2、C.＝0，所以>a，即v>a.故選A項．
4．已知兩個正變量x，y，滿足x＋y＝4，則使不等式＋≥m恒成立的實數(shù)m的取值范圍是________．
答案 (－∞，]
5．設(shè)正數(shù)x，y滿足＋≤a·恒成立，則a的最小值是________．
答案
6．設(shè)正數(shù)x，y滿足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，則x＋y的取值范圍是________．
答案 [6，＋∞)
答案 原式等價于x＋y＋3＝xy≤()2(當且僅當x＝y(tǒng)時取等號)，所以x＋y＋3≤，
即(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0.
解得x＋y≥6
3、或x＋y≤－2(舍去)．
所以x＋y的取值范圍是[6，＋∞)．
7．已知a>0，b>0，且a2＋＝1，則a的最大值為________．
答案
解析 a＝×a≤×[a2＋()2]
＝(1＋)＝，當且僅當a＝，b＝時等號成立．
∴a的最大值為.
8．已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求＋的最小值．
解析 ∵x>0，y>0，且x＋y＝1，
∴＋＝(＋)(x＋y)
＝10＋＋≥10＋2＝18.
當且僅當＝，即x＝2y時等號成立，
∴當x＝時，y＝時，＋有最小值18.
9．設(shè)x，y都是正數(shù)且＋＝3，求2x＋y的最小值；
解析 (1)2x＋y＝＝(＋)(2x＋y)
＝(＋＋
4、4)≥(2＋4)＝.
當且僅當＝時等號成立，即y2＝4x2.∴y＝2x.
又∵＋＝3，得x＝，y＝.
∴當x＝，y＝時，2x＋y取得最小值為.
10．設(shè)x>－1，求y＝的最小值．
解析 ∵x>－1，∴x＋1>0.
設(shè)x＋1＝t>0，則x＝t－1.
于是有y＝＝
＝t＋＋5≥2＋5＝9，
當且僅當t＝，即t＝2時取等號，此時x＝1.
∴當x＝1時，函數(shù)y＝取得最小值為9.
11．求函數(shù)y＝的最小值．
解析 令t＝x2＋1，則t≥1，且x2＝t－1.
∴y＝＝
＝＝t＋＋1.
∵t≥1，∴t＋≥2＝2，當且僅當t＝，即t＝1時，等號成立，∴當x＝0時，函數(shù)取得最小值3
5、.
講評 把已知函數(shù)解析式通過通分、拆項等方法，轉(zhuǎn)化成滿足基本不等式的條件的形式再求最值，是常用的方法．
12．已知a，b，c是不全相等的三個正數(shù)，
求證：＋＋>3.
解析?。?
＝＋＋＋＋＋－3
＝(＋)＋(＋)＋(＋)－3，
∵a，b，c都是正數(shù)，
∴＋≥2＝2，
同理＋≥2，＋≥2.
∴(＋)＋(＋)＋(＋)≥6.
∵a，b，c不全相等，上述三式不能同時取等號，
∴(＋)＋(＋)＋(＋)>6.
∴＋＋>3.
13.
圍建一個面積為360 m2的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其它三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個寬度為2
6、 m的進出口，如圖所示．已知舊墻的維修費用為45元/m，新墻的造價為180元/m.設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位m)，修建此矩形場地圍墻的總費用為y(單位：元)．
(1)將y表示為x的函數(shù)；
(2)試確定x，使修建此矩形場地的圍墻的總費用最少，并求出最少總費用．
解析 (1)設(shè)矩形的另一邊長為a m，
則y＝45x＋180(x－2)＋180·2a＝225x＋360a－360.
由已知ax＝360，得a＝.∴y＝225x＋－360(x>0)．
(2)∵x>0，∴225x＋≥2＝10 800.
∴y＝225x＋－360≥10 440，當且令當225x＝時，等號成立．
即當x＝24 m
7、時，修建圍墻的總費用最少，最少總費用是10 440元．
14.
如右圖所示，動物園要圍成相同面積的長方形虎籠四間，一面可利用原有的墻，其他各面用鋼筋網(wǎng)圍成．
(1)現(xiàn)有可圍36 m長的鋼筋網(wǎng)材料，每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使每間虎籠面積最大？
(2)若使每間虎籠面積為24 m2，則每間虎籠的長、寬各設(shè)計為多少時，可使圍成四間虎籠的鋼筋網(wǎng)總長最?。?
解析 (1)設(shè)每間虎籠長x m，寬為y m，則由條件得
4x＋6y＝36，即2x＋3y＝18.
設(shè)每間虎籠面積為S，則S＝xy.
方法一 由于2x＋3y≥2＝2，
∴2≤18，得xy≤.
即S≤，當且僅當2x＝3y時，
8、等號成立．
由解得
故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大．
方法二 由2x＋3y＝18，得x＝9－y.
∵x>0，y>0，∴00.
∴S≤2＝，
當且僅當6－y＝y(tǒng)，即y＝3時，等號成立，此時x＝4.5.
故每間虎籠長為4.5 m，寬為3 m時，可使面積最大．
(2)由條件知S＝xy＝24.
