2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理（含解析）

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1、2022年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期第四次月考試題 理（含解析） 【試卷綜述】本試卷試題主要注重基本知識、基本能力、基本方法等當(dāng)面的考察，覆蓋面廣，注重數(shù)學(xué)思想方法的簡單應(yīng)用，試題有新意，符合課改和教改方向，能有效地測評學(xué)生，有利于學(xué)生自我評價，有利于指導(dǎo)學(xué)生的學(xué)習(xí)，既重視雙基能力培養(yǎng)，側(cè)重學(xué)生自主探究能力，分析問題和解決問題的能力，突出應(yīng)用，同時對觀察與猜想、閱讀與思考等方面的考查。 【題文】一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的. 【題文】1．若復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在（ ） A．第一象限 B．第

2、二象限 C．第三象限 D．第四象限 【知識點】復(fù)數(shù)的基本概念．L4 【答案】【解析】A 解析：由，得． ∴在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，是第一象限的點．故選：A． 【思路點撥】由復(fù)數(shù)的除法運算化簡復(fù)數(shù)，得到對應(yīng)點的坐標得答案． 【題文】2. 命題“和為偶數(shù)的兩個整數(shù)都為偶數(shù)”的否定是 （ ） A．和不為偶數(shù)的兩個整數(shù)都為偶數(shù) B．和為偶數(shù)的兩個整數(shù)都不為偶數(shù) C．和不為偶數(shù)的兩個整數(shù)不都為偶數(shù) D．和為偶數(shù)的兩個整數(shù)不都為偶數(shù) 【知識點】命題的否定．A2 【答案】【解析】D 解析：命題“和為偶數(shù)的兩個整數(shù)都為偶數(shù)”的否定是：和為偶數(shù)的

3、兩個整數(shù)不都為偶數(shù)．故選：D． 【思路點撥】直接利用命題的否定寫出結(jié)果即可． 【題文】3．已知集合，，則 （ ） A． B． C． D． 【知識點】交、并、補集的混合運算；其他不等式的解法．A1 【答案】【解析】B 解析：={x|（x+3）（x﹣1）＜0}={x|﹣3＜x＜1}， ={x|﹣3＜x＜1}∪{x|x≤﹣3}={x|x＜1}，∴{x|x≥1}．故選B． 【思路點撥】先利用分式不等式解法化簡，再進行計算，得出結(jié)果． 【題文】4.“”是“函數(shù)的最小正周期為”的（ ） A．充分不必要條件

4、B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件 【知識點】三角函數(shù)的周期性及其求法；必要條件、充分條件與充要條件的判斷．A2 C3 【答案】【解析】A 解析：函數(shù)，它的周期是，;顯然“”可得“函數(shù)的最小正周期為” 后者推不出前者，故選A． 【思路點撥】化簡，利用最小正周期為，求出，即可判斷選項． 【題文】5．由直線與曲線所圍成的封閉圖形的面積為（ ） A． B． C． D． 【知識點】定積分在求面積中的應(yīng)用．B13 【答案】【解析】D 解析：作出對應(yīng)的圖

5、象如圖： 則對應(yīng)的區(qū)域面積，故選：D 【思路點撥】先根據(jù)題意畫出直線及所圍成的封閉圖形，然后利用定積分表示區(qū)域面積，最后轉(zhuǎn)化成等價形式． 【題文】6．函數(shù)的圖像大致為（ ） 【知識點】函數(shù)的圖象．B8 【答案】【解析】B 解析：因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱，所以排除A． 當(dāng)x=1時，y＞0，所以排除C． 因為，所以當(dāng)x→+∞時，y→1，所以排除D． 故選B． 【思路點撥】利用函數(shù)的奇偶性，對稱性和特殊點的特殊值分別進行判斷即可． 【題文】7. 在中，是邊上的一點，． 若記，則用表示所得的結(jié)果為 （ ） A．

