（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第九章 平面解析幾何 第7節(jié) 拋物線學(xué)案 文 新人教A版

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1、 第7節(jié)　拋物線 最新考綱　1.了解拋物線的實(shí)際背景，了解拋物線在刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界和解決實(shí)際問(wèn)題中的作用；2.掌握拋物線的定義、幾何圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì). 知 識(shí) 梳 理 1.拋物線的定義 (1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(F?l)的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線.點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線. (2)其數(shù)學(xué)表達(dá)式：{M||MF|＝d}(d為點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離). 2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì) 圖形 標(biāo)準(zhǔn) 方程 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0) p的幾何

2、意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離 性質(zhì) 頂點(diǎn) O(0，0) 對(duì)稱軸 y＝0 x＝0 焦點(diǎn) F F F F 離心率 e＝1 準(zhǔn)線方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 范圍 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 開(kāi)口方向 向右 向左 向上 向下 [常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒] 1.通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦. 2.拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝x0＋，也稱為拋物線的焦半徑. 診 斷 自 測(cè) 1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“√”或“×”) (1)平面內(nèi)與

3、一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線.(　　) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x＝－.(　　) (3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形.(　　) (4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2＝，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p. 解析　(1)當(dāng)定點(diǎn)在定直線上時(shí)，軌跡為過(guò)定點(diǎn)F與定直線l垂直的一條直線，而非拋物線. (2)方程y＝ax2(a≠0)可化為x2＝y(tǒng)，是焦點(diǎn)在y軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是y＝－. (3)

4、拋物線是只有一條對(duì)稱軸的軸對(duì)稱圖形. 答案　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 2.以x＝1為準(zhǔn)線的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　) A.y2＝2x B.y2＝－2x C.y2＝4x D.y2＝－4x 解析　由準(zhǔn)線x＝1知，拋物線方程為： y2＝－2px(p>0)且＝1，p＝2， ∴拋物線的方程為y2＝－4x. 答案　D 3.(2018·黃岡聯(lián)考)已知方程y2＝4x表示拋物線，且該拋物線的焦點(diǎn)到直線x＝m的距離為4，則m的值為(　　) A.5 B.－3或5 C.－2或6 D.6 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，它與直線x＝m的距離為d＝|

5、m－1|＝4，∴m＝－3或5，故選B. 答案　B 4.(選修1－1P64A4(2)改編)已知拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)，則該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______. 解析　很明顯點(diǎn)P在第三象限，所以拋物線的焦點(diǎn)可能在x軸負(fù)半軸上或y軸負(fù)半軸上. 當(dāng)焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為y2＝－2px(p＞0)，把點(diǎn)P(－2，－4)的坐標(biāo)代入得(－4)2＝－2p×(－2)， 解得p＝4，此時(shí)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x； 當(dāng)焦點(diǎn)在y軸負(fù)半軸上時(shí)，設(shè)方程為x2＝－2py(p＞0)，把點(diǎn)P(－2，－4)的坐標(biāo)代入得(－2)2＝－2p×(－4)，解得p＝，此時(shí)拋物

6、線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－y. 綜上可知，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－8x或x2＝－y. 答案　y2＝－8x或x2＝－y 5.已知拋物線方程為y2＝8x，若過(guò)點(diǎn)Q(－2，0)的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是________. 解析　設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，當(dāng)k＝0時(shí)，顯然滿足題意；當(dāng)k≠0時(shí)，Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k＜0或0＜k≤1，因此k的取值范圍是[－1，1]. 答案　[－1，1] 考點(diǎn)一　拋物線的定義及應(yīng)用 【例1】 (1)已知F是

7、拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A，B是該拋物線上的兩點(diǎn)，|AF|＋|BF|＝3，則線段AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為(　　) A. B.1 C. D. (2)若拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)是F，點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又有點(diǎn)A(3，2)，則|PA|＋|PF|取最小值時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_______. 解析　(1)因?yàn)閽佄锞€y2＝x的準(zhǔn)線方程為x＝－. 如圖所示，過(guò)點(diǎn)A，B，D分別作直線x＝－的垂線，垂足分別為G，E，M，因?yàn)閨AF|＋|BF|＝3，根據(jù)拋物線的定義，|AG|＝|AF|，|BE|＝|BF|，所以|AG|＋|BE|＝3，所以|MD|＝＝，即線段AB的中點(diǎn)D到y(tǒng)軸的距離為－＝. (2

