2022年高考數(shù)學(xué) 必過關(guān)題11 直線和圓

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1、2022年高考數(shù)學(xué) 必過關(guān)題11 直線和圓 一．填空題 【考點(diǎn)一】直線方程 1. (必修2第128頁復(fù)習(xí)第19題改編)已知點(diǎn)，直線斜率存在且過點(diǎn)，若與線段相交，則l的斜率k的取值范圍是 . 【答案】 [解析] ，由斜率和傾斜角的關(guān)系可得. 2. 課本原題(必修2第128頁復(fù)習(xí)第16題)過點(diǎn)P(1,2)作直線l，使直線l與點(diǎn)M(2,3)和點(diǎn)N(4，－5)距離相等，則直線l的方程為________________． 【答案】3x＋2y－7＝0或4x＋y－6＝0 [解析] 法一：斜率不存在不滿足題意，可設(shè)直線方程為， 所以，則有或，則或 法二：直線l為與MN

2、平行或經(jīng)過MN的中點(diǎn)的直線，當(dāng)l與MN平行時，斜率為－4，故直線方程為y－2=－4(x－1)，即4x＋y－6＝0；當(dāng)l經(jīng)過MN的中點(diǎn)時，MN的中點(diǎn)為(3，－1)，直線l的斜率為－，故直線方程為y－2=－(x－1)，即3x＋2y－7=0 3.課本原題(必修2第128頁復(fù)習(xí)第5題)已知直線過點(diǎn)，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積為5，求直線的方程. 改編：過點(diǎn)作直線l分別交x、y正半軸于A、B兩點(diǎn)， （1）當(dāng)面積最小時，直線l的方程為____________； （2）當(dāng)最小時，直線l的方程為____________． 【答案】（1） （2） [解析] 法一：由題意斜率存在，可設(shè)直線方程

3、為 令；令.所以， 當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，此時直線方程為. 法二：由題意截距不為0，可設(shè)直線方程為， 過點(diǎn)，有，所以，解得， 所以，此時，即 【考點(diǎn)二】圓的方程 4.經(jīng)過點(diǎn)，且與直線相切于點(diǎn)的圓的方程是______. 【答案】 [解析] 法一：設(shè)圓心為，則有，解得， 又可得. 法二：AB中垂線方程為，過點(diǎn)B且與直線l垂直的直線方程為， 它們的交點(diǎn)即為圓心. 【考點(diǎn)三】直線和圓的位置關(guān)系 5.過定點(diǎn)（1,0）一定可以作兩條直線與圓相切，則的取值范圍為 . 【答案】 [解析] 點(diǎn)（1,0）在圓外，還要注意構(gòu)成圓的條件. 6. 已知直

4、線與圓心為的圓相交于兩點(diǎn)，且為等邊三角形，則實(shí)數(shù)________.【答案】 [解析]由題設(shè)圓心到直線的距離為， 所以，解得. 7.若曲線y=1＋ 與直線y=k(x－2)＋4有兩個不同交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____． 【答案】＜k≤ [解析]半圓x2＋(y－1)2＝4(y≥1)與過P(2,4)點(diǎn)，斜率為k的直線有兩個交點(diǎn)， 如圖：A(－2,1)，kPA＝，過P與半圓相切時，k＝，∴

5、最值問題 9.已知圓分別交x軸正半軸及y軸負(fù)半軸于M、N兩點(diǎn)，點(diǎn)P為圓C上任意一點(diǎn)，則的最大值為__________. 【答案】 [解析]，設(shè)，則， 法一：，可理解為點(diǎn)P到距離的平方，則的最大值為，所以的最大值為. 法二：，令，可得. 10. 在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為．若直線上存在點(diǎn)，使過所作的圓的兩條切線相互垂直，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 [解析]由題設(shè)可得，直線上存在點(diǎn)，使得即可，則，則，可得. 二．解答題 11.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，和為兩等腰直角三角形，，C(a,0)(a>0)．設(shè)和的外接圓圓心分別為,． （1）若⊙