6、 B． C． D． 【知識點】平面向量的基本定理及其意義．F2 【答案】【解析】C 解析：如圖，B，D，C三點共線，存在μ，使； ∴；∴； 又；∴；∴； ∴；∴． 故選C． 【思路點撥】B，D，C三點共線，所以根據(jù)已知條件對于，能夠得到，所以得到，所以． 【題文】8．以表示等差數(shù)列的前項的和，若，則下列不等關(guān)系不一定成立的是（ ） A． B． C

7、． D． 【知識點】等差數(shù)列的性質(zhì)．D2 【答案】【解析】B 解析：∵表示等差數(shù)列的前項的和，， ∴S6﹣S5=a6＜0，則有可能成立，即A有可能成立； ∵5a5﹣（a1+6a6）=5（a1+4d）﹣[a1+6（a1+5d）]=﹣2a1﹣10d=﹣2a6＜0， ∴不成立，即B不成立； ∵a5＞0，a4＞0，a3＞0，∴有可能成立，即C是有可能成立； ∵a3+a6+a12﹣2a7=（3a1+18d）﹣（2a1+12d）=a1+6d=a7＜0，∴，故D成立．故選：B． 【思路點撥】a5＞0，a6＜0，這個數(shù)列是遞減數(shù)列，公差d＜0．由此入手對各個選項逐個進行分

8、析，能求出結(jié)果． 【題文】9． 已知二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，，對于任意的實數(shù)都有，則的最小值為（ ） A． B． C． D． 【知識點】導(dǎo)數(shù)的運算．B11 【答案】【解析】B 解析：∵f'（x）=2ax+b，∴f'（0）=b＞0； ∵對于任意實數(shù)x都有，∴a＞0且b2﹣4ac≤0， ∴b2≤4ac，∴c＞0； ∴， 當(dāng)a=c時取等號．故選C． 【思路點撥】先求導(dǎo)，由f′（0）＞0可得b＞0，因為對于任意實數(shù)x都有，所以結(jié)合二次函數(shù)的圖象可得a＞0且b2﹣4ac≤0，又因為，利用均值不等式即可求解． 【題文】10．已知函數(shù)，則關(guān)于的方程（）的根的

9、個數(shù)不可能為（ ） A． B． C． D． 【知識點】函數(shù)與方程的綜合運用．B9 【答案】【解析】A 解析：畫圖，和y=2x2+x圖象， 結(jié)合兩個函數(shù)的圖象可知或a＞3，4個根， ，5個根，，6個根．故選A． 【思路點撥】先畫出y=f（x）與y=2x2+x的圖象，結(jié)合兩個函數(shù)圖象，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想討論f（2x2+x）=a（a＞2）根可能的根數(shù)即可． 【題文】二.填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分．請把正確答案填在答題卡的相應(yīng)位置． 【題文】11.在極坐標系中，點到直線的距離為

10、 ． 【知識點】簡單曲線的極坐標方程．N3 【答案】【解析】 解析：點P化為直角坐標P（0，1）． 直線化為2x﹣y+2=0． ∴點P到直線的距離d==．故答案為：． 【思路點撥】點P化為直角坐標P（0，1）．直線化為2x﹣y+2=0．再利用點到直線的距離公式即可得出． 【題文】12.已知平面向量滿足：，且，則向量與的夾角為 ． 【知識點】數(shù)量積表示兩個向量的夾角．F3 【答案】【解析】 解析：將兩邊平方，得，化簡整理得, 因為， 由向量的夾角公式，所以向量與的夾角為. 故答案為：. 【思路點撥】將兩邊平方，整理得出

11、，再根據(jù)，求出夾角余弦值，最后求出夾角大?。? 【題文】13.在數(shù)列中，若，且、、、成公比為的等比數(shù)列，、、成公差為的等差數(shù)列，則的最小值是 ． 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．D5 【答案】【解析】 解析：∵； 、、成公差為1的等差數(shù)列，∴a6=a2+2≥3，∴a6的最小值為3，∴a7的最小值也為3， 此時a1=1，且、、、成公比為的等比數(shù)列，必有q＞0， ∴a7=a1q3≥3，∴q3≥3，q≥，故答案為。 【思路點撥】利用等差數(shù)列的通項公式將a6用a2表示，求出a6的最小值進一步求出a7的最小值，利用等比數(shù)列的通項求出公比的范圍． 【題文】1

