2022年高考數學大一輪復習 第十章 第56課 圓的方程要點導學

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1、2022年高考數學大一輪復習 第十章 第56課 圓的方程要點導學 求動點的軌跡方程 　如圖,圓O1與圓O2的半徑都是1,O1O2=4,過動點P分別作圓O1,圓O2的切線PM,PN(點M,N分別為切點),使得PM=PN.試建立適當的坐標系,并求動點P的軌跡方程. (例1) [思維引導]首先建立適當的坐標系,找到線段之間的關系,利用已知條件很容易找到動點滿足圓的條件,動點的軌跡應該是圓. [解答]以O1O2的中點O為原點,O1O2所在直線為x軸,建立平面直角坐標系, 則O1(-2,0),O2(2,0). 因為PM=PN,所以PM2=2PN2. 因為兩圓的半徑都為1,所以P-

2、1=2(P-1). 設P(x,y),則(x+2)2+y2-1=2[(x-2)2+y2-1], 即(x-6)2+y2=33. 故動點P的軌跡方程為(x-6)2+y2=33(或寫成x2+y2-12x+3=0). [精要點評]建立的坐標系不同,則得到的結果可能不同,但是動點的軌跡仍是圓,只是解析式不同而已,但是運算難易也會有所不同,所以建立適當的坐標系會給解決問題帶來不同的效果. 　設 A(-3,0),B(3,0)為兩定點,動點P到A點的距離與到B點的距離之比為1∶2,則點P的軌跡圖形所圍成的面積是　　　　. [答案]16π [解析]設P(x,y),則由題意有=,所以x2+y2+1

3、0x+9=0,所以(x+5)2+y2=16,所以點P在半徑為4的圓上,故其面積為16π. 求圓的方程 　(xx·江蘇模擬)求圓心在y軸上,半徑為1,且過點(1,2)的圓的方程. [思維引導]可以利用“待定系數法”求出圓的方程. [解答]設圓為(0,b), 由題設知圓的方程為x2+(y-b)2=1. 因為過點(1,2),所以代入得b=2. 故所求圓的方程為x2+(y-2)2=1. [精要點評]求圓的方程時,要根據已知條件選擇合適的形式,一般地,與圓心和半徑有關,選擇標準式,否則,選擇一般式.不論是哪種形式,都是確定三個獨立參數,所以應該有三個獨立等式.另外,充分利用圓的有關幾

4、何性質,也可以求得圓的方程中的三個參數.常用的性質有:①圓心在過切點且與切點垂直的直線上;②圓心在任意弦的中垂線上;③兩圓相切時,切點與兩圓心三點共線. 　(xx·南安模擬)以(-1,2)為圓心、為半徑的圓的一般方程為　　　　　　. [答案]x2+y2+2x-4y=0 [解析]由圓心坐標為(-1,2),半徑r=,則圓的標準方程為(x+1)2+(y-2)2=5,化簡可得x2+y2+2x-4y=0. 圓中的定值(定點)問題 　已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),在直線OA上(O為坐標原點),存在定點B(不同于點A),滿足:對于圓C上任一點P,都有為一常數.試求所有滿足條件

5、的點B的坐標. [思維引導]由題意知點P為過A,B兩點的阿波羅尼斯圓,但其定比未知,故可以用特例求出定點B,然后再驗證是否為常數或先假設點B存在,再由恒等性確定B的坐標. [解答]方法一:假設存在這樣的點B(t,0), 當點P為圓C與x軸的左交點(-3,0)時,=, 當點P為圓C與x軸的右交點(3,0)時,=. 依題意知=,解得t=-5(舍去)或t=-. 下面證明點B對于圓C上任一點P,都有為一常數. 設P(x,y),則y2=9-x2,所以====,從而=為常數. 方法二:假設存在這樣的點B(t,0),使得為常數λ,則PB2=λ2PA2, 所以(x-t)2+y2=λ2[(x+

6、5)2+y2],將y2=9-x2代入得x2-2xt+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2), 即2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0對x∈[-3,3]恒成立, 所以解得或(舍去). 所以存在點B對于圓C上任一點P,都有為常數. [精要點評]一般地,我們把“平面內到兩個定點距離之比為常數λ(λ≠1)的點的軌跡是圓”叫作圓的第二定義,此圓被叫作“阿波羅尼斯圓”. 本題以阿波羅尼斯圓為背景構建定點問題,體現了阿波羅尼斯圓在解析幾何中的重要位置. 　(xx·淮安模擬)已知圓M的方程為x2+(y-2)2=1,直線l的方程為x-2y=0,點P在直線l上,過點P作圓M的切線

