2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第七章 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理（含解析）

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1、2022年高考數(shù)學(xué)5年真題備考題庫 第七章 第2節(jié) 空間幾何體的表面積與體積 理（含解析） 1．（xx陜西，5分）已知底面邊長為1，側(cè)棱長為的正四棱柱的各頂點均在同一個球面上，則該球的體積為(　　) A. B．4π C．2π D. 解析：因為該正四棱柱的外接球的半徑是四棱柱體對角線的一半，所以半徑r＝＝1，所以V球＝×13＝.故選D. 答案：D 2．（xx山東，5分）三棱錐P－ABC中，D，E分別為PB，PC的中點，記三棱錐D－ABE的體積為V1，P－ABC的體積為V2，則＝________. 解析：如圖，設(shè)點C到平面PAB的距離為h，三角形PAB的面積為S，則V2＝

2、Sh，V1＝VE－ADB＝×S×h＝Sh，所以＝. 3．（xx江蘇，5分）設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2，若它們的側(cè)面積相等，且＝，則的值是________． 解析：設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面半徑分別是r1，r2，母線長分別是l1，l2.則由＝可得＝.又兩個圓柱的側(cè)面積相等，即2πr1l1＝2πr2l2，則＝＝，所以＝＝×＝. 答案： 4．（xx新課標(biāo)全國Ⅰ，5分）如圖，有一個水平放置的透明無蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時測得水深為6 cm，如果不計容器的厚度，則球的體積為(　　) A. c

3、m3　　　　　　　　　　 B. cm3 C. cm3 D. cm3 解析：本題考查正方體和球組成的組合體、球的體積的計算，意在考查考生的空間想象能力、轉(zhuǎn)化化歸能力以及運用體積公式進行計算的能力．解題時，先根據(jù)已知條件分析出正方體的上底面到球心的距離為(R－2) cm(其中R為球半徑)，再利用球半徑、球心距和截面圓半徑構(gòu)成的直角三角形求出球半徑，進而計算出球的體積．設(shè)球半徑為R cm，根據(jù)已知條件知正方體的上底面與球相交所得截面圓的半徑為4 cm，球心到截面的距離為(R－2) cm，所以由42＋(R－2)2＝R2，得R＝5，所以球的體積V＝πR3＝π×53＝ cm3

4、，選擇A. 答案：A 5．（xx遼寧，5分）已知直三棱柱ABC-A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為(　　) A. B．2 C. D．3 解析：本題主要考查多面體、球等基本概念以及如何根據(jù)組合體中的位置關(guān)系進行準(zhǔn)確計算，意在考查考生的空間想象能力、運算求解能力以及轉(zhuǎn)化思想．如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝BC＝，OM＝AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝ ＝. 答案：C 6．（xx新課標(biāo)全國，5分）已知三棱錐S－ABC的所有頂點都在球O的球面上，△ABC是邊長為1的正三角形，S

5、C為球O的直徑，且SC＝2，則此棱錐的體積為(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝；同理SB＝.過A點作SC的垂線交SC于D點，連接DB，因△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且平面ABD為等腰三角形，因∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，則△ABD的面積為×1× ＝，則三棱錐的體積為××2＝. 答案：A 7.（xx江西，5分）如右圖，已知正四棱錐S－ABCD所有棱長都為1，點E是側(cè)棱SC上一動點，過點E垂直于SC的截面將正四棱錐分成上、下兩部分．記SE＝x(0

6、，截面下面部分的體積為V(x)，則函數(shù)y＝V(x)的圖像大致為(　　) 解析：(1)當(dāng)0

7、形，如圖2，設(shè)此三角形為△EFG，則EG＝EF＝ECtan 60°＝(1－x)，CG＝CF＝2CE＝2(1－x)，三棱錐E－FGC底面FGC上的高h＝ECsin 45°＝(1－x)，∴V(x)＝×CG·CF·h＝(1－x)3， ∴V′(x)＝－(1－x)2， 又顯然V′(x)＝－(1－x)2在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞增，V′(x)<0(x∈(，1))， ∴函數(shù)V(x)＝(1－x)3在區(qū)間(，1)上單調(diào)遞減，且遞減的速率越來越慢，故排除B，應(yīng)選A. 答案：A 8．（2011遼寧，5分）已知球的直徑SC＝4，A，B是該球球面上的兩點，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝30°，則棱錐S－ABC的體積

8、為(　　) A．3　　　　　　　　　　 B．2 C. D．1 解析：由題可知AB一定在與直徑SC垂直的小圓面上，作過AB的小圓交直徑SC于D，設(shè)SD＝x，則DC＝4－x，此時所求棱錐即分割成兩個棱錐S－ABD和C－ABD，在△SAD和△SBD中，由已知條件可得AD＝BD＝x，又因為SC為直徑，所以∠SBC＝∠SAC＝90°，所以∠DCB＝∠DCA＝60°，在△BDC中，BD＝(4－x)，所以x＝(4－x)，所以x＝3，AD＝BD＝，所以三角形ABD為正三角形，所以V＝S△ABD×4＝. 答案：C 9.（xx山東，4分）如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，E、F分別為線段AA1，B1C上的點，則三棱錐D1－EDF的體積為________． 解析：因為E點在線段AA1上，所以S△DED1＝×1×1＝，又因為F點在線段B1C上，所以點F到平面DED1的距離為1，即h＝1，所以VD1－EDF＝VF－DED1＝×S△DED1×h＝××1＝. 答案：