2021高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第7章 不等式、推理與證明 第2節(jié) 基本不等式教學(xué)案 文 北師大版

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1、第二節(jié)　基本不等式 [最新考綱]　1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題． (對應(yīng)學(xué)生用書第110頁) 1．基本不等式≥ (1)基本不等式成立的條件：a≥0，b≥0. (2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)a＝b. 2．幾個(gè)重要的不等式 3．算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù) 設(shè)a>0，b>0，則a，b的算術(shù)平均數(shù)為，幾何平均數(shù)為，基本不等式可敘述為：兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 4．利用基本不等式求最值問題 已知x>0，y>0，則 (1)如果xy是定值p，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，x＋y有最小值是2(簡記：積定和最小)． (2)

2、如果x＋y是定值q，那么當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，xy有最大值是(簡記：和定積最大)． 重要不等式鏈 若a≥b＞0，則a≥≥≥≥≥b. 一、思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”) (1)函數(shù)y＝x＋的最小值是2. (　　) (2)函數(shù)f(x)＝cos x＋，x∈的最小值等于4. (　　) (3)x>0，y>0是＋≥2的充要條件． (　　) (4)若a>0，則a3＋的最小值為2. (　　) [答案](1)×　(2)×　(3)×　(4)× 二、教材改編 1．設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為(　　) A．80　　　 B．77 C．81 D．82 C

3、　[xy≤＝81，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝9時(shí)，等號成立．故選C.] 2．若x＞0，則x＋(　　) A．有最大值，且最大值為4 B．有最小值，且最小值為4 C．有最大值，且最大值為2 D．有最小值，且最小值為2 B　[x＞0時(shí)，x＋≥2＝4，當(dāng)且僅當(dāng)x＝2時(shí)等號成立．故選B.] 3．若把總長為20 m的籬笆圍成一個(gè)矩形場地，則矩形場地的最大面積是________m2. 25　[設(shè)一邊長為x m，則另一邊長可表示為(10－x)m， 由題知0＜x＜10，則面積S＝x(10－x)≤＝25，當(dāng)且僅當(dāng)x＝10－x，即x＝5時(shí)等號成立，故當(dāng)矩形的長與寬相等，且都為5 m時(shí)面積取到最大值25 m2

4、.] 4．一個(gè)長方體的體積為32，高為2，底面的長和寬分別為x和y，則x＋y的最小值為________． 8　[由題意知xy＝16，則x＋y≥2＝8；當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝4時(shí)等號成立，故x＋y的最小值為8.] (對應(yīng)學(xué)生用書第111頁) ⊙考點(diǎn)1　利用基本不等式求最值 　利用基本不等式求最值的三種思路 利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有三種思路： (1)對條件使用基本不等式直接求解．(直接法) (2)針對待求最值的式子，通過拆項(xiàng)(添項(xiàng))、分離常數(shù)、變系數(shù)、湊因子等方法配湊出和或積為常數(shù)的兩項(xiàng)，然后用基本不等式求解．(配湊法) (3)已知條件中有值

5、為1的式子，把待求最值的式子和值為1的式子相乘，再用基本不等式求解．(常數(shù)代換法) 　直接法求最值 (1)若a，b都是正數(shù)，且a＋b＝1，則(a＋1)(b＋1)的最大值為(　　) A. B．2　　　　 C.　　　　 D．4 (2)ab＞0，則的最小值為(　　) A．2 B. C．3 D．2 (3)(2019·天津高考)設(shè)x＞0，y＞0，x＋2y＝4，則的最小值為________． (1)C　(2)A　(3)　[(1)(a＋1)(b＋1)≤＝＝，故選C. (2)∵ab＞0，∴＝＋≥2＝2， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b時(shí)等號成立，故選A. (3)＝＝＝2＋， ∵x＞0，y＞

6、0且x＋2y＝4， ∴4＝x＋2y≥2， ∴xy≤2，∴≥， ∴2＋≥2＋＝.] 　解答本例T(2)，T(3)時(shí)，先把待求最值的式子變形，這是解題的關(guān)鍵． 　配湊法求最值 (1)已知x∈，則x(1－4x)取最大值時(shí)x的值是(　　) A. B. C. D. (2)已知不等式2x＋m＋＞0對一切x∈恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(　　) A．m＞－6 B．m＜－6 C．m＞－7 D．m＜－7 (3)若－4＜x＜1，則f(x)＝(　　) A．有最小值1 B．有最大值1 C．有最小值－1 D．有最大值－1 (1)C　(2)A　(3)D　[(1)由x∈知1－4x＞0，則

7、 x(1－4x)＝·4x(1－4x)≤×＝， 當(dāng)且僅當(dāng)4x＝1－4x，即x＝時(shí)等號成立，故選C. (2)由題意知，－m＜2x＋對一切x∈恒成立，又x≥時(shí)，x－1＞0， 則2x＋＝2(x－1)＋＋2≥2＋2＝6， 當(dāng)且僅當(dāng)2(x－1)＝，即x＝2時(shí)等號成立． ∴－m＜6，即m＞－6，故選A. (3)∵－4＜x＜1，∴0＜1－x＜5， ∴f(x)＝＝＝－≤－×2＝－1，當(dāng)且僅當(dāng)1－x＝，即x＝0時(shí)等號成立． ∴函數(shù)f(x)有最大值－1，無最小值，故選D.] 　形如f(x)＝的函數(shù)，可化為f(x)＝的形式，再利用基本不等式求解，如本例T(3)． [教師備選例題] 已知x＜，則f

