某些問題． (2)解決最值問題．在拋物線中求解與焦點有關(guān)的兩點間距離和的最小值時，往往用拋物線的定義進行轉(zhuǎn)化，即化折線

9、為直線解決最值問題． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖，斜率為的直線l經(jīng)過拋物線y2＝2px的焦點F(1,0)，且與拋物線相交于A，B兩點． (1)求該拋物線的標準方程和準線方程； (2)求線段AB的長． 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　求拋物線的焦點弦長 解　(1)由焦點F(1,0)，得＝1，解得p＝2， 所以拋物線的標準方程為y2＝4x， 其準線方程為x＝－1. (2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)． 直線l的方程為y＝(x－1)， 與拋物線方程聯(lián)立，得 消去y，整理得4x2－17x＋4＝0， 由拋物線的定義可知， |AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝， 所以線段AB

10、的長為. 類型三　直線與拋物線位置關(guān)系 例3　(1)過點P(0,1)與拋物線y2＝x有且只有一個交點的直線有(　　) A．4條 B．3條 C．2條 D．1條 考點　直線與拋物線位置關(guān)系 題點　直線與拋物線公共點個數(shù)問題 答案　B 解析　當直線垂直于x軸時，滿足條件的直線有1條； 當直線不垂直于x軸時，滿足條件的直線有2條，故選B. (2)已知直線l：y＝kx＋1，拋物線C：y2＝4x，當k為何值時，l與C：只有一個公共點；有兩個公共點；沒有公共點． 考點　直線與拋物線位置關(guān)系 題點　直線與拋物線公共點個數(shù)問題 解　聯(lián)立消去y， 得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0.(

11、*) 當k＝0時，(*)式只有一個解x＝，∴y＝1， ∴直線l與C只有一個公共點， 此時直線l平行于x軸． 當k≠0時，(*)式是一個一元二次方程， Δ＝(2k－4)2－4k2＝16(1－k)． ①當Δ＞0，即k＜1，且k≠0時， l與C有兩個公共點，此時直線l與C相交； ②當Δ＝0，即k＝1時，l與C有一個公共點，此時直線l與C相切； ③當Δ＜0，即k＞1時，l與C沒有公共點，此時直線l與C相離． 綜上所述，當k＝1或0時，l與C有一個公共點； 當k＜1，且k≠0時，l與C有兩個公共點； 當k＞1時，l與C沒有公共點． 引申探究 求過點P(0,1)且與拋物線y2＝

12、2x只有一個公共點的直線方程． 解　(1)若直線斜率不存在， 則過點P(0,1)的直線方程為x＝0， 由得 所以直線x＝0與拋物線只有一個交點． (2)若直線斜率存在，設(shè)為k， 則過點P的直線方程為y＝kx＋1， 聯(lián)立消去y， 得k2x2＋2(k－1)x＋1＝0. 當k＝0時，得x＝，且y＝1， 即直線y＝1與拋物線只有一個公共點． 當k≠0時，若直線與拋物線只有一個公共點，則 Δ＝4(k－1)2－4k2＝0，解得k＝， 則直線方程為y＝x＋1. 綜上所述，所求直線的方程為x＝0或y＝1或x－2y＋2＝0. 反思與感悟　設(shè)直線l：y＝kx＋b，拋物線：y2＝2px

13、(p＞0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立消元得：k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0. (1)若k2＝0，此時直線與拋物線有一個交點，該直線平行于拋物線的對稱軸或與對稱軸重合． (2)若k2≠0，當Δ＞0時，直線與拋物線相交，有兩個交點； 當Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點； 當Δ＜0時，直線與拋物線相離，無公共點． 跟蹤訓(xùn)練3　(1)已知直線y＝kx－k和拋物線y2＝2px(p＞0)，則(　　) A．直線和拋物線有一個公共點 B．直線和拋物線有兩個公共點 C．直線和拋物線有一個或兩個公共點 D．直線和拋物線可能沒有公共點 考點　直線與拋物線位置關(guān)系 題點　直線與拋

14、物線公共點個數(shù)問題 答案　C 解析　∵直線y＝kx－k過定點(1,0)， ∴當k＝0時，直線與拋物線有一個公共點； 當k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點． (2)(2017·牌頭中學(xué)期中)拋物線y＝x2上關(guān)于直線y＝x＋3對稱的兩點M，N的坐標分別為____． 答案　(－2,4)　(1,1) 解析　設(shè)直線MN的方程為y＝－x＋b， 代入y＝x2中， 整理得x2＋x－b＝0，令Δ＝1＋4b>0， ∴b>－. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則x1＋x2＝－1， ＝－＋b＝＋b， 由在直線y＝x＋3上， 即＋b＝－＋3，解得b＝2， 聯(lián)立得 解得 1．已