8、)將x＝3代入拋物線方程 y2＝2x，得y＝±. ∵>2，∴A在拋物線內(nèi)部，如圖. 設(shè)拋物線上點(diǎn)P到準(zhǔn)線l：x＝－的距離為d，由定義知|PA|＋|PF|＝|PA|＋d，當(dāng)PA⊥l時(shí)，|PA|＋d最小，最小值為，此時(shí)P點(diǎn)縱坐標(biāo)為2，代入y2＝2x，得x＝2，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2，2). 答案　(1)C　(2)(2，2) 規(guī)律方法　應(yīng)用拋物線定義的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn) (1)由拋物線定義，把拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)距離與到準(zhǔn)線距離相互轉(zhuǎn)化. (2)注意靈活運(yùn)用拋物線上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)F的距離|PF|＝|x0|＋或|PF|＝|y0|＋. 【訓(xùn)練1】 (1)動(dòng)圓過(guò)點(diǎn)(1，0)，且與直線x＝－1相

9、切，則動(dòng)圓的圓心的軌跡方程為_(kāi)_________. (2)(2017·全國(guó)Ⅱ卷)已知F是拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)，M是C上一點(diǎn)，F(xiàn)M的延長(zhǎng)線交y軸于點(diǎn)N.若M為FN的中點(diǎn)，則|FN|＝________. 解析　(1)設(shè)動(dòng)圓的圓心坐標(biāo)為(x，y)，則圓心到點(diǎn)(1，0)的距離與到直線x＝－1的距離相等，根據(jù)拋物線的定義易知?jiǎng)訄A的圓心的軌跡方程為y2＝4x. (2)如圖，不妨設(shè)點(diǎn)M位于第一象限內(nèi)，拋物線C的準(zhǔn)線交x軸于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)P， ∴PM∥OF. 由題意知，F(xiàn)(2，0)，|FO|＝|AO|＝2. ∵點(diǎn)M為FN的中點(diǎn)，PM∥OF， ∴|MP|＝|

10、FO|＝1.又|BP|＝|AO|＝2， ∴|MB|＝|MP|＋|BP|＝3. 由拋物線的定義知|MF|＝|MB|＝3，故|FN|＝2|MF|＝6. 答案　(1)y2＝4x　(2)6 考點(diǎn)二　拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì) 【例2】 (1)已知雙曲線C1：－＝1(a>0，b>0)的離心率為2.若拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，則拋物線C2的方程為(　　) A.x2＝y(tǒng) B.x2＝y(tǒng) C.x2＝8y D.x2＝16y (2)(2016·全國(guó)Ⅰ卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn).已知|AB|＝4，|DE

11、|＝2，則C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為(　　) A.2 B.4 C.6 D.8 解析　(1)∵－＝1(a＞0，b＞0)的離心率為2， ∴＝2，即＝＝4，∴＝.x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，－＝1(a＞0，b＞0)的漸近線方程為y＝±x，即y＝±x.由題意得＝2，解得p＝8.故C2的方程為x2＝16y. (2)不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，圓的方程為x2＋y2＝r2(r>0)， ∵|AB|＝4，|DE|＝2， 拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝－， ∴不妨設(shè)A，D， ∵點(diǎn)A，D在圓x2＋y2＝r2上， ∴＋8＝＋5，解得p＝4(負(fù)值舍去)， 故C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

12、4. 答案　(1)D　(2)B 規(guī)律方法　1.求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 2.在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此. 【訓(xùn)練2】 (1)如圖，過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于點(diǎn)A，B，交其準(zhǔn)線l于點(diǎn)C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為_(kāi)_______. (2)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A，B兩

13、點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn).若|AF|＝3，則△AOB的面積為_(kāi)_______. 解析　(1)設(shè)A，B在準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1， 由于|BC|＝2|BF|＝2|BB1|，則直線的斜率為， 故|AC|＝2|AA1|＝6，從而|BF|＝1，|AB|＝4， 故＝＝，即p＝，從而拋物線的方程為y2＝3x. (2)如圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，又|AF|＝3，由拋物線定義知，點(diǎn)A到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3，所以點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為2，將x＝2代入y2＝4x得y2＝8，由圖知點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為y＝2，所以A(2，2)，所以直線AF的方程為y＝2(x－1)， 聯(lián)立直線與拋物線的方程 解得或