設(shè)鋼筋網(wǎng)總長為l，則l＝4x＋6y.
方法一 ∵2x＋3y≥2＝2＝24，
∴l(xiāng)＝4x＋6y＝2(2x＋3)y≥48，當且僅當2x＝3y時，等號成立．
由解得
故每間虎籠長為6 m
9、，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。?
方法二 由xy＝24，得x＝.
∴l(xiāng)＝4x＋6y＝＋6y＝6(＋y)≥6×2＝48.
當且僅當＝y(tǒng)，即y＝4時，等號成立，此時x＝6.
故每間虎籠長為6 m，寬為4 m時，可使鋼筋網(wǎng)總長最?。?
1．若對任意x>0，≤a恒成立時，則a的取值范圍是________．
答案 [，＋∞)
解析 ∵x>0，∴＝≤＝.
∴a≥.
2．已知a>b>c，若＋≥，求n的最大值．
解析 方法一 ∵＋≥，且a>b>c，
∴n≤＋＝.
∵對a、b、c上式都成立，
∴n≤[]min.
又∵≥＝4.
∴n≤4，∴n的最大值為4.
方法二 ∵a>b>
10、c，∴＋
＝＋
＝2＋＋≥2＋2＝4.
∴n≤4，∴n的最大值為4.
3．某單位用2 160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層，每層2 000平方米的建房．經(jīng)測算，若將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560＋48x(單位：元)．為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？(注：平均綜合費用＝平均建筑費用＋平均購地費用，平均購地費用＝)
解析 設(shè)將樓房建為x層，則每平方米的平均購地費用為＝.
∴每平方米的平均綜合費用
y＝560＋48x＋＝560＋48(x＋)．
當x＋取最小值時，y有最小值．
∵x>0，∴x＋≥2＝30.
當
11、且僅當x＝，即x＝15時，上式等號成立．
所以當x＝15時，y有最小值2 000元．
因此該樓房建為15層時，每平方米的平均綜合費用最少．
1．(xx·北京)設(shè)a，b，c∈R，且a>b，則( )
A．a(chǎn)c>bc B.<
C．a(chǎn)2>b2 D．a(chǎn)3>b3
答案 D
解析 A項中，若c小于等于0則不成立；B項中，若a為正數(shù)b為負數(shù)則不成立；C項中，若a，b均為負數(shù)則不成立．故選D項．
2．(xx·福建)若2x＋2y＝1，則x＋y的取值范圍是( )
A．[0,2] B．[－2,0]
C．[－2，＋∞) D．(－∞，－2]
答案 D
解析 ∵
12、2x＋2y＝1≥2，
∴()2≥2x＋y，即2x＋y≤2－2.∴x＋y≤－2.
3．(xx·安徽)已知一元二次不等式f(x)<0的解集為{x|x<－1或x>}，則f(10x)>0的解集為( )
A．{x|x<－1或x>－lg2} B．{x|－1－lg2} D．{x|x<－lg2}
答案 D
解析 由題意知－1<10x<，所以x
13、式等價于①或②
①無解，解②得x<－1.故選A項．
5．(xx·四川)若變量x，y滿足約束條件且z＝5y－x的最大值為a，最小值為b，則a－b的值是( )
A．48 B．30
C．24 D．16
答案 C
解析 畫出可行域，如圖．
聯(lián)立解得即A點坐標為(4,4)．
由線性規(guī)劃可知，zmax＝5×4－4＝16，zmin＝0－8＝－8，即a＝16，b＝－8，∴a－b＝24.故選C項．
6．(xx·湖北)某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過
14、21輛，且B型車不多于A型車7輛，則租金最少為( )
A．31 200元 B．36 000元
C．36 800元 D．38 400元
答案 C
解析 設(shè)需A，B型車分別為x，y輛(x，y∈N)，則x，y需滿足設(shè)租金為z，則z＝1 600x＋2 400y，畫出可行域如圖陰影部分所示，根據(jù)線性規(guī)劃中截距問題，可求得最優(yōu)解為x＝5，y＝12，此時z最小等于36 800，故選C項．
7．(xx·浙江)若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是( )
A. B.
C．5 D．6
答案 C
解析 ∵x＋3y＝5xy，∴＋＝1.
∴3x＋4y＝(3x
15、＋4y)×1＝(3x＋4y)(＋)＝＋＋＋≥＋2＝5，
當且僅當＝，即x＝1，y＝時等號成立．
8．(xx·福建)下列不等式一定成立的是( )
A．lg(x2＋)>lgx(x>0)
B．sinx＋≥2(x≠kπ，k∈Z)
C．x2＋1≥2|x|(x∈R)
D.>1(x∈R)
答案 C
解析 ∵x2＋1≥2|x|?x2－2|x|＋1≥0，
∴當x≥0時，x2－2|x|＋1＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0成立；
當x<0時，x2－2|x|＋1＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0成立．
故x2＋1≥2|x|(x∈R)一定成立．
9．(xx·重慶)不等式≤0的解集為( )
16、
A．(－，1]
B．[－，1]
C．(－∞，－)∪[1，＋∞)
D．(－∞，－]∪[1，＋∞)
答案 A
解析 不等式可化為解不等式組得－
17、＝1－，當y＝x＋z過點B時z取到最大值，此時zmax＝2，綜合可知z的取值范圍為(1－，2)．
11．(xx·福建)若函數(shù)y＝2x圖像上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為( )
A. B．1
C. D．2
答案 B
解析 由約束條件作出其可行域如圖所示．
由圖可知當直線x＝m經(jīng)過函數(shù)y＝2x的圖像與直線x＋y－3＝0的交點P時取得最大值，即得2x＝3－x，即x＝1＝m.