15、知拋物線的對稱軸為x軸，頂點在原點，焦點在直線2x－4y＋11＝0上，則此拋物線的方程是(　　) A．y2＝－11x B．y2＝11x C．y2＝－22x D．y2＝22x 考點　由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程 答案　C 解析　在方程2x－4y＋11＝0中，令y＝0，得x＝－， ∴拋物線的焦點為F， 設(shè)拋物線方程為y2＝－2px(p＞0)， 則＝，∴p＝11， ∴拋物線的方程是y2＝－22x，故選C. 2．已知點A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準線上，記C的焦點為F，則直線AF的斜率為(　　) A．－B．－1C．－D．－ 考點

16、　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線性質(zhì)的綜合問題 答案　C 解析　因為拋物線C：y2＝2px的準線為x＝－， 且點A(－2,3)在準線上， 故－＝－2，解得p＝4， 所以y2＝8x， 所以焦點F的坐標為(2,0)， 這時直線AF的斜率kAF＝＝－. 3．若拋物線y2＝2px(p＞0)上三個點的縱坐標的平方成等差數(shù)列，那么這三個點到拋物線焦點F的距離的關(guān)系是(　　) A．成等差數(shù)列 B．既成等差數(shù)列也成等比數(shù)列 C．成等比數(shù)列 D．既不成等比數(shù)列也不成等差數(shù)列 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線性質(zhì)的綜合問題 答案　A 解析　設(shè)三點為P1(x1，y1)，

17、P2(x2，y2)，P3(x3，y3)， 則y＝2px1，y＝2px2，y＝2px3. 因為2y＝y(tǒng)＋y， 所以x1＋x3＝2x2， 即|P1F|－＋|P3F|－＝2， 所以|P1F|＋|P3F|＝2|P2F|. 4．已知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F作傾斜角為45°的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的長為8，則p＝________. 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　與弦長有關(guān)的其他問題 答案　2 解析　設(shè)點A，B的坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)， 易知過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F， 且傾斜角為45°的直線的方程為y＝x－， 把x

18、＝y(tǒng)＋代入y2＝2px，得y2－2py－p2＝0， ∴y1＋y2＝2p，y1y2＝－p2. ∵|AB|＝8，∴|y1－y2|＝4， ∴(y1＋y2)2－4y1y2＝(4)2， 即(2p)2－4×(－p2)＝32. 又p>0，∴p＝2. 5．已知圓C：x2＋y2＋6x＋8y＋21＝0，拋物線y2＝8x的準線為l，設(shè)拋物線上任一點P到直線l的距離為m，則m＋|PC|的最小值為________． 考點　拋物線的定義 題點　拋物線定義與其他知識結(jié)合的應(yīng)用 答案　 解析　圓心C(－3，－4)，由拋物線的定義知，m＋|PC|最小時為圓心與拋物線焦點(2,0)間的距離，即＝. 1．

19、拋物線的中點弦問題用點差法較簡便． 2．軸對稱問題，一是抓住對稱兩點的中點在對稱軸上，二是抓住兩點連線的斜率與對稱軸所在直線斜率的關(guān)系． 3．在直線和拋物線的綜合問題中，經(jīng)常遇到求定值、過定點問題．解決這類問題的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、參數(shù)法等．解決這些問題的關(guān)鍵是代換和轉(zhuǎn)化． 一、選擇題 1.(2017·嘉興一中期末)已知點A(0,2)，拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點為F，射線FA與拋物線C相交于點M，與其準線相交于點N，若＝，則p的值等于(　　) A.B．2C．4D．8 答案　B 2．拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點為F，M是拋物線C上的點，O為坐標

20、原點，若△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切，且該圓的面積為36π，則p的值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 考點　由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　由簡單幾何性質(zhì)求拋物線的方程 答案　D 解析　∵△OFM的外接圓與拋物線C的準線相切， ∴△OFM的外接圓的圓心到準線的距離等于圓的半徑． ∵圓的面積為36π，∴圓的半徑為6. 又圓心在OF的垂直平分線上，|OF|＝， ∴＋＝6，∴p＝8. 3．拋物線y＝－x2上的點到直線4x＋3y－8＝0的距離的最小值是(　　) A.B.C.D．3 考點　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點　求距離最小值問題 答案　A 解析