14、由圖知B， 所以S△AOB＝×1×|yA－yB|＝. 答案　(1)y2＝3x　(2) 考點(diǎn)三　直線與拋物線的位置關(guān)系(多維探究) 命題角度1　直線與拋物線的公共點(diǎn)(交點(diǎn))問(wèn)題 【例3－1】 (2016·全國(guó)Ⅰ卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l：y＝t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M，交拋物線C：y2＝2px(p>0)于點(diǎn)P，M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N，連接ON并延長(zhǎng)交C于點(diǎn)H. (1)求； (2)除H以外，直線MH與C是否有其它公共點(diǎn)？說(shuō)明理由. 解　(1)如圖，由已知得M(0，t)，P， 又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)，故N， 故直線ON的方程為y＝x， 將其代入y2＝2px整理得px2－2

15、t2x＝0， 解得x1＝0，x2＝，因此H. 所以N為OH的中點(diǎn)，即＝2. (2)直線MH與C除H以外沒(méi)有其它公共點(diǎn)，理由如下： 直線MH的方程為y－t＝x，即x＝(y－t). 代入y2＝2px得y2－4ty＋4t2＝0， 解得y1＝y(tǒng)2＝2t， 即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn)， 所以除H以外，直線MH與C沒(méi)有其它公共點(diǎn). 命題角度2　與拋物線弦長(zhǎng)(中點(diǎn))有關(guān)的問(wèn)題 【例3－2】 (2017·北京卷)已知拋物線C：y2＝2px過(guò)點(diǎn)P(1，1)，過(guò)點(diǎn)作直線l與拋物線C交于不同的兩點(diǎn)M，N，過(guò)點(diǎn)M作x軸的垂線分別與直線OP，ON交于點(diǎn)A，B，其中O為原點(diǎn). (1)求拋物線C的方

16、程，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程； (2)求證：A為線段BM的中點(diǎn). (1)解　把P(1，1)代入y2＝2px，得p＝， 所以拋物線C的方程為y2＝x， 焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為x＝－. (2)證明　當(dāng)直線MN斜率不存在或斜率為零時(shí)，顯然與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)不滿足題意，所以直線MN(也就是直線l)斜率存在且不為零. 由題意，設(shè)直線l的方程為y＝kx＋(k≠0)，l與拋物線C的交點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2). 由消去y得4k2x2＋(4k－4)x＋1＝0. 考慮Δ＝(4k－4)2－4×4k2＝16(1－2k)， 由題可知有兩交點(diǎn)，所以判別式大于零，所以k<. 則x1＋x2

17、＝，x1x2＝. 因?yàn)辄c(diǎn)P的坐標(biāo)為(1，1)，所以直線OP的方程為y＝x，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x1，x1). 直線ON的方程為y＝x，點(diǎn)B的坐標(biāo)為. 因?yàn)閥1＋－2x1＝ ＝ ＝ ＝＝0. 所以y1＋＝2x1. 故A為線段BM的中點(diǎn). 規(guī)律方法　1.直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系. 2.有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn).若過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不過(guò)焦點(diǎn)，則必須用一般弦長(zhǎng)公式. 3.涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求”、“整體

18、代入”等解法. 提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法”求解. 【訓(xùn)練3】 (2017·全國(guó)Ⅰ卷)已知F為拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，過(guò)F作兩條互相垂直的直線l1，l2，直線l1與C交于A，B兩點(diǎn)，直線l2與C交于D，E兩點(diǎn)，則|AB|＋|DE|的最小值為(　　) A.16 B.14 C.12 D.10 解析　拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，由題意可知l1，l2的斜率存在且不為0.不妨設(shè)直線l1的斜率為k，則l2直線的斜率為－，故l1：y＝k(x－1)，l2：y＝－(x－1).由消去y得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2