8、(x)＝4x－2＋的最大值為________． 1　[因?yàn)閤＜，所以5－4x＞0， 則f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝－2＋3＝1. 當(dāng)且僅當(dāng)5－4x＝，即x＝1時(shí)，等號成立． 故f(x)＝4x－2＋的最大值為1.] 　常數(shù)代換法求最值 (1)已知實(shí)數(shù)x，y滿足x＞0，y＞0，且＋＝1，則x＋2y的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 (2)設(shè)a＞0，b＞0，若3是3a與3b的等比中項(xiàng)，則＋的最小值為(　　) A．12 B．4 C. D. (1)D　(2)D　[(1)x＋2y＝(x＋2y)＝4＋＋≥4＋2＝8，當(dāng)且僅當(dāng)＝，即x＝4，y＝2時(shí)等

9、號成立，故選D. (2)由題意知3a·3b＝(3)2，即3a＋b＝33， ∴a＋b＝3，∴＋＝(a＋b) ＝≥＝， 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即a＝b＝時(shí)等號成立，故選D.] 　使用常數(shù)代換法時(shí)，若式子的值不為1，應(yīng)注意平衡系數(shù)，如本例T(2)． [教師備選例題] 已知正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝2，則＋的最小值為________． 　[∵正實(shí)數(shù)x，y滿足2x＋y＝2， 則＋＝(2x＋y) ＝≥ ＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝時(shí)取等號． ∴＋的最小值為.] 　1.設(shè)x＞0，y＞0，且x＋4y＝40，則lg x＋lg y的最大值是(　　) A．40 B．10 C．4 D．2 D　[由x

10、＞0，y＞0，x＋4y＝40得40＝x＋4y≥2 ∴≤10，即xy≤100(當(dāng)且僅當(dāng)x＝20，y＝5時(shí)等號成立)， ∴l(xiāng)g x＋lg y＝lg(xy)≤lg 100＝2，故選D.] 2．若對于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞ C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤ A　[由x＞0，得＝≤＝，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立．則a≥，故選A.] 3．若a，b，c都是正數(shù)，且a＋b＋c＝2，則＋的最小值是(　　) A．2 B．3 C．4 D．6 B　[由題意知(a＋1)＋(b＋c)＝3，則 ＋＝[(a＋1)＋(b＋c)] ＝ ≥＝3，當(dāng)且僅當(dāng)＝，

11、即a＝1，b＋c＝1時(shí)等號成立，故選B.] ⊙考點(diǎn)2　基本不等式的實(shí)際應(yīng)用 　利用基本不等式解決實(shí)際問題的三個(gè)注意點(diǎn) (1)設(shè)變量時(shí)，一般要把求最大值或最小值的變量定義為函數(shù)． (2)解應(yīng)用題時(shí)，一定要注意變量的實(shí)際意義及其取值范圍． (3)在應(yīng)用基本不等式求函數(shù)最值時(shí)，若等號取不到，可利用函數(shù)的單調(diào)性求解． 　(2019·常州模擬)習(xí)總書記指出：“綠水青山就是金山銀山”．常州市一鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)號召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．調(diào)研過程中發(fā)現(xiàn)：某珍稀水果樹的單株產(chǎn)量W(單位：千克)與肥料費(fèi)用10x(單位：元)滿足如下關(guān)系：W(x)＝其它成本投入(如培育管理等人工費(fèi))為20

12、x(單位：元)．已知這種水果的市場售價(jià)大約為10元/千克，且供不應(yīng)求．記該單株水果樹獲得的利潤為f(x)(單位：元)． (1)求f(x)的函數(shù)關(guān)系式； (2)當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為多少時(shí)，該單株水果樹獲得的利潤最大？最大利潤是多少？ [解](1)由已知f(x)＝10W(x)－20x－10x＝10W(x)－30x＝ 則f(x)＝ (2)由(1)f(x)＝變形得 f(x)＝ 當(dāng)0≤x≤2時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 且f(0)＝100＜f(2)＝240， ∴f(x)max＝f(2)＝240； 當(dāng)2＜x≤5時(shí)，f(x)＝510－30， ∵x＋1＋≥2＝8， 當(dāng)且僅當(dāng)＝

13、1＋x時(shí)，即x＝3時(shí)等號成立． ∴f(x)max＝510－30×8＝270， 因?yàn)?40＜270，所以當(dāng)x＝3時(shí)，f(x)max＝270. 答：當(dāng)投入的肥料費(fèi)用為30元時(shí)，種植該果樹獲得的最大利潤是270元． 　解答本例第(2)問時(shí)，對f(x)＝－30的變形是解題的關(guān)鍵． 　1.(2017·江蘇高考)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小，則x的值是________． 30　[一年的總運(yùn)費(fèi)為6×＝(萬元)． 一年的總存儲費(fèi)用為4x萬元． 總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用的和為萬元． 因?yàn)椋?x≥2＝240，當(dāng)且僅當(dāng)＝4x，即x＝30時(shí)取得等號， 所以當(dāng)x＝30時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲費(fèi)用之和最小．] 2．一批救災(zāi)物資隨51輛汽車從某市以v km/h的速度勻速直達(dá)災(zāi)區(qū)，已知兩地公路線長400 km，為了安全起見，兩輛汽車的間距不得小于 km，那么這批物資全部到達(dá)災(zāi)區(qū)，最少需要________小時(shí)． 10　[設(shè)全部物資到達(dá)災(zāi)區(qū)所需時(shí)間為t小時(shí)， 由題意可知，t相當(dāng)于最后一輛車行駛了50個(gè)km＋400 km所用的時(shí)間， 因此，t＝＝＋≥2＝10. 當(dāng)且僅當(dāng)＝，即v＝80時(shí)取“＝”． 故這些汽車以80 km/h的速度勻速行駛時(shí)，所需時(shí)間最少要10小時(shí)．] - 8 -