21、　設(shè)拋物線y＝－x2上一點為(m，－m2)，該點到直線4x＋3y－8＝0的距離為 ，當m＝時，取得最小值為. 4．已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點為F，其上的三個點A，B，C的橫坐標之比為3∶4∶5，則以|FA|，|FB|，|FC|為邊長的三角形(　　) A．不存在 B．必是銳角三角形 C．必是鈍角三角形 D．必是直角三角形 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線的簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用 答案　B 解析　設(shè)A，B，C三點的橫坐標分別為x1，x2，x3，x1＝3k，x2＝4k，x3＝5k(k>0)，由拋物線定義，得|FA|＝＋3k，|FB|＝＋4k，|FC|＝＋5k，易知三者能

22、構(gòu)成三角形，|FC|所對角為最大角，由余弦定理可證該角的余弦值為正數(shù)，故該三角形必是銳角三角形． 5．等腰直角三角形AOB內(nèi)接于拋物線y2＝2px(p>0)，O為拋物線的頂點，OA⊥OB，則△AOB的面積是(　　) A．8p2B．4p2C．2p2D．p2 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線的簡單幾何性質(zhì)應(yīng)用 答案　B 解析　因為拋物線的對稱軸為x軸，內(nèi)接△AOB為等腰直角三角形，所以由拋物線的對稱性，知直線AB與拋物線的對稱軸垂直，從而直線OA與x軸的夾角為45°. 由方程組 得或 所以易得A，B兩點的坐標分別為(2p,2p)和(2p，－2p)． 所以|AB|＝4p，

23、所以S△AOB＝×4p×2p＝4p2. 6．(2017·牌頭中學(xué)期中)已知F為拋物線y2＝x的焦點，點A，B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，·＝2(其中O為坐標原點)，則△ABO與△AFO面積之和的最小值是(　　) A．2B．3C.D. 答案　B 解析　設(shè)點A的坐標為(a2，a)，點B的坐標為(b2，b)，直線AB的方程為x＝ty＋m，與拋物線y2＝x聯(lián)立得y2－ty－m＝0，故ab＝－m，由·＝2得a2b2＋ab＝2，故ab＝－2或ab＝1(舍去)，所以m＝2，所以△ABO的面積為m|a－b|＝|a－b|＝，△AFO的面積等于×|a|＝，所以△ABO與△AFO的面積之和為＋≥2＝3，當

24、且僅當＝，即|a|＝時“＝”成立，故選B. 7．已知拋物線y2＝2px(p>0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A，B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為(　　) A．x＝1 B．x＝－1 C．x＝2 D．x＝－2 考點　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點　直線與拋物線位置關(guān)系的綜合應(yīng)用 答案　B 解析　拋物線的焦點為F，所以過焦點且斜率為1的直線方程為y＝x－，即x＝y(tǒng)＋，代入y2＝2px消去x，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系得＝p＝2(y1，y2分別為點A，B的縱坐標)，所以拋物線方程為y2＝4x，準線方程為x＝－1.

25、二、填空題 8．已知O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若·＝－4，則點A的坐標是____________． 考點　拋物線的簡單幾何性質(zhì) 題點　拋物線性質(zhì)的綜合問題 答案　(1,2)或(1，－2) 解析　∵拋物線的焦點為F(1,0)，設(shè)A， 則＝，＝， 由·＝－4，得y0＝±2， ∴點A的坐標是(1,2)或(1，－2)． 9．(2017·嘉興一中期末)過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A，B兩點，O為坐標原點．若|AF|＝3，則△AOB的面積為________． 答案　 10．已知在拋物線y＝x2上存在兩個不同的點M，N關(guān)于直線y＝kx＋

26、對稱，則k的取值范圍為__________________． 考點　直線與拋物線位置關(guān)系 題點　直線與拋物線位置關(guān)系 答案　∪ 解析　設(shè)M(x1，x)，N(x2，x)， 兩點關(guān)于直線y＝kx＋對稱，顯然k＝0時不成立， ∴＝－，即x1＋x2＝－. 設(shè)MN的中點為P(x0，y0)， 則x0＝－，y0＝k×＋＝4. 又中點P在拋物線y＝x2內(nèi)， ∴4＞2，即k2＞， ∴k＞或k＜－. 三、解答題 11．(2017·嘉興一中期末)在平面直角坐標系xOy中，直線l與拋物線y2＝4x相交于不同的A，B兩點． (1)如果直線l過拋物線的焦點，求·的值； (2)如果·＝－4，證