12、4.把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵谋叮v坐標不變），得到圖象的函數(shù)表達式為 ． 【知識點】函數(shù)的圖象變換．C4 【答案】【解析】 解析：把函數(shù)的圖象上所有的點向左平移個單位長度，可得y=sin（x+）的圖象； 再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得y=sin（x+）的圖象； 故得到的圖象所表示的函數(shù)解析式為， 故答案為：． 【思路點撥】由條件根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論． 【題文】15.定義全集的子集的特征函數(shù)為，這里表示集合在全集中的補集．已知，給

13、出以下結(jié)論： ①若,則對于任意，都有≤； ②對于任意，都有； ③對于任意，都有； ④對于任意，都有． 其中正確的結(jié)論有 ．（寫出全部正確結(jié)論的序號） 【知識點】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．A1 【答案】【解析】①②③ 解析：∵，fB（x）=， 而CUA中可能有B的元素，但CUB中不可能有A的元素 ∴≤，即對于任意x∈U，都有fA（x）≤fB（x）故①正確； 對于B，∵， 結(jié)合fA（x）的表達式，可得f?UA（x）=1﹣fA（x），故②正確； 對于C，fA∩B（x）==?=fA（x）?fB（x）， 故③正確； 對于D，fA∪B（x）=

14、 當(dāng)某個元素x在A中但不在B中，由于它在A∪B中，故fA∪B（x）=1， 而fA（x）=1且fB（x）=0，可得fA∪B（x）≠fA（x）?fB（x） 由此可得④不正確． 故答案為：①②③． 【思路點撥】根據(jù)題中特征函數(shù)的定義，利用集合的交集、并集和補集運算法則，對①②③④各項中的運算加以驗證，可得①②③都可以證明它們的正確性，而D項可通過反例說明它不正確．由此得到本題答案． 【題文】三．解答題：（本大題共6小題，共75分） 【題文】16．（本小題滿分12分） 已知函數(shù)，點、分別是函數(shù)圖像上的最高點和最低點． （1）求點、的坐標以及的值； （2）設(shè)點、分別在角、（）的終邊上

15、，求的值． 【知識點】函數(shù)的圖象變換；平面向量數(shù)量積的運算．C4 F3 【答案】【解析】（1）-2；（2） 解析：（1）∵，∴， ∴． 當(dāng)，即時，f（x）取得最大值1， 當(dāng)，即時，f（x）取得最小值﹣2． 因此，所求的坐標為A（0，1），B（4，﹣2）． 則,． ∴. （2）∵點A（0，1）、B（4，﹣2）分別在角α、β（α、β∈[0，2π]）的終邊上， 則， ，， 則sin2β=2sinβcosβ=， cos2β=2cos2β﹣1=． ∴ ． 【思路點撥】（1）由x的范圍求出的范圍，得到f（x）的最大值和最小值，從而求出A，B的坐標，則的值可求；（2）由點A、

16、B分別在角α、β（α、β∈[0，2π]）的終邊上求出角α的值和角β的正余弦值，由倍角公式求得2β的正余弦值，展開兩角差的正弦公式求得的值． 【題文】17．（本小題滿分12分） 在中, ，,，為內(nèi)一點,. (1)若,求； (2)若,求的面積. 【知識點】余弦定理的應(yīng)用；正弦定理的應(yīng)用．C8 【答案】【解析】(1) ; (2) . 解析：（1）∵在中, ，,， ∴sin∠PBC ，可得∠PBC=60°，BP=BCcos60°=． ∵∠PBA=90°﹣∠PBC=30°， ∴△APB中，由余弦定理PA2=PB2+AB2﹣2PB?AB?cos∠PBA， 得PA2= ， 解得

