（江蘇專用）2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題四 第1講 直線與圓學(xué)案 理

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1、第1講　直線與圓 高考定位　高考對本內(nèi)容的考查重點(diǎn)是直線間的平行和垂直的條件、與距離有關(guān)的問題、直線與圓的位置關(guān)系(特別是弦長問題)，此類問題難度屬于中等，一般以填空題的形式出現(xiàn)，有時也會出現(xiàn)解答題，多考查其幾何圖形的性質(zhì)或方程知識.多為B級或C級要求. 真 題 感 悟 1.(2015·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以點(diǎn)(1，0)為圓心且與直線mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圓中，半徑最大的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為________. 解析　直線mx－y－2m－1＝0恒過定點(diǎn)(2，－1)，由題意，得半徑最大的圓的半徑r＝＝.故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋y2＝2. 答案　(

2、x－1)2＋y2＝2 2.(2017·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A(－12，0)，B(0，6)，點(diǎn)P在圓O：x2＋y2＝50上.若·≤20，則點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍是________. 解析　設(shè)點(diǎn)P(x，y)，且A(－12，0)，B(0，6)， 則·＝(－12－x，－y)·(－x，6－y)＝x(12＋x)＋y(y－6)≤20，又x2＋y2＝50， ∴2x－y＋5≤0，則點(diǎn)P在直線2x－y＋5＝0上方的圓弧上(含交點(diǎn)). 聯(lián)立解得x＝－5或x＝1，結(jié)合圖形知，－5≤x≤1. 故點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍是[－5，1]. 答案　[－5，1] 3.(2016·江蘇卷)如圖，在平

3、面直角坐標(biāo)系xOy中，已知以M為圓心的圓M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一點(diǎn)A(2，4). (1)設(shè)圓N與x軸相切，與圓M外切，且圓心N在直線x＝6上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)設(shè)平行于OA的直線l與圓M相交于B，C兩點(diǎn)，且BC＝OA，求直線l的方程； (3)設(shè)點(diǎn)T(t，0)滿足：存在圓M上的兩點(diǎn)P和Q，使得＋＝，求實(shí)數(shù)t的取值范圍. 解　(1)圓M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x－6)2＋(y－7)2＝25，圓心M(6，7)，半徑r＝5， 由題意，設(shè)圓N的方程為(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0). 且＝b＋5. 解得b＝1，∴圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－6)2＋(y

4、－1)2＝1. (2)∵kOA＝2，∴可設(shè)直線l的方程為y＝2x＋m，即2x－y＋m＝0. 又BC＝OA＝＝2. 由題意，圓M的圓心M(6，7)到直線l的距離為d＝＝＝2. 即＝2，解得m＝5或m＝－15. ∴直線l的方程為y＝2x＋5或y＝2x－15. (3)由＋＝，則四邊形AQPT為平行四邊形， 又∵P，Q為圓M上的兩點(diǎn)，∴PQ≤2r＝10. ∴TA＝PQ≤10，即≤10，解得2－2≤t≤2＋2. 故所求t的范圍為[2－2，2＋2]. 考 點(diǎn) 整 合 1.兩直線平行或垂直 (1)兩條直線平行：對于兩條不重合的直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1∥l2

5、k1＝k2.特別地，當(dāng)直線l1，l2的斜率都不存在且l1與l2不重合時，l1∥l2. (2)兩條直線垂直：對于兩條直線l1，l2，若其斜率分別為k1，k2，則有l(wèi)1⊥l2k1·k2＝－1.特別地，當(dāng)l1，l2中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為零時，l1⊥l2. 2.圓的方程 (1)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，圓心為(a，b)，半徑為r. (2)圓的一般方程：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)，圓心為，半徑為r＝；對于二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓的充要條件是 3.直線方程的五種形式中只有一般式

6、可以表示所有的直線.在利用直線方程的其他形式解題時，一定要注意它們表示直線的局限性.比如，根據(jù)“在兩坐標(biāo)軸上的截距相等”這個條件設(shè)方程時一定不要忽略過原點(diǎn)的特殊情況.而題中給出直線方程的一般式，我們通常先把它轉(zhuǎn)化為斜截式再進(jìn)行處理. 4.處理有關(guān)圓的問題，要特別注意圓心、半徑及平面幾何知識的應(yīng)用，如弦心距、半徑、弦長的一半構(gòu)成直角三角形經(jīng)常用到，利用圓的一些特殊幾何性質(zhì)解題，往往使問題簡化. 5.直線與圓中常見的最值問題 (1)圓外一點(diǎn)與圓上任一點(diǎn)的距離的最值. (2)直線與圓相離，圓上任一點(diǎn)到直線的距離的最值. (3)過圓內(nèi)一定點(diǎn)的直線被圓截得弦長的最值. (4)直線與圓相離，過

