2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第二章 函數(shù)與導數(shù) 2-13 定積分與微積分基本定理《教案》

2022年人教A版高中數(shù)學 高三一輪 第二章 函數(shù)與導數(shù) 2-13 定積分與微積分基本定理教案【教學目標】1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義. 【重點難點】 1.教學重點：了解定積分的概念及微積分基本定理的含義；2.教學難點：學會對知識進行整理達到系統(tǒng)化，提高分析問題和解決問題的能力；【教學策略與方法】自主學習、小組討論法、師生互動法【教學過程】教學流程教師活動學生活動設(shè)計意圖環(huán)節(jié)二：考綱傳真: 1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義. 真題再現(xiàn);1(xx·湖北高考)若函數(shù)f(x)，g(x)滿足1f(x)g(x)dx0，則稱f(x)，g(x)為區(qū)間1,1上的一組正交函數(shù)給出三組函數(shù)：f(x)sinx，g(x)cosx；f(x)x1，g(x)x1；f(x)x，g(x)x2.其中為區(qū)間1,1上的正交函數(shù)的組數(shù)是()A0 B1 C2 D3【解析】1f(x)g(x)dx1sinxcosxdx1sin xdx0，故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)；1f(x)g(x)dx1(x1)(x1)dx1(x21)dx0，故第組不是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)；1f(x)g(x)dx1x·x2dx1x3dx0，故第組是區(qū)間1,1上的正交函數(shù)綜上，滿足條件的共有兩組【答案】C2(xx·天津高考)曲線yx2與直線yx所圍成的封閉圖形的面積為_【解析】由得A(1,1)故所求面積為S10(xx2)dx.【答案】知識梳理：知識點1定積分的概念、幾何意義與性質(zhì)1定積分的定義及相關(guān)概念一般地，如果函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上連續(xù)，用分點ax0<x1<<xi1<xi<<xnb，將區(qū)間a，b等分成n個小區(qū)間，在每個小區(qū)間xi1，xi上任取一點i(i1,2，n)，作和式f(i)xf(i)，當n時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的定積分，記作f(x)dx.在f(x)dx中，a與b分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間a，b叫做積分區(qū)間，函數(shù)f(x)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，f(x)dx叫做被積式2定積分的幾何意義f(x)f(x)dx的幾何意義f(x)0表示由直線xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積f(x)<0表示由直線xa，xb，y0及曲線yf(x)所圍成的曲邊梯形的面積的相反數(shù)f(x)在a，b上有正有負表示位于x軸上方的曲邊梯形的面積減去位于x軸下方的曲邊梯形的面積3.定積分的性質(zhì)(1)kf(x)dxkf(x)dx(k為常數(shù))(2)f1(x)±f2(x)dxf1(x)dx±f2(x)dx.(3)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中a<c<b)知識點2微積分基本定理一般地，如果f(x)是區(qū)間a，b上的連續(xù)函數(shù)，并且F(x)f(x)，那么f(x)dxF(b)F(a)，這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫牛頓­萊布尼茨公式知識點3定積分的應(yīng)用(1)定積分與曲邊梯形面積的關(guān)系設(shè)陰影部分的面積為S.Sf(x)dx； Sf(x)dx；Sf(x)dxf(x)dx；Sf(x)dxg(x)dxf(x)g(x)dx.(2)定積分與變速直線運動的路程及變力做功間的關(guān)系，sv(t)dt，WF(x)dx.1必會結(jié)論；設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，a上連續(xù)，則有(1)若f(x)是偶函數(shù)，則af(x)dx2f(x)dx；(2)若f(x)是奇函數(shù)，則af(x)dx0.2必知聯(lián)系(1)被積函數(shù)若含有絕對值號，應(yīng)先去絕對值號，再分段積分(2)定積分式子中隱含的條件是積分上限大于積分下限(3)定積分的幾何意義是曲邊梯形的面積，但要注意：面積非負，而定積分的結(jié)果可以為負考點分項突破考點一：定積分的計算1.(xx·江西高考)若f(x)x22f(x)dx，則f(x)dx()A1BC.D1【解析】f(x)x22f(x)dx，f(x)dx2f(x)dx，f(x)dx.【答案】B2若(2x)dx2(R)，則等于()A0 B1 C2 D1【解析】(2x)dx(x2x)12，所以1.【答案】B3設(shè)f(x)則f(x)dx等于()A. B. C. D.【解析】f(x)dxx2dx(2x)dxx3.