17、（舍負）． （2）設(shè)∠PBA=α，可得∠PBC=90°﹣α，∠PAB=180°﹣∠PBA﹣∠APB=30°﹣α， 在Rt△BPC中，PB=BCcos∠PBC=cos（90°﹣α）=sinα， △ABP中，由正弦定理得， ∴sinα=2sin（30°﹣α）=2（cosα﹣sinα）， 化簡得4sinα=cosα， ∴結(jié)合α是銳角，解得sinα=， ∴PB=sinα=， ∴△ABP的面積S=AB?PB?sin∠PBA=． 【思路點撥】（1）在Rt△BPC中利用三角函數(shù)的定義，算出sin∠PBC=，可得∠PBC=60°，從而BP=BCcos60°=．然后在△APB中算出∠PBA=3

18、0°，利用余弦定理即可算出PA的大?。?）設(shè)∠PBA=α，從而算出PB=sinα，∠PAB=30°﹣α．在△APB中根據(jù)正弦定理建立關(guān)于α的等式，解出sinα的值，得到PB長．再利用三角形面積公式加以計算，即可得出△ABP的面積S． 【題文】18．（本小題滿分12分） 設(shè)公差不為的等差數(shù)列的首項為，且、、構(gòu)成等比數(shù)列． （1）求數(shù)列的通項公式； （2）若數(shù)列滿足，，求的前項和． 【知識點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合；數(shù)列的求和．D4 D5 【答案】【解析】(1) an＝2n－1； (2) Tn＝3－． 解析：(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d（d≠0），則 ∵a2，a5，a

19、14構(gòu)成等比數(shù)列， ∴a＝a2a14， 即(1＋4d)2＝(1＋d)(1＋13d)， 解得d＝0（舍去），或d＝2． ∴an＝1＋(n－1)×2＝2n－1．………………………………………4分 (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當(dāng)n＝1時，＝； 當(dāng)n≥2時，＝1－－(1－)＝． ∴＝，n∈N*． 由（Ⅰ），知an＝2n－1，n∈N*， ∴bn＝，n∈N*． 又Tn＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋． 兩式相減，得 Tn＝＋(＋＋…＋)－＝－－， ∴Tn＝3－．……………………………………………………………12分 【思路點撥】(1) 設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d

20、（d≠0），由a2，a5，a14構(gòu)成等比數(shù)列得關(guān)于d的方程，解出d后利用等差數(shù)列的通項公式可得an； (2) 由條件可知，n≥2時，＝1－－(1－)＝，再由（Ⅰ）可求得bn，注意驗證n=1的情形，利用錯位相減法可求得Tn. 【題文】19．（本小題滿分12分） 對于定義域為上的函數(shù)，如果同時滿足下列三條：①對任意的 ， 總有≥；②；③若≥，≥，≤，都有 ≥成立，則稱函數(shù)為理想函數(shù)． (1) 若函數(shù)為理想函數(shù)，求的值； (2) 判斷函數(shù)（）是否為理想函數(shù)，并給出證明； (3) 若函數(shù)為理想函數(shù)，假定存在，使得， 且，求證：． 【知識點】函數(shù)的值；抽象函數(shù)及其應(yīng)用．B1 B14

21、【答案】【解析】(1) ； (2) 見解析；(3)見解析. 解析：（1）取得≥，則≤， 又≥，故； （2）當(dāng)時，函數(shù)≥，滿足條件①；又滿足條件②； 若≥，≥，≤， 則≥，滿足條件③，故函數(shù)是理想函數(shù)． （3）由條件③，任給，當(dāng)時，，且≥≥． 若，則≤，矛盾． 若，則≥，矛盾． 故． 【思路點撥】（1）取可得≥?≤，由此可求出f（0）的值．（2）在滿足條件①≥，也滿足條件②．若≥，≥，≤，滿足條件③，收此知故g（x）理想函數(shù)．（3）由條件③知，任給，當(dāng)時，，且≥≥．由此能夠推導(dǎo)出． 【題文】20．（本小題滿分13分） 現(xiàn)有六名籃球運動員進行傳球訓(xùn)練，由甲開始傳球（第一次