7、直線上一點(diǎn)作圓的切線，切線長的最小值問題. (5)兩圓相離，兩圓上點(diǎn)的距離的最值. 熱點(diǎn)一　直線與圓的基本問題 [考法1]　求圓的方程 【例1－1】 (2018·揚(yáng)州期末)圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于A(0，－4)，B(0，－2)兩點(diǎn)，則圓C的方程為________. 解析　因?yàn)閳AC過點(diǎn)A(0，－4)，B(0，－2)，所以圓心C的縱坐標(biāo)為－3.又圓心C在直線2x－y－7＝0上，所以圓心C為(2，－3)，從而圓的半徑為r＝AC＝＝，故所求的圓的方程為(x－2)2＋(y＋3)2＝5. 答案　(x－2)2＋(y＋3)2＝5 探究提高　求具備一定條件的圓的方程時，其關(guān)

8、鍵是尋找確定圓的兩個幾何要素，即圓心和半徑，待定系數(shù)法也是經(jīng)常使用的方法，在一些問題中借助平面幾何中關(guān)于圓的知識可以簡化計(jì)算，如已知一個圓經(jīng)過兩個點(diǎn)時，其圓心一定在這兩點(diǎn)連線的垂直平分線上，解題時要注意平面幾何知識的應(yīng)用. [考法2]　圓的切線問題 【例1－2】 (1)在平面直角坐標(biāo)系中，A，B分別是x軸和y軸上的動點(diǎn)，若以AB為直徑的圓C與直線2x＋y－4＝0相切，則圓C面積的最小值為________. (2)若⊙O：x2＋y2＝5與⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長度是________. 解析　(1)由題意可知以

9、線段AB為直徑的圓C過原點(diǎn)O，要使圓C的面積最小(D為切點(diǎn))，只需圓C的半徑或直徑最小，又圓C與直線2x＋y－4＝0相切，所以由平面幾何知識，當(dāng)OC所在直線與l垂直時，OD最小(D為切點(diǎn))，即圓C的直徑最小，則OD＝＝，所以圓的半徑為，圓C的面積的最小值為S＝πr2＝π. (2)依題意得△OO1A是直角三角形，且＜|m|＜3.∴OO1＝|m|＝＝5， S△OO1A＝··OO1＝·OA·AO1，因此AB＝＝＝4. 答案　(1)π　(2)4 探究提高　(1)直線與圓相切時利用“切線與過切點(diǎn)的半徑垂直，圓心到切線的距離等于半徑”建立切線斜率的等式，所以求切線方程時主要選擇點(diǎn)斜式. (2)過

10、圓外一點(diǎn)求解切線長轉(zhuǎn)化為圓心到圓外點(diǎn)距離，利用勾股定理處理. [考法3]　與圓有關(guān)的弦長問題 【例1－3】 (1)(2018·全國Ⅰ卷)直線y＝x＋1與圓x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B兩點(diǎn)，則AB＝________. (2)過三點(diǎn)A(1，3)，B(4，2)，C(1，－7)的圓交y軸于M，N兩點(diǎn)，則MN＝________. 解析　(1)由題意知圓的方程為x2＋(y＋1)2＝4，所以圓心坐標(biāo)為(0，－1)，半徑為2，則圓心到直線y＝x＋1的距離d＝＝， 所以AB＝2＝2. (2)由已知，得＝(3，－1)，＝(－3，－9)， 則·＝3×(－3)＋(－1)×(－9)＝0，所以⊥，即A

11、B⊥BC， 故過三點(diǎn)A，B，C的圓以AC為直徑，得其方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝25， 令x＝0得(y＋2)2＝24，解得y1＝－2－2，y2＝－2＋2， 所以MN＝|y1－y2|＝4. 答案　(1)2　(2)4 探究提高　涉及直線被圓截得的弦長問題，一般有兩種求解方法：一是利用半徑r，弦心距d，弦長l的一半構(gòu)成直角三角形，結(jié)合勾股定理d2＋＝r2求解；二是若斜率為k的直線l與圓C交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則AB＝|x1－x2|. 【訓(xùn)練1】 設(shè)直線y＝x＋2a與圓C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B兩點(diǎn)，若AB＝2，則圓C的面積為________.