19、)，∴x1＋x2＝＝2＋， 由拋物線定義可知，|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋. 同理得|DE|＝4＋4k2， ∴|AB|＋|DE|＝8＋4k2＋≥8＋2＝16. 當(dāng)且僅當(dāng)＝k2，即k＝±1時(shí)取等號(hào). 故|AB|＋|DE|的最小值為16. 答案　A 基礎(chǔ)鞏固題組 (建議用時(shí)：40分鐘) 一、選擇題 1.(2018·太原月考)若拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0，1)，則a等于(　　) A.1 B. C.2 D. 解析　因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝y(tǒng)， 所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為， 則有＝1，解得a＝. 答案　D 2.(2016·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)F為拋物線C：y2＝

20、4x的焦點(diǎn)，曲線y＝(k>0)與C交于點(diǎn)P，PF⊥x軸，則k＝(　　) A. B.1 C. D.2 解析　由題可知拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1，0)，由PF⊥x軸知，|PF|＝2，所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(1，2)，代入曲線y＝(k>0)得k＝2. 答案　D 3.(2018·張掖診斷)過(guò)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線l交拋物線于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點(diǎn)，如果x1＋x2＝6，則|PQ|＝(　　) A.9 B.8 C.7 D.6 解析　拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1.根據(jù)題意可得，|PQ|＝|PF|＋|QF|＝x1＋1＋x2＋1＝x1＋x

21、2＋2＝8. 答案　B 4.(2018·莆田質(zhì)檢)設(shè)拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)A為C上一點(diǎn)，若|FA|＝3，則直線FA的傾斜角為(　　) A. B. C.或 D.或 解析　如圖，作AH⊥l于H，則|AH|＝|FA|＝3，作FE⊥AH于E，則|AE|＝3－＝，在Rt△AEF中，cos∠EAF＝＝， ∴∠EAF＝，即直線FA的傾斜角為，同理點(diǎn)A在x軸下方時(shí)，直線FA的傾斜角為. 答案　C 5.(2018·衡水調(diào)研)已知拋物線y2＝4x，過(guò)點(diǎn)P(4，0)的直線與拋物線相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y＋y的最小值為(　　) A.12 B.24

22、 C.16 D.32 解析　當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，其方程為x＝4，由得y1＝－4，y2＝4，∴y＋y＝32.當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y＝k(x－4)，由得ky2－4y－16k＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝－16，∴y＋y＝(y1＋y2)2－2y1y2＝＋32＞32，綜上可知，y＋y≥32.∴y＋y的最小值為32. 答案　D 二、填空題 6.(2018·廣東省際名校聯(lián)考)圓(x＋1)2＋y2＝1的圓心是拋物線y2＝px(p<0)的焦點(diǎn)，則p＝________. 解析　由題意知圓心為(－1，0)，則＝－1，解得p＝－4. 答案?。? 7.(2018·黃山模擬)已知拋物線

23、C：y2＝8x，焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(0，4)，點(diǎn)A在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)A到拋物線準(zhǔn)線l的距離與點(diǎn)A到點(diǎn)P的距離之和最小時(shí)，延長(zhǎng)AF交拋物線于點(diǎn)B，則△AOB的面積為_(kāi)_______. 解析　F(2，0)，設(shè)A在拋物線準(zhǔn)線上的投影為A′， 由拋物線的定義知，|AA′|＝|AF|， 則點(diǎn)A到點(diǎn)P(0，4)的距離與A到該拋物線準(zhǔn)線的距離之和d＝|AP|＋|AF|≥|PF|＝2，當(dāng)F，A，P三點(diǎn)共線時(shí)d取得最小值，此時(shí)直線AB的斜率為－2，方程為y＝－2(x－2)，即x＝－＋2， 代入拋物線C：y2＝8x，可得y2＋4y－16＝0， 解得y＝－2－2或－2＋2. ∴△AOB的面積為×2×|(－2－

24、2)－(－2＋2)|＝4. 答案　4 8.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米.水位下降1米后，水面寬________米. 解析　建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物方程為x2＝－2py(p＞0). 由題意將點(diǎn)A(2，－2)代入x2＝－2py，得p＝1，故x2＝－2y.設(shè)B(x，－3)，代入x2＝－2y中，得x＝，故水面寬為2米. 答案　2 三、解答題 9.已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線C與直線l1：y＝－x的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為8. (1)求拋物線C的方程； (2)不過(guò)原點(diǎn)的直線l2與l1垂直，且與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，若線

