高考數(shù)學總復習 第2節(jié) 不等式的證明素能提升演練 理（含解析）新人教版選修4-4

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1、高考數(shù)學總復習 第2節(jié) 不等式的證明素能提升演練 理（含解析）新人教版選修4-4 1．函數(shù)f(x)＝3x＋(x>0)的最小值為________． 解析：9　f(x)＝3x＋＝x＋x＋≥3＝9，當且僅當x＝，即x＝2時等號成立． 2．記S＝＋＋＋…＋，則S與1的大小關系是________． 解析：S<1　∵210＋1>210,210＋2>210，…，211－1>210， ∴S＝＋＋＋…＋ <＝1. 3．已知＋＝1(a>b>0)，則利用柯西不等式判斷a2＋b2與(x＋y)2的大小關系為________． 解析：a2＋b2≥(x＋y)2　∵＋＝1， ∴a2＋b2＝(a2＋b2)≥2

2、＝(x＋y)2. 4．已知a>b>c>d，則(a－d)的最小值為________． 解析：9　原式＝[(a－b)＋(b－c)＋(c－d)]≥3 ×3＝9. 當且僅當a－b＝b－c＝c－d時等號成立． 5．設0a2，a>0，b>0得b>a. 又c－b＝－(1＋x)＝＝>0得c>b，知c最大． 6．設x>0，y>0，若不等式＋＋≥0恒成立，則實數(shù)λ的最小值是________． 解析：－4　∵x>0，y>0， ∴原不等式可化為－λ≤(x＋y)＝2＋＋. ∵2＋＋≥2

3、＋2 ＝4， 當且僅當x＝y(tǒng)時等號成立． ∴(x＋y)min＝4， 即－λ≤4，λ≥－4. 7．(xx·新課標全國高考Ⅱ)設a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1.求證： (1)ab＋bc＋ca≤； (2)＋＋≥1. 證明：(1)由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由題設得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以3(ab＋bc＋ca)≤1，即ab＋bc＋ca≤. (2)因為＋b≥2a，＋c≥2b，＋a≥2c， 故＋＋＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即＋＋≥a＋b＋c.

4、 所以＋＋≥1. 8．已知a，b為正實數(shù)． (1)求證：＋≥a＋b； (2)利用(1)的結論求函數(shù)y＝＋(00，b>0， ∴(a＋b)＝a2＋b2＋＋ ≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2. ∴＋≥a＋b，當且僅當a＝b時等號成立． 方法二：∵＋－(a＋b)＝ ＝＝ ＝. 又∵a>0，b>0，∴≥0， 當且僅當a＝b時等號成立．∴＋≥a＋b. (2)解：∵00， 由 (1)的結論，函數(shù)y＝＋≥(1－x)＋x＝1. 當且僅當1－x＝x，即x＝時等號成立． ∴函數(shù)y＝＋(0

5、 9．(xx·沈陽質檢)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|. (1)解不等式：1≤f(x)＋f(x－1)≤2； (2)若a>0，求證：f(ax)－af(x)≤f(a)． (1)解：由題f(x)＋f(x－1)＝|x－1|＋|x－2|≥|x－1＋2－x|＝1. 因此只需解不等式|x－1|＋|x－2|≤2. 當x≤1時，原不等式等價于－2x＋3≤2，即≤x≤1； 當12時，原不等式等價于2x－3≤2，即20時，f(ax)

6、－af(x)＝|ax－1|－|ax－a| ＝|ax－1|－|a－ax| ≤|ax－1＋a－ax|＝|a－1|＝f(a)． 10．(xx·福建高考)已知函數(shù)f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]． (1)求m的值； (2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m，求證：a＋2b＋3c≥9. (1)解：因為f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等價于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集為{x|－m≤x≤m}． 又f(x＋2)≥0的解集為[－1,1]，故m＝1. (2)證明：由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈(0，＋∞)，由柯西不等

7、式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c) ≥2＝9. 11．已知a，b為實數(shù)，且a>0，b>0. (1)求證：≥9； (2)求(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2的最小值． (1)證明：因為a>0，b>0， 所以a＋b＋≥3 ＝3>0，① 同理可得a2＋＋≥3>0.② 由①②及不等式的性質得 ≥3×3 ＝9. (2)解：[(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2][12＋12＋22] ≥[(5－2a)×1＋2b×1＋(a－b)×2]2. 所以(5－2a)2＋4b2＋(a－b)2≥. 當且僅當＝＝時取等號，即a＝，b＝. 所以當a＝，b＝時，(5－2a)2＋4b2＋

8、(a－b)2取最小值. 12．已知a，b，c均為正數(shù)． (1)求證：a2＋b2＋c2＋2≥6，并確定a，b，c如何取值時等號成立； (2)若a＋b＋c＝1，求＋＋的最大值． (1)證明：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得 ，所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.① 同理＋＋≥＋＋.② 故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋＋＋≥6.③ 當且僅當a＝b＝c時，①式和②式等號成立，當且僅當a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3時，③式等號成立，即當且僅當a＝b＝c＝3時等號成立． (2)解：·＋·＋·≤＋＋ ＝＝6， 即(＋＋)≤6， 故＋＋≤3， 當且僅當a＝b＝c＝時等號成立． ∴＋＋的最大值為3.