12、 解析　圓C：x2＋y2－2ay－2＝0，即C：x2＋(y－a)2＝a2＋2，圓心為C(0，a)，半徑r＝，C到直線y＝x＋2a的距離為d＝＝.又由AB＝2，得＋＝a2＋2，解得a2＝2，所以圓的面積為π(a2＋2)＝4π. 答案　4π 熱點(diǎn)二　直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系 【例2】 已知過原點(diǎn)的動直線l與圓C1：x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求圓C1的圓心坐標(biāo)； (2)求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程； (3)是否存在實(shí)數(shù)k，使得直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點(diǎn)？若存在，求出k的取值范圍；若不存在，說明理由. 解　(1)由x2＋y2－6x＋5

13、＝0，得(x－3)2＋y2＝4，所以圓C1的圓心坐標(biāo)為(3，0). (2)設(shè)線段AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)， ①當(dāng)線段AB不在x軸上時，有C1M⊥AB，則kC1M·kAB＝－1，即·＝－1， 整理得＋y2＝，又當(dāng)直線l與圓C1相切時，易求得切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為. 所以此時M的軌跡C的方程為＋y2＝. ②當(dāng)線段AB在x軸上時，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(3，0)，也滿足式子＋y2＝. 綜上，線段AB的中點(diǎn)M的軌跡C的方程為＋y2＝. (3)由(2)知點(diǎn)M的軌跡是以C為圓心，r＝為半徑的部分圓弧EF(如圖所示，不包括兩端點(diǎn))， 且E，F(xiàn). 又直線L：y＝k(x－4)過定點(diǎn)D(4，0)，當(dāng)直線

14、L與圓C相切時， 由＝，得k＝±，又kDE＝－kDF＝－＝－， 結(jié)合圖形可知當(dāng)k∈∪時，直線L：y＝k(x－4)與曲線C只有一個交點(diǎn). 探究提高　此類題易失分點(diǎn)有兩處：一是不會適時分類討論，遇到直線問題，想用其斜率，定要注意斜率是否存在；二是數(shù)形結(jié)合求參數(shù)的取值范圍時，定要注意“草圖不草”，如本題，畫成軌跡C時，若把端點(diǎn)E，F(xiàn)畫出實(shí)心點(diǎn)，借形解題時求出的斜率就會出錯. 【訓(xùn)練2】 (1)(2018·常州調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若圓(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在點(diǎn)M，使得點(diǎn)M關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)N在直線kx＋y＋3＝0上，則實(shí)數(shù)k的最小值為________. (2)(2017

15、·南京、鹽城模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P為函數(shù)y＝2ln x的圖象與圓M：(x－3)2＋y2＝r2的公共點(diǎn)，且它們在點(diǎn)P處有公切線，若二次函數(shù)y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O，P，M，則y＝f(x)的最大值為________. 解析　(1)圓(x－2)2＋(y－2)2＝1關(guān)于x軸的對稱圓的方程為(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由題意得圓心(2，－2)到直線kx＋y＋3＝0的距離d＝≤1，解得－≤k≤0，所以實(shí)數(shù)k的最小值為－. (2)設(shè)P(x0，2ln x0)，x0>0，則函數(shù)y＝2ln x在點(diǎn)P處的切線斜率為，則·＝－1，即為4ln x0＝－x0(x0－3)?、?由二次函數(shù)y＝f(

16、x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)O和M可設(shè)f(x)＝ax(x－3)，代入點(diǎn)P(x0，2ln x0)，x0>0，得2ln x0＝ax0(x0－3)?、?由①②比較可得a＝－，則f(x)＝－x(x－3)，則f(x)max＝f＝－××＝. 答案　(1)－　(2) 熱點(diǎn)三　直線、圓與其他知識的交匯問題 【例3】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓＋＝1的右頂點(diǎn)，點(diǎn)D(1，0)，點(diǎn)P，B在橢圓上，＝. (1)求直線BD的方程； (2)求直線BD被過P，A，B三點(diǎn)的圓C截得的弦長； (3)是否存在分別以PB，PA為弦的兩個相外切的等圓？若存在，求出這兩個圓的方程；若不存在，請說明理由. 解　