6、M與直線CD相切，求直線CD的方程； （2）若直線AB截⊙N所得弦長為4，求⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程； （3）是否存在這樣的⊙N，使得⊙N上有且只有三個點(diǎn)到直線 AB的距離為，若存在，求此時⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程；若不存在， 說明理由． [解析]（1）圓心．∴圓方程為， 直線CD方程為． ∵⊙M與直線CD相切,∴圓心M到直線CD的距離d=, 化簡得： （舍去負(fù)值）．∴直線CD的方程為． （2）直線AB方程為：，圓心N ． ∴圓心N到直線AB距離為． ∵直線AB截⊙N的所得弦長為4，∴． ∴a=±(舍去負(fù)值) ． ∴⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為． （3）存在． 由

7、（2）知，圓心N到直線AB距離為(定值)，且AB⊥CD始終成立， ∴當(dāng)且僅當(dāng)圓N半徑,即a=4時，⊙N上有且只有三個點(diǎn)到直線AB的距離為． 此時， ⊙N的標(biāo)準(zhǔn)方程為． 12.課本原題（必修2第112頁習(xí)題2.2第12題）：已知點(diǎn)與兩個定點(diǎn)的距離之比為，那么點(diǎn)M的坐標(biāo)應(yīng)滿足什么關(guān)系？畫出滿足條件的點(diǎn)M所構(gòu)成的曲線. 改編1：（xx高考江蘇卷第13題）滿足條件的三角形的面積的最大值為 . 解析：法一（原解法）：本小題考查三角面積公式、余弦定理及函數(shù)思想。設(shè)BC=x，則，根據(jù)面積公式得。 根據(jù)余弦定理得，代入上式得 由三角形三邊關(guān)系有 故當(dāng)時

8、，取得最大值。 法二：設(shè) 。 法三：設(shè) 。 改編2：（xx高考江蘇卷第17題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A(0,3)，直線l：y=2x－4.設(shè)圓C的半徑為1，圓心在l上. （1）若圓心C也在直線y=x－1上，過點(diǎn)A作圓C的切線，求切線方程； （2）若圓C上存在點(diǎn)M，使MA=2MO，求圓心C的橫坐標(biāo)a的取值范圍. 【答案】解:(1)由得圓心C為(3,2),∵圓的半徑為 ∴圓的方程為: 顯然切線的斜率一定存在,設(shè)所求圓C的切線方程為,即 ∴∴∴∴或者 ∴所求圓C的切線方程為:或者即或者 (2)解:∵圓的圓心在在直線上,所以,設(shè)圓心C為(a

9、,2a-4) 則圓的方程為: 又∵∴設(shè)M為(x,y)則整理得:設(shè)為圓D ∴點(diǎn)M應(yīng)該既在圓C上又在圓D上 即:圓C和圓D有交點(diǎn) ∴ 由得 由得 終上所述,的取值范圍為: [說明]：利用阿波羅尼斯圓進(jìn)行命題的經(jīng)典考題很多，最著名的當(dāng)屬高考中出現(xiàn)的這兩題.課本上雖未出現(xiàn)阿波羅尼斯圓的字眼，但是必修2教材上的這道習(xí)題已經(jīng)體現(xiàn)了這類問題的本質(zhì).如果我們平時能鉆研教材，對這道習(xí)題有所研究，那么我們的數(shù)學(xué)意識就會有所增強(qiáng)，再碰到此類問題時就會得心應(yīng)手. 13. 課本原題(必修2第117頁習(xí)題2.2第10題)求圓與圓的公共弦的長. 改編：如圖，已知O(0，0)，E(，0)，F(xiàn)(，0)，圓F：．動點(diǎn)P滿足PE＋PF=4．以P為圓心，OP為半徑的圓P與圓F的一個公共點(diǎn)為Q． x O y P F E Q （1）求點(diǎn)P的軌跡方程； （2）證明：點(diǎn)Q到直線PF的距離為定值，并求此值． [解析]（1）由橢圓的定義可知點(diǎn)P的軌跡方程 （2）設(shè)圓P與圓F的另一個交點(diǎn)為T，設(shè)， 則圓P方程為 則兩圓公共弦QT的方程為，點(diǎn)Q到直線PF的距離即為， 點(diǎn)F到QT的距離為=2， 所以點(diǎn)Q到直線PF的距離為1.