【答案】C歸納：計算定積分的步驟1把被積函數(shù)變形為冪函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與常數(shù)的積的和或差2把定積分用定積分性質(zhì)變形為求被積函數(shù)為上述函數(shù)的定積分3分別用求導公式找到一個相應(yīng)的原函數(shù)4利用微積分基本定理求出各個定積分的值5計算原始定積分的值考點二: 定積分在物理中的應(yīng)用(1)一輛汽車在高速公路上行駛，由于遇到緊急情況而剎車，以速度v(t)73t(t的單位：s，v的單位：m/s)行駛至停止在此期間汽車繼續(xù)行駛的距離(單位：m)是()A125ln 5 B825ln C425ln 5 D450ln 2(2)設(shè)變力F(x)作用在質(zhì)點M上，使M沿x軸正向從x1運動到x10，已知F(x)x21且和x軸正向相同，則變力F(x)對質(zhì)點M所做的功為_J.【解析】(1)由v(t)73t0，可得t4，因此汽車從剎車到停止一共行駛了4 s，此期間行駛的距離為v(t)dtdt425ln 5.(2)WF(x)dx(x21)dx342 J.【答案】(1)C(2)342跟蹤訓練：1一物體作變速直線運動，速度和時間關(guān)系為v(t)(4t2)m/s，則物體從0秒到4秒運動經(jīng)過的路程為()A. m B m C16 m D16 m【解析】sv(t)dt(4t2)dt16 m.【答案】B2一物體在變力F(x)5x2(力單位：N，位移單位：m)作用下，沿與F(x)成30°方向作直線運動，則由x1運動到x2時F(x)做的功為()A. J B. J C. J D2 J【解析】依題意可知，(F(x)×cos 30°)dxdx，F(xiàn)(x)做的功為 J.【答案】C歸納：定積分在物理中的兩個應(yīng)用1求變速直線運動的位移：如果變速直線運動物體的速度為vv(t)，那么從時刻ta到tb所經(jīng)過的路程sv(t)dt.2變力做功：一物體在變力F(x)的作用下，沿著與F(x)相同方向從xa移動到xb時，力F(x)所做的功是WF(x)dx.當力的方向與位移方向不一致時，應(yīng)求出和位移方向同向的分力，再求其所做的功考點三: 利用定積分計算平面圖形的面積命題角度1求平面圖形的面積1由曲線xy1，直線yx，y3所圍成的封閉平面圖形的面積為_【解析】由xy1，y3可得交點坐標為.由xy1，yx可得交點坐標為(1,1)，由yx，y3得交點坐標為(3,3)，由曲線xy1，直線yx，y3所圍成圖形的面積為dx(3x)dx(3xln x)(31ln 3)4ln 3.【答案】4ln 32(xx·陜西高考)如圖，一橫截面為等腰梯形的水渠，因泥沙沉積，導致水渠截面邊界呈拋物線型(圖中虛線所示)，則原始的最大流量與當前最大流量的比值為_【解析】建立如圖所示的平面直角坐標系，由拋物線過點(0，2)，(5,0)，(5,0)，得拋物線的函數(shù)表達式為yx22，拋物線與x軸圍成的面積S15dx，梯形面積S216.最大流量比為S2S11.2.【答案】1.2命題角度2根據(jù)面積求參數(shù)3由曲線f(x)與y軸及直線ym(m>0)圍成的圖形的面積為，則m的值為()A2 B3 C1 D8【解析】由題意知m20(m)dx，所以，整理得m38，所以m2.【答案】A4設(shè)a>0，若曲線y與直線xa，y0所圍成封閉圖形的面積為a2，求a的值【解】曲線y，直線xa，y0所圍成封閉圖形面積如圖所示即dxxa0a2，解得a.命題角度3與概率的綜合應(yīng)用5如圖，矩形OABC的四個頂點坐標依次為O(0,0)，A，B，C(0,1)，記線段OC，CB以及ysin x的圖象圍成的區(qū)域(圖中陰影部分)為，若向矩形OABC內(nèi)任意投一點M，求點M落在區(qū)域內(nèi)的概率【解】陰影部分的面積是0(1sin x)dx1，矩形的面積是×1，所以點M落在區(qū)域內(nèi)的概率為1.歸納： 1利用定積分求平面圖形面積的步驟(1)根據(jù)題意畫出圖形(2)借助圖形確定出被積函數(shù)，求出交點坐標，確定積分的上、下限(3)把曲邊梯形的面積表示成若干個定積分的和(4)計算定積分，寫出答案2根據(jù)平面圖形的面積求參數(shù)的求解策略先利用定積分求出平面圖形的面積，再據(jù)條件構(gòu)建方程(不等式)求解3與概率綜合應(yīng)用的求解策略先利用定積分求出平面圖形的面積，再根據(jù)幾何概型求解。學生通過對高考真題的解決，發(fā)現(xiàn)自己對知識的掌握情況。 學生通過對高考真題的解決，感受高考題的考察視角。 教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。引導學生通過對基礎(chǔ)知識的逐點掃描，來澄清概念，加強理解。從而為后面的練習奠定基礎(chǔ).在解題中注意引導學生自主分析和解決問題，教師及時點撥從而提高學生的解題能力和興教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)。 通過對考綱的解讀和分析。讓學生明確考試要求，做到有的放矢由常見問題的解決和總結(jié)，使學生形成解題模塊，提高模式識別能力和教師引導學生及時總結(jié)，以幫助學生形成完整的認知結(jié)構(gòu)引導學生對所學的知識進行小結(jié)，由利于學生對已有的知識結(jié)構(gòu)進行編碼處理，加強理解記憶，提高解題技能。環(huán)節(jié)三：課堂小結(jié)：1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念2.了解微積分基本定理的含義. 學生回顧，總結(jié).引導學生對學習過程進行反思，為在今后的學習中，進行有效調(diào)控打下良好的基礎(chǔ)。環(huán)節(jié)四：課后作業(yè)：學生版練與測學生通過作業(yè)進行課外反思，通過思考發(fā)散鞏固所學的知識。