17、(1)因?yàn)椋角褹(3，0)，D(1，0)， 所以BP＝DA＝2，而B，P關(guān)于y軸對稱， 所以點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為1，從而得P(1，2)，B(－1，2)， 所以直線BD的方程為x＋y－1＝0. (2)線段BP的垂直平分線方程為x＝0，線段AP的垂直平分線方程為y＝x－1， 所以圓C的圓心為(0，－1)，且圓C的半徑為r＝， 又圓心(0，－1)到直線BD的距離為d＝， 所以直線BD被圓C截得的弦長為2＝4. (3)假設(shè)存在這樣的兩個圓M與圓N，其中PB是圓M的弦，PA是圓N的弦，則點(diǎn)M一定在y軸上，點(diǎn)N一定在線段PA的垂直平分線y＝x－1上，當(dāng)圓M和圓N是兩個相外切的等圓時，一定有P，M

18、，N在一條直線上，且PM＝PN.設(shè)M(0，b)，則N(2，4－b)，根據(jù)N(2，4－b)在直線y＝x－1上，解得b＝3. 所以M(0，3)，N(2，1)，PM＝PN＝，故存在這樣的兩個圓，且方程分別為x2＋(y－3)2＝2，(x－2)2＋(y－1)2＝2. 探究提高　求圓中弦長問題，多用垂徑定理，先計(jì)算圓心到直線的距離，再利用弦長公式AB＝2；求圓的方程問題常見于找出圓心和半徑，對于兩圓的位置關(guān)系則多借助于幾何關(guān)系進(jìn)行判定. 【訓(xùn)練3】 (2018·南通二模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A，B為圓C：(x＋4)2＋(y－a)2＝16上的兩個動點(diǎn)，且AB＝2.若直線l：y＝2x上存在唯一

19、的一個點(diǎn)P，使得＋＝，則實(shí)數(shù)a的值為________. 解析　法一　設(shè)AB的中點(diǎn)M(x0，y0)，P(x，y)，則由AB＝2得，CM＝＝，即點(diǎn)M的軌跡為(x0＋4)2＋(y0－a)2＝5.又因?yàn)椋剑裕剑?x0－x，y0－y)＝，從而則動點(diǎn)P的軌跡方程為(x＋2)2＋＝5，又因?yàn)橹本€l上存在唯一的一個點(diǎn)P，所以直線l和動點(diǎn)P的軌跡(圓)相切，則＝，解得a＝2或a＝－18. 法二　由題意，圓心C到直線AB的距離d＝＝，則AB中點(diǎn)M的軌跡方程為(x＋4)2＋(y－a)2＝5.由＋＝得2＝，所以∥.連接CM并延長交l于點(diǎn)N，則CN＝2CM＝2.故問題轉(zhuǎn)化為直線l上存在唯一的一個點(diǎn)N，使得C

20、N＝2，所以點(diǎn)C到直線l的距離為＝2，解得a＝2或a＝－18. 答案　2或－18 1.由于直線方程有多種形式，各種形式適用的條件、范圍不同，在具體求直線方程時，由所給的條件和采用的直線方程形式所限，可能會產(chǎn)生遺漏的情況，尤其在選擇點(diǎn)斜式、斜截式時要注意斜率不存在的情況. 2.確定圓的方程時，常用到圓的幾個性質(zhì)： (1)直線與圓相交時應(yīng)用垂徑定理構(gòu)成直角三角形(半弦長、弦心距、圓半徑)； (2)圓心在過切點(diǎn)且與切線垂直的直線上； (3)圓心在任一弦的中垂線上； (4)兩圓內(nèi)切或外切時，切點(diǎn)與兩圓圓心三點(diǎn)共線； (5)圓的對稱性：圓關(guān)于圓心成中心對稱，關(guān)于任意一條過圓心的直線成

21、軸對稱. 3.直線與圓中常見的最值問題 圓上的點(diǎn)與圓外點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到點(diǎn)的距離問題；圓上的點(diǎn)與直線上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離問題；圓上的點(diǎn)與另一圓上點(diǎn)的距離的最值問題，可以轉(zhuǎn)化為圓心到圓心的距離問題. 4.兩圓相交，將兩圓方程聯(lián)立消去二次項(xiàng)，得到一個二元一次方程即為兩圓公共弦所在的直線方程. 一、填空題 1.(2018·天津卷)在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過三點(diǎn)(0，0)，(1，1)，(2，0)的圓的方程為________________. 解析　設(shè)圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)，則解得D＝－2，E＝0，F(xiàn)＝