22、傳球是由甲傳向其他五名運動員中的一位），若第次傳球后，球傳回到甲的不同傳球方式的種數(shù)記為. (1) 求出、的值，并寫出與≥的關(guān)系式； (2) 證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式； (3) 當(dāng)≥時，證明：. 【知識點】數(shù)列與不等式的綜合．D5 E9 【答案】【解析】(1) ,， ;(2) (3) 見解析. 解析：（1）,， 第次傳球后，不同傳球方式種數(shù)為，不在甲手中的種數(shù)為， ∴當(dāng)≥時， ……5分 （2）由=－＋得，， 又，則數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列

23、. 從而，故. …………9分 （3）.當(dāng)≥為奇數(shù)時, 則為偶數(shù) ＜ 當(dāng)≥為偶數(shù)時, 則為奇數(shù),從而 綜上，當(dāng)≥時,. …………分 【思路點撥】（1）第次傳球后，不同傳球方式種數(shù)為，不在甲手中的種數(shù)為，由此能求出,，即可寫出與≥的關(guān)系式． （2）由=－＋得，，由此能證明數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列.，從而能求出． （3）當(dāng)≥為奇數(shù)時, 則為偶數(shù)，；當(dāng)≥為偶數(shù)時, 則為奇數(shù),從而 ，由此能證明當(dāng)≥時,. 【題

24、文】21．（本小題滿分14分） 已知函數(shù)，（）. (1) 若時，函數(shù)在其定義域上是增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍； (2) 在（1）的結(jié)論下，設(shè)函數(shù)的最小值； (3) 設(shè)函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象交于點、，過線段的中點 作軸的垂線分別交、于點、，問是否存在點，使在處的切線與在處的切線平行？若存在，求出的橫坐標；若不存在，請說明理由. 【知識點】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；兩條直線平行的判定.B11 B12G4 【答案】【解析】(1) (2) 當(dāng)當(dāng) (3) C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行. 解析：（1）依題意： ∵上是增函數(shù)， ∴恒成立，

25、 ∴∵ ∴b的取值范圍為 …………4分 （2）設(shè)，即 ， ∴當(dāng)上為增函數(shù)，當(dāng)t=1時， 當(dāng) …………7分 當(dāng)上為減函數(shù)，當(dāng)t=2時， 綜上所述，當(dāng) 當(dāng) ………8分 （3）設(shè)點P、Q的坐標是 則點M、N的橫坐標為 C1在M處的切線斜率為 C2在點N處的切線斜率 假設(shè)C1在點M處的切線與C2在點N處的切線平行，則， 即 則 ， 設(shè)…………………………① 令則 ∵ ∴ 所以上單調(diào)遞增，故 ， 則， 這與①矛盾，假設(shè)不成立, 故C1在點M處的切線與C2在點N處的切線不平行． .……13分 【思路點撥】(1) 根據(jù)時，函數(shù)在其定義域內(nèi)是增函數(shù)，知道 h′（x）在其定義域內(nèi)大于等于零，得到一個關(guān)于b的不等式，解此不等式即得b的取值范圍；(2) 先設(shè)t=ex，將原函數(shù)化為關(guān)于t的二次函數(shù)，最后將原函數(shù)φ（x）的最小值問題轉(zhuǎn)化成二次函數(shù)在某區(qū)間上的最值問題即可； (3) 先假設(shè)存在點R，使C1在M處的切線與C2在N處的切線平行，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率進而得出切線的方程，后利用斜率相等求出R的橫坐標，如出現(xiàn)矛盾，則不存在；若不出現(xiàn)矛盾，則存在．