7、PA,PB,切點為A,B.經過A,P,M三點的圓是否經過異于點M的定點?若經過,請求出此定點的坐標;若不經過,請說明理由. [解答]因為點P在直線l:x-2y=0上, 設P(2m,m),MP的中點Q, 因為PA是圓M的切線,所以經過A,P,M三點的圓是以點Q為圓心、MQ為半徑的圓, 故其方程為(x-m)2+=m2+. 化簡,得x2+y2-2y-m(2x+y-2)=0,此式是關于m的恒等式, 故解得或 所以經過A,P,M三點的圓必過異于點M的定點. 已知圓O的方程為x2+y2=1,直線l1過點A(3,0),且與圓O相切. (1) 求直線l1的方程; (2) 設圓O與x

8、軸交于P,Q兩點,點M是圓O上異于點P,Q的任意一點,過點A且與x軸垂直的直線為l2,直線PM交直線l2于點P',直線QM交直線l2于點Q'.證明:以P'Q'為直徑的圓C總經過定點,并求出定點坐標. [思維引導]動點M是問題之源.設M點坐標為(s,t),且s2+t2=1,然后求出動圓方程.令含參數s,t的代數式的系數為0,余下部分為0,解方程組便得定點坐標. [規(guī)范答題](1) 因為直線l1過點A(3,0),且與圓O:x2+y2=1相切,所以可設直線l1的方程為y=k(x-3),即kx-y-3k=0.(2分) 則圓心O(0,0)到直線l1的距離為d==1,解得k=±.所以直線l1的方程為

9、y=±(x-3). (4分) (2) 對于圓O:x2+y2=1,令y=0,得x=±1,即P(-1,0),Q(1,0).又直線l2過點A且與x軸垂直,所以直線l2的方程為x=3.設M(s,t),則直線PM的方程為y=(x+1). 由方程組解得P'. 同理可得Q'. (10分) 所以以P'Q'為直徑的圓C的方程為(x-3)(x-3)+=0. 又s2+t2=1,所以整理得(x2+y2-6x+1)+y=0. (12分) 若圓C經過定點,則只需令y=0,從而有x2-6x+1=0,解得x=3±2. 所以以P'Q'為直徑的圓C總經過定點(3±2,0). (14分) [精要點評] (1) 對于

10、以P'Q'為直徑的圓C的方程而言,本題解答選用了直徑式,若選用標準式,則運算較繁. (2) 證明動曲線經過定點的一般方法是:將整理好的方程中含有參變量的代數式的系數令為0,余下部分也令為0,然后解方程組即可求得定點坐標.如:動圓(x2+y2-6x+1)+λ(x2+y2-5)=0恒過定點(1,2),(1,-2). 1. (xx·江蘇模擬)若圓心在直線x=2上的圓C與y軸交于兩點A(0,-4),B(0,-2),則圓C的方程為　 . [答案](x-2)2+(y+3)2=5 [解析]由圓的幾何意義知圓心坐標為(2,-3),半徑r==,所以圓的方程為(x-2)2+(y+3)2

11、=5. 2. 經過三點A(0,0),B(4,0),C(0,6)的圓的方程是　 . [答案](x-2)2+(y-3)2=13 3. 圓心為C(3,-5),且與直線x-7y+2=0相切的圓的方程為　　　　　　　　. [答案](x-3)2+(y+5)2=32 4. 已知點P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,點P關于直線x+y-1=0的對稱點也在圓C上,那么圓C的圓心坐標為　　　　,半徑為　　　　. [答案](0,1)　2 [解析]因為點P(2,1)在圓C:x2+y2+ax-2y+b=0上,所以2a+b=-3,點P關于直線x+y-1=0的對稱點(0,-1)也在圓C上,所以b=-3,a=0,故圓的方程為x2+y2-2y-3=0,圓心為(0,1),半徑為2. 5. 已知點M(x,y)與兩個定點O(0,0),A(3,0)的距離之比為,那么點M的軌跡方程為　　　　　　　　. [答案]x2+y2+2x-3=0 [解析]由題意得=,化簡得x2+y2+2x-3=0. [溫馨提醒] 趁熱打鐵,事半功倍.請老師布置同學們完成《配套檢測與評估》中的練習(第111-112頁).