22、0，即圓的方程為x2＋y2－2x＝0. 答案　x2＋y2－2x＝0 2.(2014·江蘇卷)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________. 解析　圓心為(2，－1)，半徑r＝2.圓心到直線的距離d＝＝，所以弦長為2＝2＝. 答案　 3.(2018·泰州期末)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知過點(diǎn)A(2，－1)的圓C與直線x＋y＝1相切，且圓心在直線y＝－2x上，則圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為________________. 解析　法一(幾何法)　點(diǎn)A(2，－1)在直線x＋y＝1上，故點(diǎn)A是切點(diǎn).過點(diǎn)A(2，－1)與直線x＋y－1＝0

23、垂直的直線方程為x－y＝3，由解得所以圓心C(1，－2).又AC＝＝， 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. 法二(方程法)　由圓心在直線y＝－2x上，可設(shè)圓心為(a，－2a)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－a)2＋(y＋2a)2＝r2(r＞0).要確定兩個待定量a，r2的值，只需建立兩個含a，r2的等式，建立方程組求解.由圓C過點(diǎn)A(2，－1)，且與直線x＋y＝1相切，得即解得 所以圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－1)2＋(y＋2)2＝2. 答案　(x－1)2＋(y＋2)2＝2 4.(2017·宿遷模擬)已知A，B是圓C1：x2＋y2＝1上的動點(diǎn)，AB＝，P是圓C2：(x－3)2＋(y

24、－4)2＝1上的動點(diǎn)，則|＋|的取值范圍為________. 解析　設(shè)AB的中點(diǎn)為C，由垂徑定理可得CC1⊥AB，則CC1＝＝，即點(diǎn)C的軌跡方程是x2＋y2＝，C1C2＝＝5，則PCmax＝5＋1＋＝，PCmin＝5－1－＝，所以|＋|＝|2|∈[7，13]. 答案　[7，13] 5.(2018·蘇、錫、常、鎮(zhèn)調(diào)研)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓C：(x＋1)2＋y2＝2，點(diǎn)A(2，0)，若圓C上存在點(diǎn)M，滿足MA2＋MO2≤10，則點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是________. 解析　設(shè)M(x，y)，因?yàn)镸A2＋MO2≤10，所以(x－2)2＋y2＋x2＋y2≤10，化簡得x2＋y2－

25、2x－3≤0，則圓C：x2＋y2＋2x－1＝0與圓C′：x2＋y2－2x－3＝0有公共點(diǎn)，將兩圓方程相減可得兩圓公共弦所在直線的方程為x＝－，代入x2＋y2－2x－3≤0可得－≤y≤，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)的取值范圍是. 答案　 6.(2018·全國Ⅲ卷改編)直線x＋y＋2＝0分別與x軸、y軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是________. 解析　由題意知圓心的坐標(biāo)為(2，0)，半徑r＝，圓心到直線x＋y＋2＝0的距離d＝＝2，所以圓上的點(diǎn)到直線的最大距離是d＋r＝3，最小距離是d－r＝.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝2，所以2≤S

26、△ABP≤6. 答案　[2，6] 7.過雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的左焦點(diǎn)F作圓x2＋y2＝a2的切線，切點(diǎn)為E，直線EF交雙曲線右支于點(diǎn)P，若＝(＋)，則雙曲線的離心率是________. 解析　如圖，∵＝(＋)，∴E為FP的中點(diǎn)， 又O為FF′的中點(diǎn)，∴OE為△PFF′的中位線，∴OE∥PF′，OE＝PF′， ∵OE＝a，∴PF′＝a，∵PF切圓O于E，∴OE⊥PF，∴PF′⊥PF， ∵FF′＝2c，PF－PF′＝2a，∴PF＝2a＋a＝3a，∴由勾股定理得a2＋9a2＝4c2， ∴10a2＝4c2，∴e＝＝. 答案　 8.直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交

27、于A，B兩點(diǎn)(其中a，b是實(shí)數(shù))，且△AOB是直角三角形(O是坐標(biāo)原點(diǎn))，則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0，1)之間距離的最小值為________. 解析　根據(jù)題意畫出圖形，如圖所示，過點(diǎn)O作OC⊥AB于C， 因?yàn)椤鰽OB為等腰直角三角形，所以C為弦AB的中點(diǎn)，又OA＝OB＝1，根據(jù)勾股定理得AB＝，∴OC＝AB＝.∴圓心到直線的距離為＝， 即2a2＋b2＝2，即a2＝－b2＋1≥0. ∴－≤b≤.則點(diǎn)P(a，b)與點(diǎn)(0，1)之間距離d＝＝＝. 設(shè)f(b)＝b2－2b＋2＝(b－2)2，此函數(shù)為對稱軸為b＝2的開口向上的拋物線，∴當(dāng)－≤b≤<2時，函數(shù)為減函數(shù).∵f()＝3－2， ∴