12．(xx·遼寧)設(shè)變量x，y滿足則2x＋3y的最大值為( )
A．20 B．35
C．45 D．55
答案 D
解析 不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，
則2
18、x＋3y在A(5,15)處取得最大值，故選D項．
13．(xx·江西)某農(nóng)戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價如下表
年產(chǎn)量/畝
年種植 成本/畝
每噸售價
黃瓜
4噸
1.2萬元
0.55萬元
韭菜
6噸
0.9萬元
0.3萬元
為使一年的種植總利潤(總利潤＝總銷售收入－總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為( )
A．50,0 B．30,20
C．20,30 D．0,50
答案 B
解析 設(shè)黃瓜、韭菜的種植面積分別為x畝、y畝，則總利潤為z萬元，
則z
19、關(guān)于x，y的關(guān)系式為z＝4x×0.55－1.2x＋6y×0.3－0.9y＝x＋0.9y，且x，y滿足的約束條件為
畫出行域，如圖所示：
設(shè)l0：y＝－x，將l0上下平移可知，
當直線z＝x＋0.9y過點A(30,20)(注：可聯(lián)立方程組解得點A的坐標)時，z取得大值，因此當總利潤z最大時，x＝30，y＝20，即黃瓜的種植面積為30畝，韭菜的種植面積為20畝．
14．(xx·福建)設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域是Ω1，平面區(qū)域Ω2與Ω1關(guān)于直線3x－4y－9＝0對稱．對于Ω1中的任意點A與Ω2中的任意點B，|AB|的最小值等于( )
A. B．4
C. D．2
答案 B
20、
解析 畫出不等式組所表示的平面區(qū)域Ω1如圖所示，觀察圖形可知，D(1,1)到直線3x－4y－9＝0的距離最小，故D關(guān)于直線3x－4y－9＝0對稱的點D′(D′在Ω2內(nèi))的距離|DD′|最小，D到直線3x＋4y－9＝0的距離為＝2，故|AB|max＝|DD′|＝4.
15．(xx·四川)已知函數(shù)f(x)＝4x＋(x>0，a>0)在x＝3時取得最小值，則a＝________.
答案 36
解析 由基本不等式可得4x＋≥2＝4，當且僅當4x＝即x＝時等號成立，∴＝3，a＝36.
16．(xx·廣東)不等式x2＋x－2<0的解集為________．
答案 {x|－2
21、x2＋x－2<0即(x＋2)(x－1)<0，解得－20時，f(x)＝x2－4x，則不等式f(x)>x的解集用區(qū)間表示為________．
答案 (－5,0)∪(5，＋∞)
解析 ∵函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，且x>0時，f(x)＝x2－4x，則f(x)＝
∴原不等式等價于或
由此可解得x>5或－5
22、示．
畫出直線2x－y＝0，并平移，當直線經(jīng)過點A(3,3)時，z取最大值，且最大值為z＝2×3－3＝3.
19．(xx·浙江)設(shè)z＝kx＋y，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k＝________.
答案 2
解析 畫出可行域如圖陰影部分所示．
由可行域知，最優(yōu)解可能在A(0,2)或C(4,4)處取得．
若在A(0,2)處取得不符合題意；
若在C(4,4)處取得，則4k＋4＝12，解得k＝2，此時符合題意．
20．(xx·大綱全國)記不等式組所表示的平面區(qū)域為D.若直線y＝a(x＋1)與D有公共點，則a的取值范圍是________．
答案 [，4]
解析
23、
作出題中不等式組表示的可行域如圖中陰影部分所示．
∵直線y＝a(x＋1)過定點C(－1,0)，由圖并結(jié)合題意可知kBC＝，kAC＝4，
∴要使直線y＝a(x＋1)與平面區(qū)域D有公共點，則≤a≤4.
21．(xx·山東)若不等式|kx－4|≤2的解集為{x|1≤x≤3}，則實數(shù)k＝________.
答案 2
解析 不等式|kx－4|≤4可化為－2≤kx－4≤2，即2≤kx≤6，而不等式的解集為{x|1≤x≤3}，所以k＝2.
22．(xx·江西)不等式>0的解集是________．
答案 (－3,2)∪(3，＋∞)
解析 不等式>0可化為(x－2)·(x－3)·(x＋
24、3)>0，
由穿根法(如圖)，
得所求不等式的解集為(－3,2)∪(3，＋∞)．
23．(xx·江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域為[0，＋∞)，若關(guān)于x的不等式f(x)
2022年高中數(shù)學 課時作業(yè)32 基本不等式2 新人教版必修5