25、段AB的中點(diǎn)為P，且|OP|＝|PB|，求△FAB的面積. 解　(1)易知直線與拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為(8，－8)， ∴(－8)2＝2p×8，∴2p＝8，∴拋物線方程為y2＝8x. (2)直線l2與l1垂直，故可設(shè)直線l2：x＝y(tǒng)＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直線l2與x軸的交點(diǎn)為M. 由得y2－8y－8m＝0， Δ＝64＋32m>0，∴m>－2. y1＋y2＝8，y1y2＝－8m， ∴x1x2＝＝m2. 由題意可知OA⊥OB，即x1x2＋y1y2＝m2－8m＝0， ∴m＝8或m＝0(舍)，∴直線l2：x＝y(tǒng)＋8，M(8，0). 故S△FAB＝S△FMB＋S△FM

26、A＝·|FM|·|y1－y2| ＝3＝24. 10.(2017·全國(guó)Ⅰ卷)設(shè)A，B為曲線C：y＝上兩點(diǎn)，A與B的橫坐標(biāo)之和為4. (1)求直線AB的斜率； (2)設(shè)M為曲線C上一點(diǎn)，C在M處的切線與直線AB平行，且AM⊥BM，求直線AB的方程. 解　(1)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則x1≠x2，y1＝，y2＝，x1＋x2＝4. 于是直線AB的斜率k＝＝＝1. (2)由y＝，得y′＝. 設(shè)M(x3，y3)，由題設(shè)知＝1，解得x3＝2，于是M(2，1). 設(shè)直線AB的方程為y＝x＋m， 故線段AB的中點(diǎn)為N(2，2＋m)，|MN|＝|m＋1|. 將y＝x＋m代

27、入y＝得x2－4x－4m＝0. 當(dāng)Δ＝16(m＋1)>0，即m>－1時(shí)，x1，2＝2±2. 從而|AB|＝|x1－x2|＝4. 由題設(shè)知|AB|＝2|MN|，即4＝2(m＋1)， 解得m＝7.所以直線AB的方程為x－y＋7＝0. 能力提升題組 (建議用時(shí)：20分鐘) 11.(2018·南昌模擬)已知拋物線C1：y＝x2(p>0)的焦點(diǎn)與雙曲線C2：－y2＝1的右焦點(diǎn)的連線交C1于點(diǎn)M(M在第一象限)，若C1在點(diǎn)M處的切線平行于C2的一條漸近線，則p＝(　　) A. B. C. D. 解析　由拋物線C1：y＝x2(p>0)得x2＝2py(p>0)， 所以拋物線的焦

28、點(diǎn)坐標(biāo)為. 由－y2＝1得a＝，b＝1，c＝2. 所以雙曲線的右焦點(diǎn)為(2，0). 則拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的右焦點(diǎn)的連線所在直線方程為＝.即px＋4y－2p＝0.① 設(shè)M(x0>0)，則C1在點(diǎn)M處的切線的斜率為. 由題意可知＝，解得x0＝p，所以M， 把M點(diǎn)的坐標(biāo)代入①得＋p－2p＝0. 解得p＝. 答案　D 12.已知拋物線方程為y2＝－4x，直線l的方程為2x＋y－4＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)A，點(diǎn)A到y(tǒng)軸的距離為m，到直線l的距離為n，則m＋n的最小值為_(kāi)_______. 解析　如圖，過(guò)A作AH⊥l，AN垂直于拋物線的準(zhǔn)線，則|AH|＋|AN|＝m＋n＋1，連接AF，

29、則|AF|＋|AH|＝m＋n＋1，由平面幾何知識(shí)，知當(dāng)A，F(xiàn)，H三點(diǎn)共線時(shí)，|AF|＋|AH|＝m＋n＋1取得最小值，最小值為F到直線l的距離，即＝，即m＋n的最小值為－1. 答案?。? 13.已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝； (2)＋為定值； (3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 證明　(1)由已知得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為. 由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋，代入y2＝2px， 得y2＝2p，即y2－2pmy－p2＝0.(*) 則y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根， 所以y1y2＝－p2. 因?yàn)閥＝2px1，y＝2px2，所以yy＝4p2x1x2， 所以x1x2＝＝＝. (2)＋＝＋ ＝. 因?yàn)閤1x2＝，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式， 得＋＝＝(定值). (3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N， 則|MN|＝(|AC|＋|BD|)＝(|AF|＋|BF|)＝|AB|. 所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切. 14