28、d的最小值為＝＝－1. 答案　－1 二、解答題 9.已知過點(diǎn)A(0，1)且斜率為k的直線l與圓C：(x－2)2＋(y－3)2＝1交于M，N兩點(diǎn). (1)求k的取值范圍； (2)若·＝12，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求MN. 解　(1)由題設(shè)，可知直線l的方程為y＝kx＋1，因?yàn)閘與C交于兩點(diǎn)， 所以<1.解得

29、x2)＋1＝＋8. 由題設(shè)可得＋8＝12，解得k＝1，所以l的方程為y＝x＋1. 故圓心C在l上，所以MN＝2. 10.(2013·江蘇卷)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0，3)，直線l：y＝2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上. (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點(diǎn)M，使MA＝2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 解　(1)由題設(shè)，圓心C是直線y＝2x－4和y＝x－1的交點(diǎn)，解得點(diǎn)C(3，2)，于是切線的斜率必存在. 設(shè)過A(0，3)的圓C的切線方程為y＝kx＋3， 由題意，得＝1，解得k＝0或－， 故

30、所求切線方程為y＝3或3x＋4y－12＝0. (2)因?yàn)閳A心在直線y＝2x－4上，所以圓C的方程為(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1. 設(shè)點(diǎn)M(x，y)，因?yàn)镸A＝2MO， 所以＝2 ，化簡得x2＋y2＋2y－3＝0， 即x2＋(y＋1)2＝4，所以點(diǎn)M在以D(0，－1)為圓心，2為半徑的圓上. 由題意，點(diǎn)M(x，y)在圓C上，所以圓C與圓D有公共點(diǎn)，則|2－1|≤CD≤2＋1， 即1≤≤3.整理得－8≤5a2－12a≤0. 由5a2－12a＋8≥0，得a∈R；由5a2－12a≤0，得0≤a≤. 所以點(diǎn)C的橫坐標(biāo)a的取值范圍是. 11.(2018·鹽城三模)如圖，已知F

31、1，F(xiàn)2分別是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)，P(－2，3)是橢圓C上的一點(diǎn)，且PF1⊥x軸. (1)求橢圓C的方程； (2)設(shè)圓M：(x－m)2＋y2＝r2(r＞0). ①設(shè)圓M與線段PF2交于A，B兩點(diǎn)，若＋＝＋，且AB＝2，求r的值； ②設(shè)m＝－2，過點(diǎn)P作圓M的兩條切線分別交橢圓C于G，H兩點(diǎn)(異于點(diǎn)P).試問：是否存在這樣的正數(shù)r，使得G，H兩點(diǎn)恰好關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O對稱？若存在，求出r的值；若不存在，請說明理由. 解　(1)因?yàn)辄c(diǎn)P(－2，3)是橢圓C上一點(diǎn)，且PF1⊥x軸， 所以橢圓的半焦距c＝2，由＋＝1，得y＝±， 所以＝＝3，化簡得a2－3a－4＝0

32、，解得a＝4(舍負(fù))， 所以b2＝12，所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)①因?yàn)椋剑?，所以－＝－，即＝? 所以線段PF2與線段AB的中點(diǎn)重合，記為點(diǎn)Q，由(1)知Q， 因?yàn)閳AM與線段PF2交于兩點(diǎn)A，B，所以kMQ·kAB＝kMQ·kPF2＝－1， 所以·＝－1，解得m＝－，所以MQ＝＝， 故r＝＝. ②由G，H兩點(diǎn)恰好關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)G(x0，y0)，則H(－x0，－y0)， 不妨設(shè)x0＜0，因?yàn)镻(－2，3)，m＝－2，所以兩條切線的斜率均存在， 設(shè)過點(diǎn)P與圓M相切的直線斜率為k，則切線方程為y－3＝k(x＋2)， 即kx－y＋2k＋3＝0， 由該直線與圓M相切，得r＝，即k＝±， 所以兩條切線的斜率互為相反數(shù)，即kPG＝－kPH， 所以＝－，化簡得x0y0＝－6， 即y0＝，代入＋＝1，化簡得x－16x＋48＝0， 解得x0＝－2(舍)或x0＝－2，所以y0＝， 所以G(－2，)，H(2，－)， 所以kPG＝＝，所以r＝＝. 故存在滿足條件的r，且r＝. 14