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1、2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì)
項(xiàng)目
內(nèi)容
課題
2.3.3 直線與平面垂直的性質(zhì)
（1課時(shí)）
修改與創(chuàng)新
教學(xué)
目標(biāo)
1.探究直線與平面垂直的性質(zhì)定理，培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力、實(shí)事求是等嚴(yán)肅的科學(xué)態(tài)度和品質(zhì).
2.掌握直線與平面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用提高邏輯推理的能力.
教學(xué)重、
難點(diǎn)
直線與平面垂直的性質(zhì)定理及其應(yīng)用.
教學(xué)
準(zhǔn)備
多媒體課件
教學(xué)過程
復(fù)習(xí)
直線與平面垂直的定義：一條直線和平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，我們說這條直線和這個(gè)平面互相垂直，直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂
2、面.直線和平面垂直的畫法及表示如下：
圖1
如圖1，表示方法為：a⊥α.
由直線與平面垂直的定義不難得出：b⊥a.
導(dǎo)入新課
如圖2，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？
圖2
提出問題
①回憶空間兩直線平行的定義.
②判斷同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系？
③找出恰當(dāng)空間模型探究同垂直于一個(gè)平面的兩條直線的位置關(guān)系.
④用三種語言描述直線與平面垂直的性質(zhì)定理.
⑤如何理解直線與平面垂直的性質(zhì)定理的地位與作用？
討論結(jié)果：①如果兩條直線沒有公共點(diǎn)，我們說這兩條直線平
3、行.它的定義是以否定形式給出的，其證明方法多用反證法.
②如圖3，同垂直于一條直線的兩條直線的位置關(guān)系可能是：相交、平行、異面.
圖3
③如圖4，長方體ABCD—A′B′C′D′中，棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直于所在的平面ABCD，它們之間具有什么位置關(guān)系？
圖4 圖5
棱AA′、BB′、CC′、DD′所在直線都垂直所在的平面ABCD，它們之間互相平行.
④直線和平面垂直的性質(zhì)定理用文字語言表示為：
垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行，也可簡記為線面垂直、線線平行.
直線和平面垂直的性質(zhì)定理用符號(hào)語言表示為：b∥a
4、.
直線和平面垂直的性質(zhì)定理用圖形語言表示為：如圖5.
⑤直線與平面垂直的性質(zhì)定理不僅揭示了線面之間的關(guān)系，而且揭示了平行與垂直之間的內(nèi)在聯(lián)系.
應(yīng)用示例
例1 證明垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行.
解:已知a⊥α,b⊥α.
求證：a∥b.
圖6
證明：（反證法）如圖6，假定a與b不平行，且b∩α=O,作直線b′，使O∈b′,a∥b′.
直線b′與直線b確定平面β，設(shè)α∩β=c,則O∈c.
∵a⊥α,b⊥α,∴a⊥c,b⊥c.
∵b′∥a,∴b′⊥c.又∵O∈b,O∈b′,bβ,b′β,
a∥b′顯然不可能，因此b∥a.
例2 如圖7，已知α∩β=l,EA⊥α
5、于點(diǎn)A,EB⊥β于點(diǎn)B,aα,a⊥AB.
求證:a∥l.
圖7
證明：l⊥平面EAB.
又∵aα,EA⊥α,∴a⊥EA.
又∵a⊥AB,∴a⊥平面EAB.
∴a∥l.
例2 如圖8,已知直線a⊥b，b⊥α，aα.
求證：a∥α.
圖8
證明：在直線a上取一點(diǎn)A，過A作b′∥b，則b′必與α相交，設(shè)交點(diǎn)為B，過相交直線a、b′作平面β，設(shè)α∩β=a′,
∵b′∥b，a⊥b,∴a⊥b′.∵b⊥α，b′∥b,
∴b′⊥α.
又∵a′α,∴b′⊥a′.
由a，b′，a′都在平面β內(nèi)，且b′⊥a，b′⊥a′知a∥a′.∴a∥α.
例3 如圖9，已知PA⊥矩形AB
6、CD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).
（1）求證：MN⊥CD；
（2）若∠PDA=45°，求證:MN⊥面PCD.
圖9
證明：(1)取PD中點(diǎn)E,又N為PC中點(diǎn),連接NE,則NE∥CD,NE=CD.
又∵AM∥CD,AM=CD,
∴AMNE.
∴四邊形AMNE為平行四邊形.
∴MN∥AE.
∵CD⊥AE.
(2)當(dāng)∠PDA=45°時(shí),Rt△PAD為等腰直角三角形,
則AE⊥PD.又MN∥AE,
∴MN⊥PD,PD∩CD=D.
∴MN⊥平面PCD.
變式訓(xùn)練
已知a、b、c是平面α內(nèi)相交于一點(diǎn)O的三條直線，而直線l和平面α相交，并且和a、b、c三
7、條直線成等角.求證：l⊥α.
證明：分別在a、b、c上取點(diǎn)A、B、C并使AO=BO=CO.設(shè)l經(jīng)過O，在l上取一點(diǎn)P，在△POA、△POB、△POC中，
∵PO=PO=PO，AO=BO=CO，∠POA=∠POB=∠POC，
∴△POA≌△POB≌△POC.
∴PA=PB=PC.取AB的中點(diǎn)D,
連接OD、PD，則OD⊥AB，PD⊥AB.
∵PD∩OD=D,∴AB⊥平面POD.
∵PO平面POD,∴PO⊥AB.
同理,可證PO⊥BC.
∵ABα，BCα，AB∩BC=B,∴PO⊥α，即l⊥α.
若l不經(jīng)過點(diǎn)O時(shí)，可經(jīng)過點(diǎn)O作l′∥l.用上述方法證明l′⊥α，
∴l(xiāng)⊥α.
課堂小結(jié)
知識(shí)總結(jié)：利用線面垂直的性質(zhì)定理將線面垂直問題轉(zhuǎn)化為線線平行，然后解決證明垂直問題、平行問題、求角問題、求距離問題等.
思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題.
作業(yè)
課本習(xí)題2.3 B 組1、2.
板書設(shè)計(jì)
教學(xué)反思
2022年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì)
