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1、高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法綜合檢測 新人教B版選修4-5
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．已知>，則下列不等式一定成立的是( )
A．a(chǎn)2>b2 B．lg a>lg b
C.> D.b>a
【解析】 由>，得a>b(c≠0)
顯然，當a，b異號或其中一個為0時， A、B、C不正確．
【答案】 D
2．“|x－1|<2成立”是“x(x－3)<0成立”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
【解析】 |x－1|<2
2、?－11 D．x>2
【解析】 由題意，知2x與log2x同號，故只有2x>0且log2x>0.∴x>1.
【答案】 C
5
3、．已知數(shù)列{an}的通項公式an＝，其中a，b均為正數(shù)，那么an與an＋1的大小關(guān)系是( )
A．a(chǎn)n＞an＋1 B．a(chǎn)n＜an＋1
C．a(chǎn)n＝an＋1 D．與n的取值有關(guān)
【解析】 an＋1－an＝－
＝.
∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N*.
∴an＋1－an＞0，因此an＋1＞an.
【答案】 B
6．(xx·重慶高考)關(guān)于x的不等式x2－2ax－8a2<0(a>0)的解集為(x1，x2)，且x2－x1＝15 ，則a＝ ( )
A. B.
C. D.
【解析】 由x2－2ax－8a2<0(a>0)得(x＋2a)(x－4a)<0(a>0)，
即－2a
4、故原不等式的解集為(－2a,4a)．
由x2－x1＝15得4a－(－2a)＝15，即6a＝15，所以a＝.故選A.
【答案】 A
7．在下列函數(shù)中，當x取正數(shù)時，最小值為2的是( )
A．y＝x＋
B．y＝lg x＋
C．y＝＋
D．y＝sin x＋(03}
B．{x|－1
5、．{x|－10，y>0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是( )
A．0 B．1
C．2 D．4
【解析】 依題意a＋b＝x＋y，xy＝cd，
又x>0，y>0，
∴＝＝2＋＋≥4，
當且僅當x＝y(tǒng)時，等號成立．
∴的最小值為4.
【答案】 D
10．不等式|x－5|＋|x＋3|≥10的解集是( )
A．[－5,7]
B．[－4,6]
C．(－∞，－5]∪[7，＋∞)
D．(－∞，
6、－4]∪[6，＋∞)
【解析】 法一 當x≤－3時，原不等式可化為5－x－x－3≥10，即2x≤－8，∴x≤－4，此時不等式的解集為{x|x≤－4}．
當－3＜x≤5時，原不等式可化為5－x＋x＋3≥10，此時無解．
當x＞5時，原不等式可化為x－5＋x＋3≥10，解得x≥6，此時不等式的解集為{x|x≥6}．
綜上可知，原不等式的解集為{x|x≤－4或x≥6}，故選D.
法二 由絕對值的幾何意義可知，|x－5|＋|x＋3|表示數(shù)軸上的點x到點－3和5兩點的距離之和，又點－4和6到點－3和5的距離之和都為10，如圖，故滿足|x－5|＋|x＋3|≥10的解集為(－∞，－4]和[6，＋∞
7、)．
【答案】 D
11．設(shè)a>0，b>0，a＋b＝1，M＝＋＋，則M與8的大小關(guān)系是( )
A．M＝8 B．M≥8
C．M<8 D．M≤8
【解析】 ∵a>0，b>0，a＋b＝1，
∴1＝a＋b≥2，∴≤，∴≥4.
∴＋＋＝(a＋b)(＋)＋≥2·2＋4＝8.
∴＋＋≥8，即M≥8.
當且僅當a＝b＝時等號成立．
【答案】 B
12．關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x－2|≤a2＋a＋1的解集是空集，則a的取值范圍是( )
A．(0,1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(－∞，－1)
【解析】 |x－1|＋|x－2|的最小值為1，
故只需a2＋a＋1
8、<1，∴－10，y>0且1＝＋≥2，
∴xy≤3.當且僅當＝時取等號．
【答案】 3
15．已知a，b，c，d∈R＋，且S＝＋＋＋，則S的取值范
9、圍是________．
【解析】 用放縮法，<<；
<<；
<<；
<<.
以上四個不等式相加，得1
10、＋y|<，|2x－y|<，求證：|y|<.
【證明】 因為3|y|＝|3y|＝|2(x＋y)－(2x－y)|≤2|x＋y|＋|2x－y|，
由題設(shè)知|x＋y|<，|2x－y|<，
從而3|y|<＋＝，所以|y|<.
18．(本小題滿分12分)若a>2，b>3，求a＋b＋的最小值．
【解】 ∵a>2，b>3，
∴a－2>0，b－3>0，>0，
因此a＋b＋
＝(a－2)＋(b－3)＋＋5
≥3＋5＝8.
當且僅當a－2＝b－3＝時，即a＝3，b＝4時等號成立．
故a＋b＋的最小值為8.
19．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的增函數(shù)，a、b∈R.
11、(1)若a＋b≥0，求證：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)；
(2)判斷(1)中命題的逆命題是否成立，并證明你的結(jié)論．
【證明】 (1)∵a＋b≥0，∴a≥－b.
由已知f(x)的單調(diào)性得：f(a)≥f(－b)．
又a＋b≥0?b≥－a?f(b)≥f(－a)．
兩式相加即得：f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)．
(2)命題(1)的逆命題為：若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，求證a＋b≥0.
逆命題成立．下面用反證法證之．
假設(shè)a＋b＜0，那么：
a＋b＜0?a＜－b?f(a)＜f(－b)
a＋b＜0?b＜－a?f(b)＜f(－a)
兩式相加得
12、：
f(a)＋f(b)＜f(－a)＋f(－b)．
這與已知矛盾，故只有：a＋b≥0.逆命題得證．
20．(本小題滿分12分)(xx·遼寧高考)已知函數(shù)f(x)＝|x－a|，其中a>1.
(1)當a＝2時，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；
(2)已知關(guān)于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集為，求a的值．
【解】(1)當a＝2時，f(x)＋|x－4|＝
當x≤2時，由f(x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；
當2
13、x－4|的解集為.
(2)記h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，
則h(x)＝
由|h(x)|≤2，解得≤x≤.
又已知|h(x)|≤2的解集為，
所以于是a＝3.
21．(本小題滿分12分)經(jīng)過長期觀測得到：在交通繁忙的時段內(nèi)，某公路段汽車的車流量y(千輛/小時)與汽車的平均速度v(千米/小時)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝(v>0)．
(1)在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度v為多少時，車流量最大？最大車流量為多少(精確到0.1千輛/小時)?
(2)若要求在該時段內(nèi)車流量超過10千輛/小時，則汽車的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？
【解】 (1)依題意y＝
≤＝，
當且僅當v＝，即v＝40
14、時等號成立．
∴ymax＝≈11.1(千輛/小時)．
當v＝40千米/小時時，車流量最大，約為11.1千輛/小時．
(2)由條件得>10，
整理得v2－89v＋1 600<0，即(v－25)(v－64)<0.
解得25
高中數(shù)學(xué) 第一章 不等式的基本性質(zhì)和證明的基本方法綜合檢測 新人教B版選修4-5