27、明直線l必過一定點，并求出該定點． 解　(1)由題意知拋物線焦點坐標為(1,0)， 設(shè)l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4＝0，Δ＝16t2＋16>0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋1)(ty2＋1)＋y1y2 ＝t2y1y2＋t(y1＋y2)＋1＋y1y2 ＝－4t2＋4t2＋1－4＝－3. (2)設(shè)l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x，得y2－4ty－4b＝0，Δ＝16t2＋16b>0， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1

28、＋y2＝4t，y1y2＝－4b， ∴·＝x1x2＋y1y2 ＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2 ＝t2y1y2＋bt(y1＋y2)＋b2＋y1y2 ＝－4bt2＋4bt2＋b2－4b＝b2－4b. 令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0， ∴b＝2. ∴直線l過定點(2,0)． ∴若·＝－4，則直線l必過一定點(2,0)． 12．已知頂點在原點，焦點在y軸上的拋物線截直線x－2y－1＝0所得的弦長為，求此拋物線的方程． 考點　由拋物線的簡單幾何性質(zhì)求方程 題點　已知弦長求拋物線的方程 解　設(shè)拋物線方程為x2＝ay(a≠0)． 由方程組消去y， 得2x2－ax

29、＋a＝0. ∵直線與拋物線有兩個交點， ∴Δ＝(－a)2－4×2×a＞0，即a＜0或a＞8. 設(shè)兩交點分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝， ∴|AB|＝＝＝. ∵|AB|＝，∴＝， 即a2－8a－48＝0，解得a＝－4或a＝12， ∴所求拋物線的方程為x2＝－4y或x2＝12y. 13．設(shè)拋物線C：y2＝4x，F(xiàn)為C的焦點，過F的直線l與C相交于A，B兩點． (1)設(shè)l的斜率為2，求|AB|的值； (2)求證：·是一個定值． 考點　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點　直線與拋物線的綜合問題 (1)解　依題意得F(1,0)， ∴直線l的

30、方程為y＝2(x－1)． 設(shè)直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由消去y，整理得x2－3x＋1＝0， ∴x1＋x2＝3，x1x2＝1. 方法一　|AB|＝ ＝×＝5. 方法二　|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋p＝3＋2＝5. (2)證明　設(shè)直線l的方程為x＝ky＋1，直線l與拋物線的交點為A(x1，y1)，B(x2，y2)． 由消去x，整理得y2－4ky－4＝0， ∴y1＋y2＝4k，y1y2＝－4. ∵·＝(x1，y1)·(x2，y2) ＝x1x2＋y1y2 ＝(ky1＋1)(ky2＋1)＋y1y2 ＝k2y1y2＋k(y1＋y2)

31、＋1＋y1y2 ＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3， ∴·是一個定值． 四、探究與拓展 14．已知直線l過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點且與拋物線相交，其中一個交點為(2p,2p)，則其焦點弦的長度為________． 考點　拋物線中過焦點的弦長問題 題點　求拋物線的焦點弦長 答案　 解析　由題意，知直線l過和(2p,2p)， 所以直線l：y＝.設(shè)另一交點坐標為(x1，y1)， 聯(lián)立 整理得8x2－17px＋2p2＝0. 由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋2p＝， 所以焦點弦的長度為x1＋2p＋p＝. 15．已知拋物線y2＝2x. (1)設(shè)點A的坐標為，求拋物線上距離點

32、A最近的點P的坐標及相應(yīng)的距離|PA|； (2)設(shè)點A的坐標為(a,0)，求拋物線上的點到點A的距離的最小值d，并寫出d＝f(a)的函數(shù)表達式． 考點　直線與拋物線的位置關(guān)系 題點　直線與拋物線的綜合問題 解　(1)設(shè)拋物線上任一點P的坐標為(x，y)， 則|PA|2＝2＋y2＝2＋2x ＝2＋. 因為x≥0，且在此區(qū)間上|PA|2隨著x的增大而增大， 所以當x＝0時，|PA|min＝， 故距離點A最近的點P的坐標為(0,0)，最短距離是. (2)同(1)求得|PA|2＝(x－a)2＋y2＝(x－a)2＋2x＝[x－(a－1)]2＋(2a－1)． 當a－1≥0，即a≥1時，|PA|＝2a－1， 解得|PA|min＝，此時x＝a－1； 當a－1＜0，即a＜1時，|PA|＝a2， 解得|PA|min＝|a|，此時x＝0. 所以d＝f(a)＝ 17