2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性習(xí)題 理 新人教A版(I)

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1、2022年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù)1 第3講 函數(shù)的奇偶性與周期性習(xí)題 理 新人教A版(I) 一、填空題 1.(xx·廣東卷改編)下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是________(填序號(hào)). ①y＝；②y＝x＋；③y＝2x＋；④y＝x＋ex. 解析　令f(x)＝x＋ex，則f(1)＝1＋e，f(－1)＝－1＋e－1，即f(－1)≠f(1)， f(－1)≠－f(1)，所以y＝x＋ex既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而①，②，③依次是偶函數(shù)、奇函數(shù)、偶函數(shù). 答案?、? 2.若f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)，且滿(mǎn)足f(1)＝1，f(2)＝2，則f(3)－

2、f(4)＝________. 解析　由f(x)是R上周期為5的奇函數(shù)知 f(3)＝f(－2)＝－f(2)＝－2， f(4)＝f(－1)＝－f(1)＝－1， ∴f(3)－f(4)＝－1. 答案　－1 3.已知f(x)＝ax2＋bx是定義在[a－1，2a]上的偶函數(shù)，那么a＋b的值是________. 解析　依題意b＝0，且2a＝－(a－1)， ∴a＝，則a＋b＝. 答案　 4.函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，且x＞0時(shí)，f(x)＝＋1，則當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＝________. 解析　∵f(x)為奇函數(shù)，x＞0時(shí)，f(x)＝＋1， ∴當(dāng)x＜0時(shí)，－x＞0， f(x)＝－f(

3、－x)＝－(＋1)， 即x＜0時(shí)，f(x)＝－(＋1)＝－－1. 答案?。? 5.(xx·蘇北四市模擬)定義在R上的偶函數(shù)f(x)，對(duì)任意x1，x2∈[0，＋∞)(x1≠x2)，有<0，則 ①f(3)2>1， ∴f(3)

4、.(xx·杭州七校聯(lián)考)已知定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足f(2)＝，且對(duì)任意的x都有f(x＋3)＝－，則f(8)＝________；f(2 015)＝________. 解析　由f(x＋3)＝－，得f(x＋6)＝－＝f(x)，故函數(shù)f(x)是周期為6的周期函數(shù).故f(8)＝f(2)＝，f(2 015)＝f(6×335＋5)＝f(5)＝－＝－＝－5. 答案　?。? 7.已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，若f(lg x)＜0，則x的取值范圍是________. 解析　依題意，函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，且f(0)＝0，不等式f(lg x)＜0＝f(0)等價(jià)于lg

5、 x＜0，故0＜x＜1. 答案　(0，1) 8.對(duì)于函數(shù)f(x)，若存在常數(shù)a≠0，使得x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值，都有f(x)＝f(2a－x)，則稱(chēng)f(x)為準(zhǔn)偶函數(shù).下列函數(shù)：①f(x)＝；②f(x)＝x2；③f(x)＝tan x；④f(x)＝cos(x＋1).其中為準(zhǔn)偶函數(shù)的是________(填序號(hào)). 解析　由f(x)＝f(2a－x)， ∴y＝f(x)關(guān)于直線(xiàn)x＝a對(duì)稱(chēng)(a≠0)， 題中四個(gè)函數(shù)中，存在對(duì)稱(chēng)軸的有②，④，而②中f(x)＝x2的對(duì)稱(chēng)軸為x＝0，不滿(mǎn)足題意，故④適合. 答案?、? 二、解答題 9.已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)有最小正周期2，且當(dāng)x∈(0，1)時(shí)

6、，f(x)＝. (1)求f(1)和f(－1)的值； (2)求f(x)在[－1，1]上的解析式. 解　(1)∵f(x)是周期為2的奇函數(shù)， ∴f(1)＝f(1－2)＝f(－1)＝－f(1)， ∴f(1)＝0，f(－1)＝0. (2)由題意知，f(0)＝0.當(dāng)x∈(－1，0)時(shí)，－x∈(0，1). 由f(x)是奇函數(shù)， ∴f(x)＝－f(－x)＝－＝－， 綜上，在[－1，1]上，f(x)＝ 10.已知函數(shù)f(x)＝是奇函數(shù). (1)求實(shí)數(shù)m的值； (2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，a－2]上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍. 解　(1)設(shè)x<0，則－x>0，所以f(－x)＝－

7、(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又f(x)為奇函數(shù)， 所以f(－x)＝－f(x)，于是x<0時(shí)， f(x)＝x2＋2x＝x2＋mx，所以m＝2. (2)由(1)知f(x)在[－1，1]上是增函數(shù)， 要使f(x)在[－1，a－2]上單調(diào)遞增. 結(jié)合f(x)的圖象知 所以10， f(x)＝－f(－x)＝－(x2－sin x)＝－x2＋sin x， ∴cos(x＋α)＝sin x， ∴

8、α＝－＋2kπ，k∈Z， 則sin α＝sin＝－1. 答案?。? 12.(xx·蘇北四市模擬)已知f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，若f(1)＜1，f(5)＝，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______. 解析　因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是定義在R上以3為周期的偶函數(shù)，所以f(5)＝f(－1)＝f(1)，即＜1，化簡(jiǎn)得(a－4)(a＋1)＜0，解得－1＜a＜4. 答案　(－1，4) 13.(xx·揚(yáng)州模擬)已知f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f(x)＝x3－x，則函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)_______. 解析　因?yàn)楫?dāng)0≤x＜2

9、時(shí)，f(x)＝x3－x，又f(x)是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且f(0)＝0，所以f(6)＝f(4)＝f(2)＝f(0)＝0.又f(1)＝0，所以f(3)＝f(5)＝0.故函數(shù)y＝f(x)的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為7. 答案　7 14.設(shè)函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x有f＝－f成立. (1)證明y＝f(x)是周期函數(shù)，并指出其周期； (2)若f(1)＝2，求f(2)＋f(3)的值； (3)若g(x)＝x2＋ax＋3，且y＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值. (1)證明　由f＝－f， 且f(－x)＝－f(x)，知f(3＋x)＝f＝ －f＝－f(－x)＝f(x)， 所以y＝f(x)是周期函數(shù)，且T＝3是其一個(gè)周期. (2)解　因?yàn)閒(x)為定義在R上的奇函數(shù)， 所以f(0)＝0， 且f(－1)＝－f(1)＝－2，又T＝3是y＝f(x)的一個(gè)周期，所以f(2)＋f(3)＝f(－1)＋f(0)＝－2＋0＝－2. (3)解　因?yàn)閥＝|f(x)|·g(x)是偶函數(shù)， 且|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|， 所以|f(x)|為偶函數(shù). 故g(x)＝x2＋ax＋3為偶函數(shù)， 即g(－x)＝g(x)恒成立， 于是(－x)2＋a(－x)＋3＝x2＋ax＋3恒成立. 于是2ax＝0恒成立，所以a＝0.